8. Von der Zentralprojektion zur projektiven Geometrie.

8. Von der Zentralprojektion zur
projektiven Geometrie.
Neben der Euklidischen Geometrie, wie sie im Buch
von Euklid niedergelegt und wie wir sie im vorigen
Abschnitt behandelt haben, gibt es noch weitere Geometrien.
In diesem Kapitel behandeln wir eine neue
Raumlehre - die projektive Geometrie. Die Geschichte
der projektiven Geometrie begann mit der Entdeckung
der Perspektive in der Renaissance.
Die Entdeckung der Perspektive.
Die Grundprobleme der Renaissance Maler und Baumeister
waren die folgenden:
(1) Wie kann man auf einer Fläche die Illusion des
Raumes herstellen.
(2) Mit welchem Experiment kann man verifizieren,
dass die korrekten Gesetze der Perspektive gefunden
wurden.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

72 . Geometrie (L2)
Die Maler kamen auf diese Frage, weil sie bei ihren Erforschungen
der römischen Ruinen entdeckten, dass die
Römer offensichtlich die Perspektive kannten und sie
nutzten, um Räumen durch perspektivische Wandgemälde
die Illusion von Größe zu geben. Die Lösung
der Probleme hat Brunelleschi (1377-1446) gegeben
(der gleiche der auch die Kuppel des florentiner Domes
gebaut hat). Für die zweite Frage benutzte er die folgende
Versuchsanordnung:
Gebaeude
Guckloch
halber Spiegel
Rueckwand des Gemaeldes
Gemaelde (umgedreht)
Das Experiment von Brunelleschi
Brunnelleschi stellte zunächst, nach der von ihm entdeckten
Methode des perspektivischen Malens, ein Gemälde
eines Gebäude her und bohrte ein kleines Loch
in die Mitte. Wenn man durch dieses Guckloch schaut,
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 73
dann sieht man zwei Hälften: in der unteren Hälfte
das gemalte Gebäude im Spiegel und in der oberen
Hälfte das wirkliche Gebäude. Wenn nun die perspektivische
Methode wirklich korrekt ist, dann müsste
die Illusion entstehen, als wenn man das vollständige
Haus sieht (obwohl ja eigentlich die untere Hälfte in
Wirklichkeit durch den Spiegel verdeckt ist). Dies war
Brunnellschi’s Experiment. Es wurde tatsächlich erfolgreich
ausgeführt. Und zwar auf dem Vorplatz des
Florenzer Doms. Das Gemälde stellte dabei das Baptisterium
dar. Danach war die Perspektive anerkannt.
Damit hatte man das Experiment für Frage 2. Aber
wie lauten die Gesetze der Perspektive?
Physiologie des Sehens.
Der Grund der Perspektive liegt in der Physiologie des
Auges. Stellen wir uns vor wir sehen entlang einer
langen Allee mit den Randpunkten a, b, c, d. Die
Sehstrahlen von diesen Punkten gehen durch die Pupille
des Auges und durch einen Fokuspunkt in der Mitte
des Auges und werden dann als Punkte a ′ , b ′ , c ′ , d ′ auf
der Netzhaut des Auges erscheinen. Dort befinden sich
die Rezeptoren mit denen wir das Bild physiologisch
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

