4. Cartesische Geometrie II: Kreise und Sphären Eine Gerade kann ...

4. Cartesische Geometrie II: Kreise und Sphären
Eine Gerade kann man sich nur denken, man kann sie nicht durch Bewegung erzeugen
(dafür lebt man nicht lange genug). Dies ist anders bei Kreisen. Kreise und Ellipsen
kann man statisch definieren (als Ort aller Punkte, die von einem gegeben Punkt denselben
Abstand haben) oder dynamisch definieren (als Spur einer kreiförmigen Bahn - etwa
einer Planetenbahn). In diesem Abschnitt betrachten wir Kreise, Streckungen und alle
Bewegungen (die den Nullpunkt festlassen).
Streckungen.
Manche geometrische Probleme erscheinen nur schwierig, weil man sie falsch ansieht. Sie
werden oft ganz einfach, wenn man seinen Blickwinkel ändert. Wir wollen uns dies an
einem illustrativen Bespiel sehen, nämlich der Existenz des sog. Feuerbach Kreises,
Definition. Eine Streckung ist eine lineare Abbildung L : R n → R n
definiert durch
L(v) = λ · v. λ ≠ 0.
Bemerkung. Streckungen werden durch Diagonalmatrizen beschrieben, deren Eingänge
in der Hauptdiagonale alle λ sind.
Satz. Eine Streckung bildet Kreise auf Kriese ab.
Beweis. Die Wirkung der Streckungen auf Kreise, entnimmt man folgendem Bild:
r
P P’
kr
V O O’
Streckung
Unter der Streckung v ↦→ kv wird der Punkt V
gehen in O ′ ,P ′ über. ♦
festgehalten und die Punkte O,P
Klaus Johannson, Geometrie

§5 Cartesische Geometrie II 31
Satz. (9. Punkte-Satz) Sei ∆ABC eine Dreieck. Seien A ′ ,B ′ ,C ′ die Fußpunkte
der Lote von den Punkten A,B,C auf die gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks. Seien
A ′′ ,B ′′ ,C ′′ die Mittelpunkte der Seiten CB,AC,AB des Dreiecks. Seien X,Y,Z die
Mittelpunkte der Strecken AP,BP,CP, wobei P der Schnitt der drei Lote ist.
Dann gibt es einen Kreis (den sog. Feuerbach Kreis) der die 9 Punkte:
enthält.
X,Y,Z, A ′ ,B ′ ,C ′ ,A ′′ ,B ′′ ,C ′′
Beweis (durch Abbildungsgeometrie). Wir betrachten nun den 9-Punkte-Satz vom
Standpunkt der Abbildungsgeometrie. Betrachte das folgende Bild zum 9-Punkte Kreis:
F’
C
F
P
E
E’
D
A
B
D’
die 9-Punkte des 9-Punkte Satzes
Wir wissen, dass sich alle drei Höhen (Lote) des Dreiecks ∆ABC in einem Punkt, etwa
P, schneiden. Man nennt diesen Punkt das Orthozentrum des Dreiecks ∆ABC. Wir
verlängern die Strecke CP bis zum Schnittpunkt D ′ mit dem äusseren Kreis.
Behauptung. PD ≡ DD ′ (und ebenso PE ≡ EE ′ ,PF ≡ PF ′ .
Um dies zu sehen, genügt es zu zeigen, dass ∆APD ≡ ∆ADD ′ . Da diese beiden Dreiecke
die Seite AD gemeinsam haben und weiter beide einen rechten Winkel haben, muss man,
nach den Kongruenzsätzen, nur noch zeigen, dass ̸ DAD ′ ≡ ̸ PAD. Aber ̸ BAD ′ ≡
̸ BCD und ̸ BCD ≡ ̸ PAD (betrachte Winkelsumme in den beiden Dreiecken ∆BAE
und ∆BCD). Dies beweist die Behauptung.
