Übungsblatt 6

PC-Einsatz im Unterricht
Übungsblatt 6
Die folgenden Aufgaben betreffen Näherungsverfahren, soweit sie heute als
Unterrichtsstoff der höheren Mittelstufe gelten oder künftig infrage kommen.
Es geht jedes Mal darum, verzwickte Gleichungslösungen oder irrationale
Funktionswerte nach einer mathematischen Standardstrategie zu erhalten.
Die zweiteinfachsten Strategien – nach dem intelligenten Raten – beruhen
auf Verbesserungsversuchen, die als irgendwelche Mittelwerte aus zwei Anfangsschätzungen
stammen und dann wiederholt nach demselben Schema
verbessert werden. Solche wiederholten Verbesserungen heißen in der
Mathematik „Iteration“.
Grundaufgaben [verbindlich: 1 von 1]
Der Vorläufer von Taschenrechner und PC war der „Rechenstab“ oder
„Rechenschieber“. Informieren Sie sich im Internet oder bei einer/einem
älteren Bekannten, wie man damit arbeitete. Er beruhte auf der Idee, die
anstrengenden Punktrechenarten mit größeren Faktoren auf Strichrechenarten
zurückzuführen, indem man die Potenzgesetze ausnutzt:
Sei und . Nach den Potenzgesetzen gilt ∙ ∙ .
Angenommen man hat eine Tabelle, in der (bei fester Basiszahl ) Zahlen mit
ihren zugehörigen Exponenten aufgelistet sind. Dann kann man die Berechnung
des Produkts ∙ auf die Addition zurückführen.
1.) Entnimm der Tabelle die zu und gehörigen Exponenten und .
2.) Addiere und .
3.) Entnimm der Tabelle (durch Rückwärtsablesen) die zum Exponenten
gehörige Zahl. Das ist das gesuchte Ergebnis ∙.
Jost Bürgi wählte um 1588 die Basis 1,0001 und berechnete 1 per Hand (!)
eine umfangreiche Tabelle der Potenzen bis . 10. Das genügte, um
logarithmisch zu rechnen.
Aufgabe 6.G1: [bis So in OLAT einstellen]
Erläutern Sie in einer TKP-Tabelle mithilfe dreier Rechenbeispielen, warum
die von Bürgi gewählte Basis optimal für das Handrechnen war und wie man
mit so einer Tabelle leicht multiplizieren, dividieren und potenzieren konnte.
Literaturhinweis: Joh. Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik, Band 1 ( 4 1980), S. 301 f.
1
ohne die spätere Kommaschreibweise für Dezimalbrüche (die überhaupt erst mit den Briggs‘schen
Logarithmen Verbreitung fanden)
Stand: 25.11.13/Ul_Fü

