2.3. Erklärung: Elementare Zeilenumformungen sind i. Multiplikation ...

2.3. Erklärung: Elementare Zeilenumformungen sind
i. Multiplikation einer Zeile (einer Matrix) mit einer reellen
Zahl λ ≠ 0
ii. Addition einer Zeile (der j-ten) zu einer anderen (der i-
ten, i ≠ j)
iii. Vertauschung von zwei Zeilen (der i-ten und der j-ten)
Analog kann man Spaltenumformungen betrachten.
2.4. Die Lösungsmenge eines linearen GLS ist invariant
gegenüber elementaren Zeilenumformungen der erweiterten
Koeffizientenmatrix (A | b).
~
D.h. Sei Ax=b das lineare GLS, es entstehe ( A | b
~ )
aus (A | b)
durch eine oder mehrere elementare Umformungen.
~ ~
x | Ax = b = x | Ax = b
Zu zeigen ist { } { }
Der Beweis versteht sich von selbst bei (iii).
Bei (i) folgt für λ ≠ 0
a i1 x 1 + a i2 x 2 + ... + a in x n = b i
λ a i1 x 1 + λ a i2 x 2 + ... + λ a in x n = λ b i
(ii) ist ebenfalls einfach, wird nicht gezeigt, ebenfalls
Kombinationen!
Achtung: Bei Spaltenumformungen ist (mitunter) die
Anordnung der Variablen x 1 , x 2 ,..., x n zu verändern!
Hinweis: Man kann sich überlegen, daß es Matrizen E (mit
~
A ~ | b = E ⋅ (A | b
ist.
guten Eigenschaften: E -1 existiert) gibt, so daß ( ) )

2.5. Ziel der Umformungen
Das System Ax = b, d.h.
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1
M
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m
versuchen wir in eine äquivalente Form der Art
1 x 1 + a‘ 12 x 2 + ... + a‘ 1n x n = b‘ 1
1 x 2 + ... + a‘ 2n x n = b‘ 2
M
1 x r + ... + a‘ rn x n = b‘ r r ≤ m
bzw.
⎛1
⎜
⎜0
⎜ M
⎜
⎜
⎜
⎝0
a'
12
O
O
L
L
1
0
0
L
L
L
a'
a'
1n
M
0
0
rn
⎞ ⎛ x
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ M
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝ x
1
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛ b'
⎜
⎜b'
⎜ M
⎜
⎜
⎜
⎝b'
1
2
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2.6. Auswertung:
Aus der r-ten Zeile ergibt sich
x r = b‘ r – a’ r,r+1 x r+1 – ... – a‘ rn x n
aus der (r – 1)-ten Zeile
x r-1 = b’ r-1 – a’ r-1,r x r – ... – a’ r-1,n x n
usw. bis x 1 = ...
gerade berechnet

Hier sind x r+1 , ... , x n beliebige Variable, dafür können ganz
beliebige Zahlen eingesetzt werden, sogenannte Parameter.
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist nicht
eindeutig, es gibt dann unendlich viele Lösungen.
Meist (mit etwas Mehraufwand) ist auch die Form möglich:
r
− te
Zeile
→
⎛1
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜ M
⎜
M
⎜
⎜
⎜
⎝ 0
0
O
O
L
L
O
O
O
L
0
M
0
1
0
M
0
*
M
*
0
M
0
L
L
L
L
* ⎞ ⎛ x
⎟
M ⎟
⎟
⎟
* ⎟ M
0
⎟
M
0
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛ b'
'
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ M
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝b''
1
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2.7. Beispiel:
x 1 + 2 x 3 = 4
– x 1 + 2 x 2 = – 6
2 x 2 + x 3 = – 3
Also:
⎛ 1
⎜
A = ⎜−1
⎜
⎝ 0
0
2
2
2⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎠
⎛ 1
⎜
( A | b)
= ⎜ −1
⎜
⎝ 0
0
2
2
2
0
1
4 ⎞
⎟
− 6⎟
− 3
⎟
⎠
Addiere die 1. Zeile zur 2. Zeile
~ ~
( A | b )
⎛1
⎜
= ⎜0
⎜
⎝0
0 2 4 ⎞
⎟
2 2 − 2⎟
2 1 − 3
⎟
⎠

Addiere das (–1)fache der 2. Zeile zur 3. Zeile und dividiere
anschließend die 2. Zeile durch 2
⎛ 1
⎛ ~ ~ ⎞ ⎜
⎜ A | b ⎟ = ⎜ 0
⎝ ⎠
⎜
⎝ 0
0
1
0
2
1
−1
4 ⎞
⎟
−1⎟
−1
⎟
⎠
d. h.
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
2 ⎞ ⎛ x1
⎞ ⎛ 4 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 ⎟ ⎜ x2
⎟ = ⎜ −1⎟
−1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ x3
⎠ ⎝ −1⎠
Wir lösen von „unten“ nach „oben“ auf:
(– 1) x 3 = – 1 è x 3 = 1
x 2 + x 3 = – 1 è x 2 = – 1 – x 3
x 2 = – 1 – 1 = – 2
x 1 + 2 x 3 = 4 è x 1 = 4 – 2 x 3
x 1 = 4 – 2 ⋅1 = 2