Nun betrachte die Streckung vom Punkt P mit Streckungsfaktor 1/2. Dann bildet diese
Streckung den gr¨ßeren Kreis und somit insbesondere die Punkte A,D ′ ,BE ′ ,C,F ′ auf
den kleineren Kreis ab. Es folgt damit, dass 6 der 9 Punkte auf einem Kreis liegen müssen.
Klaus Johannson, Geometrie

32 . Geometrie
Um zu zeigen, dass die restlichen Punkte auf demselben Kreis liegen müssen, betrachte
zunächst das Dreieck
∆ABP
Sein Orthozentrum ist der Punkt C. Betrachte die Streckung von diesem Punkt mit
Streckungsfaktor 1/2. Dann bildet auch diese Streckung den großen Kreis auf den kleinen
Kreis ab. Da A,B,C auf dem großen Kreis liegen, müssen die Mittelpunkte von AC
und BC auf dem kleinen Kreis liegen (und ebenso der von AB). ♦
Komplexe Zahlen.
Als nächstes studieren wir die niedrig-dimensionalen Rotationsgruppen SO 2 R und SO 3 R.
Dazu brauchen wir aber etwas zusätzliches algebraisches Rüstzeug. Wir beginnen mit den
komplexen Zahlen.
Der 2-dimensionale Vektorraum R 2 hat neben der Addition noch eine Multiplikation mit
besonders schönen Eigenschaften, dies ist die ”komplexe Multiplikation”. Die komplexe
Multiplikation ist gegeben durch
[ ] [ ]
a c
×
b C :=
d
[ ]
ac − bd
.
ad + bc
Es gibt mindestens zwei Wege sich dieses eigenartige Definition zu erklären - je nachdem
wie man die Elemente von C schreibt.
1. Erklärung für die komplexe Multiplikation. Zum einen kann man die Elemente
von C schreiben als
a + bi, a,b ∈ R,
wobei i wobei i ein Symbol ist mit der folgenden Multiplikationstafel
× C 1 i
1 1 i
i i −1
(meist schreibt man i := √ −1). In diesem Fall nennt man a + bi eine komplexe Zahl.
Addition von komplexen Zahlen ist einfach gegeben durch
und die komplexe Multiplikation durch
(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i
(a + bi) × C (c + di) = ac + adi + bci − bd = (ac − bd) + (ad − bc)i
Klaus Johannson, Geometrie

§5 Cartesische Geometrie II 33
Die komplexe Multiplikation hat eine Inverses. Etwas allgemeiner gilt:
a + bi
c + di = (a + bi) × C (c − di)
(c + di) × C (c − di)
=
(ac − bd) + (ad − bc)i
c 2 − d 2 .
2. Erklärung für die komplexe Multiplikation. Zum anderen kann man die Elemente
von C auch identifizieren mit Matrizen
[
a
−b
]
b
a
In diesem Fall ist die Addition gegeben durch
[ ] [ ] [ ]
a b c d a + c b + d
+ =
−b a −d c −b − d a + c
und die komplexe Multiplikation durch das Matrixprodukt
[ ] [ ] [ ]
a b c d ac − bd ad + bc
· =
−b a −d c ad + bc ac − bd
Quaternionen.
Es ist eine bemerkenswerte Tatsache (eine Entdeckung durch Hamilton), dass auch der
R 4 eine Multiplikation hat. Diese macht aus R 4 zwar keinen Körper mehr (denn die
Multiplikation ist nicht kommutativ) aber immerhin noch einen Schiefkörper. Diese Multiplikation
heißt das ”Quaternionenprodukt”. Das Quaternionenprodukt ist gegeben durch
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤
v 1 w 1 v 1 w 1 − v 2 w 2 − v 3 w 3 − v 4 w 4
⎢v 2 ⎥ ⎢w ⎣ ⎦ × 2 ⎥ ⎢v v Q ⎣ ⎦ = 1 w 2 + v 2 w 1 + v 3 w 4 − v 4 w 3 ⎥
⎣
⎦
3 w 3 v 1 w 3 − v 2 w 4 + v 3 w 1 + v 4 w 2
v 4 w 4 v 1 w 4 + v 2 w 3 − v 3 w 2 + v 4 w 1
und es macht aus R 4 den Schiefkörper Q der Quaternionen. Es gibt wieder zwei
Möglichkeiten sich diese eigenartige Definition zu erklären - je nachdem wie man Quaternionen
schreibt.