74 . Geometrie (L2)
wahrnehmen. Es erscheint also spiegelverkehrt, aber
das wird im Gehirn korrigiert.
a
Allee
c
Auge
d’
b’
a’
c’
b
d
Physiologie des Sehens
Wichtig ist nun zu beobachten, dass in der Projektion
das Puntepaar a ′ , b ′ viel dichter zusammenliegt
als das Paar c ′ , d ′ . Wir sehen also ein Punktepaar
als dichter und dichter zusammenliegend je weiter es
vom Auge fortbewegt wird. Die Kanten der Allee erscheinen
als zwei zueinander zulaufende Geraden, die
sich (wenn die Allee lang genug ist) in einem fernen
Punkt zu treffen scheinen (da sie die Netzhaut nicht
mehr unterscheiden kann).
Das gleiche Bild auf der Netzhaut können wir uns (nun
aber richtig herum) auf die Pupille projiziert vorstellen
oder auf irgendeinen durchsichtigen Schirm vor dem
Auge. Wir werden die Projektion der Alle auf diesen
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 75
Schirm nicht von der wirklichen Allee unterschieden
können, da sie ja auf der Netzhaut dasselbe Bild wie
die wirkliche Allee erzeugt. Das war es was Brunellesci
mit seinem Experiment zeigen wollte.
Es bleibt schließlich noch die Frage zu klären warum
ein Punkt, wie z.B. a, nur einen einzigen Projektionspunkt,
nämlich a ′ , hat. Von allen Lichstrahlen,
die von a ausgehen, wählt das Auge offenbar den
einen aus, der durch den Mittelpunkte (Fokuspunkt)
des Auges geht. Dies wird nun durch die Linse in
der Pupille bewerkstelligt. Die Krümmung der Linsenoberfläche
bewirkt, dass das Bündel der Lichtstrahlen,
die von a ausgehen, so gebrochen wird, dass sich
danach alle Lichtstrahlen im Punkt a ′ treffen (der
Lichtstrahl, der durch den Fokuspunkt geht, ist der
einzige der nicht gebrocehn wird). Auf diese Weise erscheint
es so, als wenn das Auge einen einzigen Lichtstrahl
unter diesem Bündel auswählt.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

76 . Geometrie (L2)
Die Regeln des perspektivischen Zeichnens.
Die Gesetze nach denen perspektivisch getreue Bilder
gemalt werden können wurden in der Rennaissance
formuliert (sie wurden in der Rennaissance wiederentdeckt,
denn man kennt aus dem antiken Rom auch
schon perspektivische Wandmalereien). iEs war ein
komplizierter Prozess. Sie wurden schließlich ebenfalls
von Brunelleschi gefunden und stellten eine Revolution
des Malens (und Sehens dar). Die Gesetze liefen auf
die Verwendung folgender Methode hinaus:
Gitterschirm
Auge
Methode zur Konstruktion perspektivischer Gemälde
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 77
Die erste Entdeckung war die Entdeckung eines unendlich
fernen Punktes. Auf ihn liefen im Gemälde alle
parallelen Linien zu, die vom Betrachter wegführten.
Als nächstes entdeckte man die unendlich ferne Gerade,
d.h. den Horizont. Büschel von parallelen Linien
in jeder Richtung laufen auf einen unendlichen fernen
Punkt zu und alle diese unendlich fernen Punkte
ergeben eine unendlich ferne Gerade auf dem Schirm.
Damit ist jetzt klar wie sich ein Schachbrett- muster
auf dem Schirm darstellt.
Methode zur Konstruktion perspektivischer Gemälde
Beschreibung. Man muss die beiden Fluchtpunkte
bestimmen, die durch zwei Büschel von Parallelen gebildet
werden. Einmal die Parallelen des Schachbrettmusters,
die vom Betrachter weglaufen und dann die
Parallelen die durch die Diagonalen der Kacheln bestimmt
werden. Danach kann man das Schachbrettmuster
nach obiger Vorschrift auf den Schirm malen.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

78 . Geometrie (L2)
Mit diesen Regeln kann man nun alle möglichen Objekte
darstellen und zwar ohne zu rechnen. Das ganze
Verfahren wurde von Dürer in verschiedenen Holzstichen
festgehalten. Bei Dürer sieht das alles natürlich
viel schöner aus:
Die perspektivische Methode nach Dürer
oder so
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 79
Abwandlung desselben Verfahrens
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

