Kap. Z. Zeitreihen

Übungen
wie bisher im Klinikum, Raum 301
Mo 10-12 Ronny Feuer
Mo 16-17.30 Andreas Matz
Di 11-13 Daniel Samaga
Mi 8-10 Regina Reiner
Mi 14-16 Sven Mensing
Fr 8-10 Sven-Hendrik Lossin
Fr 13-15 Reservezeit

Übersicht
I. Grundlagen
(Merkmale, Verteilung, Mittelwerte)
II. Zusammenhang von Merkmalen
(bedingte W., Bayes, Korrelation, Regression)
III. Stochastische Modelle
(Binomial, Poisson, Normalverteilung)
hier wird fortgesetzt
Heute ganz anderes Thema:
ZEITREIHEN

Z. Zeitreihen
Z.1 Begriff der Zeitreihe
Z.2 Struktur einer Zeitreihe
Z.3 Formen des Trends
Z.4 Glätten von Zeitreihen
Z.5 Saisonkomponente

Beispiele für Zeitreihen
Die meisten ökonomischen Daten sind in Form
von Zeitreihen gegeben
• Bruttoinlandsprodukt
• Gewinne, Handelsvolumen, Steuern
• Zahl der Geburten, Studenten, Azubis
• Aktien- und Devisenkurse
Weitere Zeitreihen:
Wetter, Sprache, Medizin (EKG)

Z.1 Begriff der Zeitreihe
Eine Zeitreihe ist eine Folge
x 1 , ..., x T
von zeitlich geordneten Werten eines Merkmals.
Durch die Ordnung der Werte unterscheidet
sich die Zeitreihe von einer Stichprobe.
Im allgemeinen nimmt man konstanten Abstand
zwischen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten: ein
Jahr, ein Quartal, Monat oder Tag.
Problem bei Kursen: Wochenende, Feiertage

Wozu Zeitreihen ?
Ziele der Zeitreihenanalyse sind
• Voraussage
• Beschreibung von Zeitreihen
• Den zugrunde liegenden Prozess verstehen
• Zusammenhang mehrerer Zeitreihen finden

Z.2 Struktur einer Zeitreihe
In der Ökonomie zerlegt man eine Zeitreihe in
1. den Trend T, der die langfristige Entwicklung
beschreibt
2. Saisonschwankungen S, die sich z.B. aus
dem Jahresrhythmus ergeben
3. eine zyklische Komponente Z, die z.B. Konjunkturschwankungen
ausdrückt
4. eine zufällige Komponente R, durch die auch
benachbarte Werte sich unterscheiden (Rauschen,
Fehler).

Bemerkungen zur Struktur
Jede einzelne Komponente ist eine Funktion
der Zeit.
Nicht alle Komponenten müssen immer vorhanden
sein.
Die Zusammensetzung der Komponenten kann
additiv als Summe erfolgen
X = T + Z + S + R
oder multiplikativ als Produkt:
X = T ∗ Z ∗ S ∗ R
Der zweite Fall lässt sich durch Logarithmierung
der Werte auf den ersten zurückführen
und wird deshalb nicht extra behandelt.
Sowieso muss klar sein, dass die Zerlegung nicht
exakt die Wirklichkeit ausdrückt, sondern eine
vereinfachte Modellvorstellung ist.

Z.3 Formen des Trends
Mit Trend bezeichnet man eine Funktion f(t),
durch die man die Werte x t der Zeitreihe gut
annähern kann. Folgende Funktionsklassen sind
üblich:
f(t) = a + bt
linearer Trend
f(t) = a ∗ e bt
exponentieller Trend
f(t) = a + bt + t 2
quadratischer Trend
Die Funktionsklasse muss aus der Graphik
bzw. aus der Aufgabenstellung bestimmt werden.
Für verschiedene Teile der Zeitreihe können
unterschiedliche Trendfunktionen zutreffen (lokaler
Trend).
Ist keine Trendfunktion offensichtlich, so wird
statt von Trend und zyklischer Komponente
von der glatten Komponente der Zeitreihe gesprochen.