1. Erklärung für das Quaternionenprodukts. Zum einen kann man die Elemente
von Q schreiben als
v 1 e + v 2 i + v 3 j + v 4 k
wobei e,i,j,k Symbole sind mit folgender Multiplikationstafel:
× Q e i j k
e e i j k
i i −e k −j
j j −k −e i
k k j −i −e
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34 . Geometrie
Wenn man nun das Produkt
(v 1 c + v 2 i + v 3 j + v 4 k) × Q (w 1 c + w 2 i + w 3 j + w 4 k)
ausrechnet und erhält man die obigen Formeln.
2. Erklärung für das Quaternionenprodukt. Zum anderen kann man die Elemente
von Q schreiben als Matrizen der Form:
⎡
⎤
⎡ ⎤ v
v 1 −v 2 −v 3 v 4
1
v
⎢v v = 2 ⎥
2 v 1 −v 4 −v 3
[ ]
a −b
⎣ ⎦ = ⎢
⎥
v 3 ⎣
⎦ = , a,b ∈ C.
¯b ā
v
v 3 v 4 v 1 v 2
4
−v 4 v 3 −v 2 v 1
Aus dem Matrixprodukt dieser Matrizen erhält man wieder die obigen Formel für das
Quaternionenprodukt. Mit der Matrixdarstellung kann man nun auch die multiplikative
Inversen bestimmen.
Satz. Die Menge Q := {ae + bi + cj + dk | a,b,c,d ∈ R }, zusammen mit der Addition
und dem Quaternionen Produkt, ist ein Schiefkörper.
Beweis. Man benutze die obige Tafel. Dann kann man alle Axiome eines Schiefkörpers
nachrechnen. ♦
Bemerkung. Es ist i × Q j = −j × Q i. Also Q nicht kommutativ und so kein Körper.
Da Q nicht kommutativ ist, macht es Sinn das Zentrum zu betrachten.
Definition. Das Zentrum, Z(G), einer Gruppe G ist definiert durch
Z(G) := { x ∈ G | v × Q x = x × Q v, für alle v ∈ G }
Das Zentrum von Q ( = Gruppe bzgl. des Quaternionenprodukts) besteht also aus all
den Quaternionen, die mit allen Quaternionen vertauschbar sind.
Satz. Z(Q) = Re.
Beweis. Es ist
Z(Q) = ⋃
u∈Q
Z(u),
wobei Z(u) = { x ∈ Q | x × Q u = u × Q x }. Sei u ∈ Q und x ∈ Z(u). Dann
ist x × Q u = u × Q x. Weiter gibt es ein r ∈ Re mit u − r ∈ Im(Q). Also o.B.d.A.
Klaus Johannson, Geometrie

§5 Cartesische Geometrie II 35
u ∈ Im(Q), da x ∈ Z(u) ⇔ x ∈ Z(u − r). Nach dem gleichen Argument, kann man
weiter annehmen, dass u 2 = −e und x 2 = −e. Dann folgt aber
so dass x = ±u. ♦
(x − u) × Q (x + u) = x 2 − u × Q x + x × Q u − u 2 = 0,
Einheitssphären.
Die obigen Multiplikationen geben den Einheitssphären in R 2 und R 4 eine Gruppenstruktur.
Um dies zu sehen beachte man zunächst, dass man mit Hilfe der komplexen Konjugation
eine komplexe Norm definieren kann:
¯. : C → C, a + bi ↦→ a − bi,
|z| := (z × C ¯z) 1/2 .