80 . Geometrie (L2)
Die Zentralprojektion in der
darstellenden Geometrie.
Ziel der darstellenden Geometrie ist es einen räumlichen
Körper so in der Ebene darzustellen, dass alle
wesentlichen Geschtspunkte möglichst realistisch zum
Ausdruck kommen. Hierzu benutzt man in der darstellenden
Geometrie verschiedene Projektion: Aufriss,
Seitenriss und Zentralprojektion. Die beiden ersten
Projektionen sind einfach Parallelprojektionen auf
Ebenen. Die Erstellung der Zentralprojektion ist am
Aufwendigsten.
Hier ist eine Beispiel für die Zentralprojektion:
Zentralprojektion eines Werkstücks
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 81
Die Wahl der beiden Fluchtpunkte ist sehr wichtig.
Hier ist man zwar ziemlich frei. Dennoch sehen die
Zentralprojektionen bei manchen Fluchtpunkten besser
aus als bei anderen.
Perspektivische Verzerrungen.
Wir führen unsere Betrachtung des Sehens noch etwas
weiter. Als nächstes wenden wir uns der Pupille
zu. Diese wirft ein ganz eigenes Problem auf. Die
Pupille des menschliche Auges ist relative klein (im
Gegensatz etwa zur Pupille von Fliegen). Dies ist auch
gut so, denn so werden wir weniger mit Verzerrungen
konfrontiert. Um dieses Verzerrungsproblem zu verstehen,
stelle man sich einmal vor, die Pupille wäre
viel grösser, etwa die Hälfte des gesamten Auges. Eine
Hälfte des Auges besteht dann aus der Pupille und
die andere Hälfte aus dem Augenhintergrund. Nun
beobachten wir mit unserem vergrösserten Auge einen
auf und ab springenden Ball. Die Zentralprojektion
des Balles hinterlässt zwei Projektionen: eine Projektion
auf der Pupille und eine andere Projektion auf
dem Sehschirm. Wir beobachten:
(1) die Projektion des Balles auf die Pupille hinterlässt
eine Schar von Kreisen, deren Grösse sich verändern,
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

82 . Geometrie (L2)
(2) die Projektion des Balles auf den Sehschirm hinterlässt
eine Schar von Ellipsen, die sich verändern.
Auge
Hintergrund
Pupille
Bild von Kugeln
Das perspektivische Bild von Geraden ist dagegen weniger
problematisch:
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 83
Auge
k
Hintergrund
Pupille
h
g
Bild von Geraden
Das perspektivische Bild der Geraden g auf dem
Sehschirm oder auf dem Auge ist Schnitt einer Ebene
(nämlich der Ebene, die durch g und dem Mittelpunkt
des Auges bestimmt wird) mit dem Sehschirm bzw.
der Sehkugel. Es ist also eine Gerade auf dem Sehschirm
und ein Grosskreis auf der Sehkugel. Wir haben
also keine Verzerrungsprobleme, wenn wir uns auf
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

84 . Geometrie (L2)
die Betrachtung von Punkten und Geraden beschränken.
Fur andere geometrische Figuren kann es aber Verzerrungen
geben. Diese müsste man dann korrigieren,
denn die perspektivischen Bilder stellen ja immer das
gleiche Objekt dar. In dem Besipiel des springenden
Ball stellen z.B. alle Bildellipsen das gleiche Objekt
dar (nämlich den Ball) und müssten also gleich sein.
Dann müssten aber Ellipsen und Kreise gleich sein.
Das bedeutet aber, dass man in einer projektiven Geometrie
nicht zwischen verschiedene Kegelschnitte unterscheiden
kann. Daraus folgt aber, dass wir in einer
projektiven Geometrie nicht Euklidisch messen dürfen.
Wir werden also zunächst weiterhin auf ein Messen
verzichten müssen. Dies ist kein Nachteil sondern wird
sich zunächst als ein Vorteil der projektiven Geometrie
herausstellen.
Bemerkung. Um die Verzerrungsprobleme wirklich
in den Griff zu bekommen, müssten wir jetzt genaugenommen
eine Äquivalenzrelation einführen unter denen
alle verzerrten Figuren wieder gleich werden. Dies
wird durch die sog. projektiven Transformationen bewerkstelligt.
Wir werden aber im folgenden wie bisher
nur Punkte und Geraden und keine kreisförmigen Figuren
betrachten. Dies ist eine vereinfachte Geometrie
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 85
in der die in diesem Abschnitt betrachteten Verzerrungsprobleme
nicht auftreten. Deswegen werden wir
sie auch nicht weiter behandeln.
Die Projektive Ebene.
Wir gehen in unserer Betrachtung des Sehens nun noch
einen Schritt weiter. Diesmal stellen wir uns vor, dass
unser Auge vollkommen ist, d.h. sein Sehfeld 360 0
beträgt. Wir haben also den Extremfall vor uns in
dem das gesamte Auge Pupille ist (und gleichzeitig
Augenhintergrund).
Die von den Punkten ausgehenden Sehstrahlen treffen
die Pupille zweimal - einmal beim Eintreten in
das Auge und einmal beim Austreten aus dem Auge.
Da jeder Sehstrahl durch den Augenmittelpunkt geht,
liegen sich Eintrittspunkt und Austrittspunkt diametral
gegenüber. Das Auge sieht jeden Gegenstand
zweimal. Die beiden perspektivischen Bilder des Gegenstandes
auf dem Auge unterscheiden sich durch
eine Diametralpunktvertauschung der Sphäre des Auges.
Aus diesem Grund identifiziert man in der Mathematik
die gegenüberliegenden Punkte der Sphäre.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

