6.1 Präsentationen von Gruppen

6.1. PRÄSENTATIONEN VON GRUPPEN 245
• Auf A ∗ definieren wir eine Reduktion ρ wie folgt: Aus w ∈ A ∗ streichen
wir, von links beginnend, alle Teilfolgen der Form mm −1 oder m −1 m, und
wiederholen dies, bis keine derartige Teilfolge mehr auftritt. Die Menge
F (M) dieser reduzierten Worte ρ(w) versehen wir mit der folgenden Verknüpfung:
∗: F (M) × F (M) → F (M) , (w, w ′ ) ↦→ ρ(ww ′ ).
• Das Paar (F (M), ∗) ist eine Gruppe, und die Einbettung
M ↩→ F (M) , m ↦→ m
hat die gewünschte Universaleigenschaft, denn eine Abbildung f von M
in eine Gruppe H läßt sich offenbar mittels folgender Abbildung γ von
F (M) nach H faktorisieren:
γ: F (M) → H , m b0
i 0 · · · m b k−1
i k−1
↦→ f(m i0 ) b0 · · · f(m ik−1 ) b k−1
.
} {{ }
oBdA: b i∈{−1,+1}
Außerdem ist γ offensichtlich Homomorphismus und eindeutig bestimmt,
da F (M) von M erzeugt wird.
• Die Isomorphie folgt nach 5.1.3.
✷
Wegen der Isomorphie zweier von M frei erzeugter Gruppen können wir F (M)
auch als die von M frei erzeugte Gruppe bezeichnen. Die Elemente m ∈ M
heißen freie Erzeugende dieser Gruppe. Das Attribut frei bedeutet dabei insbesondere,
daß zwischen den Elementen aus M keine nichttrivialen Relationen
bestehen, das sind Gleichungen der Form
m b0
i 0 · · · m b k−1
i k−1
= ɛ.
} {{ }
reduziert !
Weil M ganz F (M) erzeugt, heißt F (M) auch die freie Gruppe über M.
6.1.3 Beispiele Für die freie Gruppe über einem einzigen Element gilt offenbar
F ({m}) ≃ Z , m ↦→ 1,
während alle anderen freien Gruppen nicht kommutativ sind:
1 < |M| =⇒ F (M) ist nicht abelsch.
Aus der Existenz und Isomorphie zwischen den freien Gruppen über M ergibt
sich noch
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