Übungsaufgaben
Aufgabe 6.Ü1:
Entwerfen Sie ein TKP-Blatt mit guter Beschriftung, das zur Eingabe einer
ganzrationalen Funktion ⋯ folgendes liefert:
a) eine Wertetabelle in ganzen Schritten über dem Intervall [–10; 10],
b) ein Funktionsschaubild,
c) eine übersichtliche Nullstellenberechnung nach dem Verfahren der Intervallhalbierung.
Intervallhalbierung 2
Die Nutzerin ermittelt anhand der Wertetabelle bzw. des Schaubildes zwei -Werte
und , zwischen denen sich (nur) die gesuchte Nullstelle befindet. Aus und berechnet
das TKP nun den Mittelwert
und testet, ob (im Rahmen der gewünschten
Genauigkeit) schon gilt: 0. Falls ja, ist die Berechnung natürlich fertig. Falls nein
und wenn und dasselbe Vorzeichen haben, soll das TKP durch ersetzen
und das Verfahren wiederholen. Andernfalls soll das TKP durch ersetzen und das
Verfahren wiederholen. Durch „Herunterziehen“ ergibt sich der Rest. (Die Wenn-
Funktion ist hier sicher nützlich.)
Aufgabe 6.Ü2:
Auf dem Gedanken der Intervallhalbierung (vgl. Aufgabe 6.Ü1) beruhte auch
die berühmte „dekadische Logarithmentafel“ von Henry Briggs (ab 1615):
Für positive reelle ist der dekadische Logarithmus die Umkehrfunktion der
Exponentialfunktion zur Basis 10. 3 Es gilt also genau dann, wenn
gilt 10 . Weil es für das Rechnen mit Logarithmen genügt, eine hinreichend
feine Tafel für „alle“ zwischen 1 und 10 zu haben 4 , verfeinerte
Briggs folgende Umkehrtabelle für 10 y :
y 0 ...
1
2
... 1
x 1 ... √10 ... 10
Entwickeln Sie die Tabelle mithilfe der Quadratwurzelfunktion in ihrem TKP
weiter.
Historische Notiz: Briggs ging zwecks Arbeitsersparnis etwas raffinierter vor; vgl. Tropfke:
Geschichte der Elementarmathematik, Band 1 (4. Aufl. 1980), S. 317 ff.
2
Unter numerischen Gesichtspunkten ist dieses Verfahren sehr primitives und im Allgemeinen auch
sehr langsam („Newton“ ist da meist viel effektiver). Theoretisch aber ist es äußerst durchschaubar
und für viele wichtige Sätze der exakten Mathematik grundlegend.
3
Logarithmusfunktionen gibt es bekanntlich nicht nur für die Basis 10, sondern für beliebige (positive)
Basen b; sie unterscheiden sich aber nur um je einen konstanten Faktor. Von Bedeutung sind vor
allem der logarithmus dualis (Logarithmus zur Basis 2) in der Informationstheorie und der natürliche
Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl) in der Analysis. In der Angewandten Mathematik sind
Logarithmusfunktionen die klassischen Muster für stark abklingendes Wachstum (Schalldruck,
Richterskala für Erdbeben, Informationsmaß, usw.).
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„wissenschaftliche“ Zahldarstellung!
Stand: 25.11.13/Ul_Fü

Aufgabe 6.Ü3:
Die „Methode der (wiederholten) Bogenhalbierung“ geht auf Archimedes‘
-Berechnung zurück. Hier die Fassung als Halbierung „mit Pfeil und Bogen“:
Halbierung „mit Pfeil und Bogen“
Gegeben seien zwei Punkte P, Q (Ortsvektoren) auf dem
Einheitskreis, die nicht „diametral“ liegen sollen.
Über die Sehnenmitte R kann man leicht die Bogenmitte
M = M(P; Q) berechnen: Die Koordinaten von R sind die
arithmetischen Mittelwerte der entsprechenden Koordinaten
von P und Q.
Die gesuchte Bogenmitte M bekommt man dann durch
zentrische Streckung vom Ursprung aus:
:
||
a) Berechnen Sie mit der Methode der fortgesetzten Bogenhalbierung den
Kosinus und den Sinus von 20° auf 10 Nachkommastellen genau. (Dieser
Drittelwinkel von 60° ist nicht klassisch mit Zirkel und Lineal
konstruierbar, also auch nicht mit Quadratwurzelziehungen auf einen
Schlag berechenbar.)
b) Berechnen Sie, ausgehend vom regelmäßigen Sechseck, als Flächeninhalt
des Einheitskreises mithilfe der fortgesetzten Bogenhalbierung –
wie einst Archimedes – bis zum 96-Eck.
c) Wenn man Kreissegmente näherungsweise als Parabelsegmente ansieht,
dann kann man die überstehenden Kreisbogensegmente jeweils zu den
Vielecksflächen addieren, die im Aufgabenteil b anfallen. Nach Archimedes
hat jedes Parabelsegment zu PMQ 2 3 des Flächeninhalts des umbeschriebenen
Rechtecks 5 . Wie genau bekommt man dann mithilfe des 96-Ecks? 6
5
Um das einzusehen und zu beweisen braucht(e) man also gar keine Integralrechnung!
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Ob Archi’ dieses Ergebnis kannte, ist unsicher; es gibt aber ein historisches Indiz dafür.
Stand: 25.11.13/Ul_Fü