86 . Geometrie (L2)
Definition. Die projektive Ebene entsteht aus der
Sphäre durch Identifizierung diametral gegenüberliegender
Punkte.
Die projektive Ebene liegt nicht mehr im dreidimensionalen
Raum und lässt sich auch dort nicht einbetten.
Dennoch kann man sich eine ganz gute Vorstellung
verschaffen wie eine projektive Ebene aussieht
und wie es ist etwa in einer projektiven Ebene zu leben.
Gegenüberliegende Punkte der Ausgangssphäre sind
gleich (d.h. sie werden identifiziert unter der Diametralpunktabbildung).
Wir können also genausogut alle
Punkte der oberen Halbsphäre vergessen, denn allen
Punkte der oberen Halbsphäre entsprechen ja gleichen
Punkten der unteren Halbsphäre. Die projektive Ebene
erhalten wir nun aus der unteren Halbkugel indem
wir die gegenüberliegenden Punkte des Äquators (=
Rand der unteren Halbkugel) allein identifizieren.
Man betrachte nun die folgende Zerlegung der unteren
Halbsphäre.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 87
Die Zerlegung der projektiven Ebene in Scheibe und Möbiusband
Wir haben haben zwei Zweiecke und ein Viereck. Diese
drei Stücke werden wie folgt identifiziert. Die beiden
Zweiecke werden entlang ihrer Kanten im Äquator
identifiziert. Dadurch einsteht eine einzige Scheibe
(ohne Ecken). Die beiden Kanten des Vierecks, die
im Äquator liegen, werden diametral identifiziert. Es
entsteht das Möbiusband.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

88 . Geometrie (L2)
Kreisring Identifikation von Antipoden Möbiusband
Damit ist gezeigt, dass die projektive Ebene die Vereinigung
des M¨biusbandes mit einer Scheibe ist. Insbesondere
ist also die projektive Ebene von der Sphäre
verschieden, denn die 2-Sphäre enthält kein Möbiusband.
Wegen der ungewöhnlichen Gestalt der projektive
Ebenen, ist sie oft schwer zu handhaben. Deswegen behilft
man sich oft mit den affinen Ebenen, die leichter
zu handhaben sind. Die affinen Ebenen behandeln
wir nachdem wir die projektive Geomtrie eingeführt
haben.
Konkrete Projektive Geometrie.
Die bisherigen Überlegungen führen zur sogenannten
konkreten projektiven Geometrie.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 89
Aus der projektiven Ebene wird eine projektive Geometrie
indem man noch definiert was die geometrischen
Objekte in der projektiven Ebene sind mit denen
sich die Geometrie beschäftigen soll. Also
Konkrete projektive Geometrie = projektive Ebene +
geometrische Objekte
Hier wären im Prinzip viele geometrische Figuren
denkbar. Besonders interessant wären z.B. Kegelschnitte
und dergleichen. Wir werden aber hier der
Einfachheit halber nur ”Punkte” und ”Geraden” betrachten
(und damit auch den vorher angesprochenen
Verzerrungsproblemen
entgehen).
Gegeben die Begriffe ”Gerade” und ”Ebene” aus der
Euklidischen Geometrie des Raumes, können wir
”Punkte” und ”Geraden” der projektiven Geometrie
wie folgt definieren.
Definition. Die konkrete projektive Geometrie
ist gegeben durch
(1) die konkrete projektive Ebene, d.h. durch
eine Sphäre K im dreidimensionalen Raum mit anschliessender
Diametralpunkt Identifizierung.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

