6.1 Präsentationen von Gruppen

6.1. PRÄSENTATIONEN VON GRUPPEN 247
• Die Isomorphie ist somit bewiesen, wenn |G ′ | = |G| verifiziert werden
kann. Dazu genügt es, eine Untergruppe U ′ ≤ G ′ zu finden, für die |U ′ |
und |G ′ /U ′ | ermittelt werden können.
6.1.7 Beispiel Betrachten wir als Beispiel den eingangs aufgeführten Fall der
Präsentation
G := 〈x, y | x 2 = y 2 = (xy) 3 = 1〉.
Wir wollen zeigen, daß dies tatsächlich eine Präsentation der symmetrischen
Gruppe S 3 ist. Dazu schließen wir wie folgt:
• S 3 ist jedenfalls homomorphes Bild von G, also ist 3! ein Teiler von |G|.
• Die von y erzeugte Untergruppe U hat die Ordnung 2, zum Nachweis der
vermuteten Isomorphie genügt also allein die Verifizierung von |G/U| = 3.
• Zur Berechnung des gewünschten Index beachten wir, daß U, xU und yxU
Linksnebenklassen sind (ob sie verschieden sind brauchen wir hier nicht
einmal zu wissen!). Bei Linksmultiplikation mit Erzeugenden ergeben sich
daraus keine weiteren Linksnebenklassen, der Index ist also tatsächlich
≤ 3.
Zusammenfassend haben wir daraus die folgende Präsentation ermittelt:
S 3 ≃ 〈x, y | x 2 = y 2 = (xy) 3 = 1〉.
6.1.8 Definition (Diedergruppen) Die Gruppen
D m := 〈x, y | x 2 = y 2 = (xy) m = 1〉
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heißen Diedergruppen.
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6.1.9 Hilfssatz D m hat die Ordnung 2m und enthält mit 〈xy〉 einen Normalteiler
der Ordnung m.
Beweis: Sei z := xy. D m wird erzeugt von {x, z}, und die Gleichungen
yx = y −1 x −1 = z −1
zeigen, daß sich jedes Element von D m in der Form x r z s schreiben läßt, mit
0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ m − 1. Es gilt demnach |D m | = 2m. Die Normalteilereigenschaft
von 〈z〉 ergibt sich aus xzx = yzy.
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6.1.10 Definition (semidirektes Produkt) Sind G und H Gruppen und ist
h ↦→ ¯h ein Homomorphismus von H in die Gruppe Aut(G) der Automorphismen
von G, dann wird G × H zu einer Gruppe durch die Setzung
(g, h)(g ′ , h ′ ) := (g · ¯h(g ′ ), hh ′ ).
Diese Gruppe heißt das semidirekte Produkt von G mit H bzgl. h ↦→ ¯h.
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