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Analysis und Lineare Algebra für Informatiker
Übungen Woche 12
Gleichgewichte
1. Gleichgewichte im R 1 . In der ersten Reihe sind vier Funktionen f(x). In der zweiten Reihe
sind Lösungskurven x(t) der Differentialgleichungen
dx
dt = f(x).
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
0
x ∗
x
0
x ∗
x
0
x ∗
x
0
x ∗
x
1 2 3 4
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
x ∗
t
x ∗
t
x ∗
t
x ∗
t
a b c d
Bei welcher der Funktionen f(x) (1, 2, 3, 4) ist der Gleichgewichtspunkt x ∗
(i) anziehend?
(ii) abstoßend?
(iii) von links (x < x ∗ ) anziehend, von rechts abstoßend?
(iv) von rechts anziehend, von links abstoßend?
(Hinweis: es ist hilfreich, die Bewegungsrichtung von x(t) mit Pfeilen einzuzeichnen.)
Bei welchen Lösungskurven x(t) (a, b, c, d) ist der Gleichgewichtspunkt x ∗
(v) anziehend?
(vi) abstoßend?
(vii) von unten (x < x ∗ ) anziehend, von oben abstoßend?
(viii) von oben anziehend, von unten abstoßend?
Welche Schar von Lösungskurven (a, b, c, d) gehört zu
(ix) Funktion 1? (x) Funktion 2? (xi) Funktion 3? (xii) Funktion 4?
2. Gleichgewichte im R 2 Die Kurven unten sind Lösungskurven von Differentialgleichungen
in der Ebene:
d⃗x(t)
= f(⃗x(t)).
dt
⃗

Die Startpunkte der Kurven sind mit Kreisen gekennzeichnet. Jede Gleichung hat einen Gleichgewichtspunkt
x ∗ , der mit einem Dreieck markiert ist.
a
b
c
d
(i) Bei welchen Gleichungen (a, b, c, d) ist der Gleichgewichtspunkt anziehend?
(ii) Bei welcher Gleichung sind die Eigenwerte der Jacobi-Matrix im Gleichgewichtspunkt
µ 1 = 0.1 + i, µ 2 = 0.1 − i?
(iii) Bei welcher Gleichung sind die Eigenwerte der Jacobi-Matrix im Gleichgewichtspunkt
µ 1 = −1 µ 2 = −2?
(iv) Die Eigenvektoren der Jacobi-Matrix bei der Gleichung mit Eigenwerten µ 1 = −1 µ 2 = −2
sind (1,3) T und (2,1) T . Welcher Vektor gehört zum Eigenwert −1?
(v) Bei welcher Gleichung sind die Eigenwerte der Jacobi-Matrix im Gleichgewichtspunkt
µ 1 = −0.05 + i, µ 2 = −0.05 − i?
(vi) Bei welcher Gleichung sind die Eigenwerte der Jacobi-Matrix im Gleichgewichtspunkt
µ 1 = 1 µ 2 = −2?
(vii) Die Eigenvektoren der Jacobi-Matrix bei der Gleichung mit Eigenwerten µ 1 = 1 µ 2 = −2
sind (1,3) T und (2,1) T . Welcher Vektor gehört zum Eigenwert 1?

Lösungen durcheinander:
A. 4 B. a C. c D. d
E. n F. V − E + F = 2 G. k H. (2,1) T
I. b J. a K. h L. d
M. 2 N. h O. au 2 + 2buv + cv 2 P. µ = 1 ± 2i
Q. n R. 3 S. d T. a & d
U. b V. R 2 W. 1
X. c Y. Patroklos Z. b AA. k
BB. a CC. (2,1) T DD. p EE. 1
FF. c
( ) (
GG. 1
) 3 (
+ 2 3 + ...
)
+ n 3 = (1 + 2 + ... + n) 2 HH. 2
II. sin x = x 1 − x2 1 − x2 1 − x2 ...
π 2 4π 2 9π 2
Lösungen der Reihe nach
1(i). HH 1(ii). W 1(iii). R 1(iv). A 1(v). Z 1(vi). FF 1(vii). J 1(viii). S
(ix). C 3(x). I 3(xi). BB 3(xii). L
2(i). T 2(ii). U 2(iii). B 2(iv). H 2(v). D 2(vi). X 2(vii). CC