90 . Geometrie (L2)
(2) die Punkte in der projektiven Ebene, d.h. die
Schnitt(punkte) der Sphäre K mit solchen Geraden
im Raum, die durch den Mittelpunkt von K gehen,
mit anschliessender Diametralpunkt Identifizierung.
(3) die Geraden in der projektiven Ebene, d.h. den
Schnitten der Sphäre K mit solchen Ebenen im
Raum, die durch den Mittelpunkt von K gehen, mit
anschliessender Diametralpunkt Identifizierung.
Satz. Je zwei Geraden in der projektiven Geometrie
schneiden sich in genau einem Punkt.
Beweis. Je zwei Grosskreise in der Sphäre schneiden
sich in genau zwei Punkten, die sich darüberhinaus
diametral gegenüber liegen. ♦
Bemerkung. Damit gilt das Parallelenaxiom in der
projektive Geometrie nicht. Die projektive Geometrie
ist also eine Art nicht-Euklidischer Geometrie. Wir
werden aber auch in dieser Geometrie, zunächst weder
Längen noch Winkel messen.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

Affine Ebenen.
§8 Projektive Geometrie 91
In der projektiven Ebene selbst lässt sich nicht gut
arbeiten, aber man kann sich gut mit affinen Ebenen
behelfen. Eine affine Ebene ist eine gewöhnliche Euklidische
Ebene (also wieder ohne Koordinatensystem
oder Ursprungspunkt). Aus der affinen Ebene entsteht
die projektive Ebene indem man noch alle idealen
Punkt (oder: alle unendlich fernen Punkte) dazunimmt.
Wenn man diesen Punkt beachtet dann kann
man ganz gut projektive Geometrie in der affinen Ebene
betreiben. Man beachte, aber, dass sich je zwei Geraden
schneiden - entweder in einem Punkt der affinen
Ebene selbst oder in einem idealen Punkt der affinen
Ebene. Damit gibt es keine Parallelen im Euklidischen
Sinne. Es ist aber üblich Geraden die sich in
idealen Punkten schneiden als ”Parallelen” zu bezeichnen.
Dies kann anfangs recht verwirrend sein.
Eine affine Ebene ist eine Wahl einer Ebene im dreidimensionalen
Raum, die den Mittelpunkt der Sphäre K
nicht enthält. Je nach Wahl dieser Ebenen können die
Schnittverhältnisse
von Geraden anders aussehen. Das nächste
Bild zeigt zwei affine Ebenen (schattierte Ebenen).
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

92 . Geometrie (L2)
Parallele Geraden = Nicht-parallele Geraden
Weiter sieht man ein Paar von Ebenen. Der Schnitt
dieses Paares mit der Sphäre K repräsentiert ein
Paar von Geraden in der konkreten projektiven Geometrie
der projektiven Ebene (also zwei Grosskreise).
Diese schneiden sich in der projektiven Ebene in genau
einem Punkt. In der affinen Ebene des linken Bildes
schneiden sich diese beiden Geraden nicht (sie schneiden
sich in einem idealen Punkt). Dagegen schneiden
sich dieselben Geraden in der affinen Ebene des rechten
Bildes. Durch geeignete Wahl der affinen Ebene kann
man also einen Schnittpunkt sichtbar machen oder im
Unendlichen verbergen.
Der Satz von Desargue.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 93
Mit der projektiven Geometrie hat man nun eine neue,
von der Euklidischen Geometrie verschiedenen Geometrie.
Sie ist aus der Perspektive der Rennaissance
Maler entstanden. Aber es ist bis jetzt noch nicht ganz
klar geworden, was mit einer projektiven Geometrie
wirklich mathematisch erreicht wird.
Die projektive Geometrie hat aber eine wichtige Eigenschaft
die die Euklidische Geometrie nicht hat, sie erfüllt
nämlich ein Dualitätsprinzip. Mit diesem Dualitätsprinzip
lassen sich viele schwierige Sätze der Euklidischen
Geometrie relativ leicht beweisen.
Aus Zeitgründen können wir die Methode leider nur
an einem Beispiel illustrieren. Wir wählen hierzu den
Satz von Desargue. Der Satz von Desargue kommt in
verschiedenen Varianten daher. Hier sind drei dieser
Varianten.
Der Satz von Desargue in der affinen Ebene
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