Wenn z = a + bi, dann ist |z| = (a 2 + b 2 | 1/2 . Also ist
S 1 := {v ∈ R 2 | ‖ v ‖= 1} = {z ∈ C | z × C ¯z = 1 }.
Satz. Die Einheitssphäre S 1 ⊂ C ist abgeschlossen gegenüber der komplexen Multiplikation.
Weiter ist (S 1 , × C ) eine Gruppe.
Beweis. Seien z 1 ,z 2 ∈ S 1 . Dann gilt
(z 1 × C z 2 ) · z 1 × C z 2 = z 1 × C z 2 × C ¯z 1 × C ¯z 2 = z 1 × C ¯z 1 × C z 2 × C ¯z 2 = 1 · 1 = 1
Die Gruppenaxiome rechnet man leicht nach. Dies beweist den Satz. ♦
Für Quaternionen hat man auch eine Quaternionen Konjugation - definiert durch
¯. : Q → Q, ae + bi + cj + dk ↦→ ae − bi − cj − dk
Mit dieser Konjugation definiert man die Norm
|v| := (v × Q ¯v) 1/2
für Quaternionen. Dies ist wieder nichts Neues, denn man rechnet schnell nach, dass
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤
v 1 v 1 +v 1 v 1 + v 2 v 2 + v 3 v 3 + v 4 v 4
⎢v 2 ⎥ ⎢ −v
⎣ ⎦ × 2 ⎥ ⎢ −v
v Q ⎣ ⎦ = 1 v 2 + v 2 v 1 − v 3 v 4 + v 4 v 3
⎣
3 −v 3 −v 1 v 3 + v 2 v 4 + v 3 w 1 − v 4 v 2
v 4 −v 4 −v 1 v 4 − v 2 v 3 + v 3 v 2 + v 4 v 1
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
v 2 1 + v 2 2 + v 2 3 + v 2 4
0
0
0
⎤
⎥
⎦.
Klaus Johannson, Geometrie

36 . Geometrie
Also ist
v × Q ¯v = ¯v × Q v = (v · v)e,
d.h. nichts weiter als die gewöhnliche Norm in R 4 . Also ist
S 3 := {v ∈ R 4 | ‖ v ‖= 1 } = { h ∈ H | |h| = 1 } ⊂ H.
Hieraus ergibt sich weiter die folgende Identität:
Lemma. 2(v · w)e = v × Q ¯w + w × Q ¯v.
Beweis.
(v · v + 2v · w + w · w)e = ((v + w) · (v + w))e (das Skalarprodukt ist kommutativ)
= (v + w) × Q v + w (siehe oben)
= (v + w) × Q (¯v + ¯w)
= v × Q ¯v + v × Q ¯w + w × Q ¯v + w × Q ¯w
= (v · v)e + (w · w)e + v × Q ¯w + w × Q ¯v
und so folgt das Lemma. ♦
Satz. Die Einheitssphäre S 3 ⊂ H ist abgeschlossen gegenüber dem Quaternionenprodukt
(aber nicht gegenüber der Addition). Weiter ist (S 3 , × Q ) eine Gruppe.
Beweis. Man rechnet zunächst schnell nach, dass
v × Q w = ¯w × Q ¯v
(man beachte, dass v und w hier vertauscht wurden). Dann gilt
|v × Q w| 2 = (v × Q w) × Q (v × Q w)
= ( ¯w × Q ¯v) × Q (v × Q w) (wir haben hier vertauscht)
= ¯w × Q (¯v × Q v) × Q w (das Quaternionenprodukt ist assoziativ)
= ¯w × Q (v · v)e × Q w (siehe oben)
= (v · v)( ¯w × Q w)
= (v · v)(w · w)e = |v| 2 |w| 2 .
Also v × Q w ∈ S 3 , für alle v,w ∈ S 3 .
Die Gruppenaxiome rechnet man leicht nach. ♦
Klaus Johannson, Geometrie