Bestimmung des Trends
Ein linearer Trend liegt vor, wenn alle Differenzen
x t − x t−1 etwa gleich sind.
Statt benachbarter Werte kann man auch weitere
Differenzen wie x t − x t−5 nehmen, um den
Einfluss von Störungen gering zu halten.
Ein exponentieller Trend liegt vor, wenn die
Quotienten x t /x t−1 etwa konstant sind.
In diesem Fall haben die logarithmierten Werte
einen linearen Trend.
Die Bestimmung der Parameter a, b für die beste
Trendfunktion erfolgt durch lineare, quadratische
oder exponentielle Regression.

Z.4 Begriff des Filters
Wenn man aus aufeinanderfolgenden Werten
x t in jeweils gleicher Weise eine neue Zeitreihe
y t macht, nennt man dies einen Filter. Beispiele:
y t = x t − x t−1
Differenzfilter
y t = 1 2·(x t−1+x t ) gleitender Durchschnitt, Länge 2
y t = 1 m·(x t−m+1+...+x t−1 +x t ) g.D., Länge m
Der Differenzfilter beseitigt einen linearen Trend,
zweimalige Anwendung dieses Filters beseitigt
einen quadratischen Trend (so wie die zweite
Ableitung von x 2 konstant wird).

Z.4 Glättung von Zeitreihen
Die gleitenden Durchschnitte filtern das Rauschen
heraus (und bei geeigneter Konstruktion
auch die Saisonkomponente, s. unten) und lassen
die glatte Komponente übrig.
Oben waren einfache gleitende Durchschnitte
erwähnt, d.h. mit gleichen Gewichten p k =
1/m, die nachlaufend waren, d.h. mit Werten
x t−k . Man kann auch beliebige Gewichte p k
nehmen:
y t = ∑ k
p k x t−k
Dabei sollte ∑ p k = 1 sein, damit die Werte y t
im Durchschnitt so groß werden wie die x t .
Ebenso können Werte x t+k rechts von x t mit
verwendet werden (zentrierte oder vorlaufende
gleitende Durchschnitte).

Wählt man p k = b k (1 − b) mit b < 1 so spricht
man von exponentieller Glättung. Für b = 1/2
ergeben sich die Gewichte 1/2, 1/4, 1/8 usw.
Für kleinere b wird die geglättete Reihe den
Originaldaten ähnlicher, für b nahe 1 werden
viele vergangene Werte mit beachtet.
Jede Glättung wird Maxima und Minima der
ursprünglichen Reihe abflachen.

Z.5 Saisonkomponente
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, welches
Zeitintervall (Jahr, Quartal, Woche) der Saisonschwankung
entspricht.
Rechnerisch bestimmt man Saisonkomponente
+ Rauschen als
Originalreihe − geglättete Reihe
wobei der Glättungsfilter so konstruiert ist, dass
er die Saisonschwankungen wegnimmt. Er sollte
die Länge der Saison haben. Bei einer Jahressaison
und halbjährlichen Werten (z.B. Studentenzahlen
im Winter und Sommer) nimmt
man einen einfachen Filter der Länge 2. Oder
besser
y t = 1 4 · (x t−1 + 2x t + x t+1 )
weil dies tatsächlich als gemittelter Wert an
der Stelle t (und nicht t − 0.5 oder t + 0.5) interpretiert
werden kann.

Für die Uni Greifswald ergibt sich z.B., dass im
Wintersemester etwa 3 Prozent mehr Studenten
da sind als im Jahresdurchschnitt und im
Sommersemester 3 Prozent weniger.
Bei Quartalswerten und einer jährlichen Saison
nimmt man einen einfachen Durchschnitt der
Länge 4 oder
y t = 1 8 · x t−2 + 1 4 · (x t−1 + x t + x t+1 ) + 1 8 · x t+2