94 . Geometrie (L2)
Satz von Desargue. Sind in den obigen beiden Figuren
die einmal und zweimal gestrichenen Strecken
parallel, so auch die dreimal gestrichenen Strecken.
Desargue’sche Eigenschaft. Seien ∆ = ∆(p, q, r)
und ∆ ′ = ∆(p ′ , q ′ , r ′ ) zwei Dreiecke (d.h. zwei Tripel
von nicht colinearen Punkten) von P so dass die
Geraden pp ′ , qq ′ , rr ′ alle durch deselben Punkt gehen.
Dann liegen die Schnittpunkte pq ∩ p ′ q ′ , pr ∩ p ′ r ′ , qr ∩
q ′ r ′ alle auf einer Geraden.
s
q’
p’
r’
r
p
q
Die Desargue’sche Eigenschaft
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 95
Die Desargue’sche Eigenschaft ist auch nur eine Form
des Desargueschen Satzes. Um dies zu sehen muss man
einige der obigen Punkte zu unendlich fernen Punkten
erklären.
Um den Satz von Desargue zu beweisen führen wir die
abstrakte projektive Geometrie ein. Es stellt sich dann
heraus, dass die abstrakten ihrerseits viele neue intersaante
Eigenschaften haben, die wir hier aber leider
nicht verfolgen können.
Abstrakte Projektive Geometrie.
In der abstrakten projektiven Geometrie ist die projektive
Geometrie nicht mehr konkret gegeben. Das
Entscheidende in der konkreten projektiven Geometrie
waren ja nicht die Massverhältnisse (die es nicht
gibt) sondern die Schnittverhältnisse von Geraden wie
sie z.B. im Satz von Desargue diskutiert. Genauer
ausgedrückt sind es allein die Inzidenzverhältnisse von
Punkten und Geraden die die projektive Geometrie
ausmachen.
Eine abstrakte projektive Geometrie ist deshalb axiomatisch
durch die Inzidenzverhältnisse allein definiert.
Dies führt zu folgender formalen Definition.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

96 . Geometrie (L2)
Eine kombinatorische Ebene ist ein Tripel P =
(V, L, I) von Mengen V, L, I mit V ∩ L = ∅ und
V ∪ L ≠ ∅ und I ⊂ V × L. Hier heißt
V = die Menge der Punkte (= vertices),
L = die Menge der Geraden (= lines) und
I = die Inzidenztafel
der kombinatorischen Ebene P.
Bezeichnungen. Man sagt p ∈ V und l ∈ L
sind inzident, genau dann wenn (p, l) ∈ I. Man
sagt auch einfach p liegt auf l. Punkte einer
kombinatorischen Ebene heißen colinear, wenn sie auf
einer gemeinsamen Linie liegen. Ein Vierpunkt ist
ein Quadrupel (p, q, r, s) von Punkten aus V mit
der Eigenschaft dass kein Tripel dieser Punkte colinear
ist.
Definition. Eine abstrakte projektive Ebene ist
eine kombinatorische Ebene P = (V, L, I) so dass
(1) Je zwei Punkte von V sind inzident zu genau
einer Gerade von ̷L,
(2) Je zwei Geraden von L sind inzident zu genau
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 97
einem Punkt von V ,
(3) Es gibt einen Vierpunkt.
Bemerkung. Abstrakte projektive Ebenen können
endlich oder unendlich sein. Die konkrete projektive
Geometrie ist ein Beispiel für eine unendliche abstrakte
projektive Ebene. Später werden wir ein Beispiel für
eine endliche abstrakte Ebene sehen.
Bemerkung. Entscheidend ist hier, dass es nicht
länger darauf ankommt was ”Punkte” und ”Geraden”
konkret sind, sondern nur darauf was ihre Inzidenzverhältnisse
sind. Bei projektiven Ebenen kann man
eigentlich zwischen Punkten und Geraden nicht mehr
wirklich unterscheiden. Wir sagen eine Ebene ist
selbst-dual, wenn jede Aussage über die Ebene richtig
bleibt, wenn man in ihr ”Punkt” durch ”Gerade”
und ”Gerade” durch ”Punkt” ersetzt. Die Axiome (1)
und (2) der projektiven Ebene sind Beispiele für duale
Aussagen. Alle projektiven Ebenen sind selbst-dual.
Satz. (Das Dualitätsprinzip der projektiven
Geometrie) Jede Aussage der projektiven Geometrie
bleibt wahr, wenn man ihr die Worte ”Punkte” und
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

98 . Geometrie (L2)
”Gerade” jeweils durch die Worte ”Gerade” und
”Punkte” ersetzt.
Beweis des Dualitätsprinzips. Wenn man in den
Axiomen der abstrakten projektiven Geometrie die
Worte ”Punkte” und ”Gerade” austauscht erhält man
dieselben Axiome und somit dieselbe Geomtrie. Die
Sätze in der einen Geometrie müssen also auch in der
dualen Geometrie gelten (weil sie gleich ist). ♦
Mit dem Dualitätsprinzip hat man ein sehr wirksames
Instrument in der Hand. Für jede einmal bewiesene
Aussage in der projektiven Geometrie erhält man ja
sofort die duale Aussage für umsonst dazu, ohne diese
extra beweisen zu müssen (”buy one, get one free”).
Hierfür findet man viele Beispiele in Lehrbüchern zur
projektiven Geometrie. Aus Zeitgründen illustrieren
wir das Prinzip nur an einem Besipiel, nämlich dem
Beweis des Satzes von Desargue.
Beweis des Satzes von Desargue mit Hilfe des
Dualitätsprinzips.
Wir werden sehen, dass der Satz von Desargue lediglich
eine Folge des Dualitätsprinzips ist.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 99
Um dies zu sehen, muss man sich nur klar machen, dass
der Satz von Desargue genaugenommen aus zwei Aussagen
besteht, beide über ein gewisses Paar ∆ABC
und ∆A ′ B ′ C ′ von Dreiecken, nämlich
1. Aussage: Die drei Geradenpaare, die durch sich
entsprechende Seiten der Dreiecke gehen, treffen sich
in drei Punkten, die alle auf einer Geraden liegen.
2. Aussage. Die drei Punktepaare, von sich entsprechenden
Eckpunkten der Dreiecke, liegen auf drei Geraden,
die sich in einem Punkt treffen.
Wenn wir dies in der abstrakten Axiomatik ausdrüken,
dann liest sich das wie folgt.
1. Aussage. Seine g 1 , g 2 , g 3 ∈ G und g 1, ′ g 2, ′ g 3 ′ ∈ G
die sich entsprechenden Geraden. Seien p 1 , p 2 , p 3 ∈ P
die Punkte mit (p i , g i ) ∈ I,(p i , g i ′ ) ∈ I, i = 1,2,3.
Es gebe eine Gerade h ∈ G mit (p i , h) ∈ I.
2. Aussage. Seien p 1 , p 2 , p 3 ∈ P und p ′ 1, p ′ 2, p ′ 3 ∈ G
die sich entsprechenden Eckpunkte. Seien g 1 , g 2 g 3 ∈
G die Geraden mit (p i , g i ) ∈ I, (p ′ i , g i) ∈ I. Es gebe
einen Punkt q ∈ P mit (q, g i ) ∈ I.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

100 . Geometrie (L2)
Wir sehen, dass beide Aussagen ineinander übergehen,
wenn wir die Wörter ”Punkte” und ”Geraden” austauschen.
Nach dem Dualitätsprinzip gilt dann eine
der beiden Aussagen genau dann wenn die andere
Aussage gilt.
Dies beweist den Satz von Desargue. ♦
Endliche Projektive Ebenen.
Abstrakte projektive Ebenen können auch nur aus
endlich vielen Punkten bestehen. Solche endlichen
projektiven Geometrien sind vollständig durch ihre Inzidenztafeln
gegeben.
Beispiel. Die folgende Tafel ist die Inzidenzmatrix
einer endlichen, projektiven Ebene mit 13 Punkten und
13 Geraden. Ein schwarzes Feld in Position (i, j)
bedeutet, dass der Punkt in der j-ten Spalte und die
Gerade in der i-ten Zeile inzident sind:
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 101
Eine endliche projektive Ebene
Um zu zeigen, dass diese Tafeln projektive Ebenen
sind, muss man die drei Eigenschaften von projektiven
Ebenen nachprüfen:
(0) Es gibt mindestens einen Vierpunkt. Um dies zu
verifizieren, muss man 4 Vertikale angeben mit der
Eigenschaft, dass jede Horizontale mindestens zwei der
Vertikalen in weissen Feldern schneidet.
Im linken Bild sieht man, dass die vier Vertikalen 1,
5,6,7 diese Eigenschaft haben.
(1) Je zwei Geraden enthalten genau einen Punkt. Um
dies zu verifizieren muss man nachprüfen:
für je zwei Horizontale gibt es genau eine Vertikale,
die die Horizontalen in schwarzen Feldern trifft. Im
mittleren Bild ist dies nur die Vertikale 13, die die
Horiizontalen 5 und 12 in dieser Weise trifft.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

102 . Geometrie (L2)
(2) Je zwei Punkte liegen auf genau einer Geraden.
Um dies zu verifizieren muss man nachprüfen:
für je zwei Vertikale gibt es genau eine Horizontale, die
die Vertikalen in schwarzen Feldern trifft. Im rechten
Bild ist dies nur die Horizontale 4, die die Vertikalen
4 und 8 in dieser Weise trifft.
Bemerkung. Man kann sich die Arbeit durch die
Beobachtung vereinfachen, dass die Tafel spiegelsymmetrisch
entlang der Diagonale ist. Dies muß aber für
eine projektive Ebene nicht notwendigerweise gelten.
Damit ist gezeigt, dass die obige Tabelle eine projektive
Ebene ist. ♦
Bemerkung. Man beachte, dass jede Zeile und jede
Spalte der Tabelle die gleiche Zahl von schwarzen Feldern
enthält, nämlich im obigen Beispiel 4. Es ist
eine der bemerkenswerten Eigenschaften der projektiven
Ebenen, dass dies für projektive Ebenen immer
der Fall ist.
Bemerkung. Im Prinzip kann man endliche projektive
Ebenen durch Probieren finden und man kann sich
Klaus Johannson, Geometrie (L2)

§8 Projektive Geometrie 103
leicht vorstellen, dass die kleineren projektiven Ebenen
alle bekannt sind. Mit steigender Zahl von Punkten
und Geraden wird es allerdings immer schwerer alle
Bedingungen von projektiven Ebenenen zu testen, so
dass man - selbst unter Verwendung von Computern -
schnell an Grenzen stößt. Viele der endlichen projektiven
Ebenen haben aber interessante Eigenschaften
oder wichtige Beziehungen zu anderen Gebieten der
Mathematik, wie z.B. zur Algebra oder Gruppentheorie.
Deshalb würde man sie gerne besser kennen. Leider
können wir hierauf nicht weiter eingehen. Es ist
aber bis heute imer noch eine besondere mathematische
Herausforderung, interessante endliche projektive
Ebenen zu konstruieren.
Literatur:
David Hilbert, Grundlagen der Geometrie
Felix Klein, Vorlesungen über nicht-Euklidischen Geometrie
Frederick Stevenson, Projective planes
Klaus Johannson, Geometrie (L2)