8. Von der Zentralprojektion zur projektiven Geometrie.

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92 . Geometrie (L2) Parallele Geraden = Nicht-parallele Geraden Weiter sieht man ein Paar von Ebenen. Der Schnitt dieses Paares mit der Sphäre K repräsentiert ein Paar von Geraden in der konkreten projektiven Geometrie der projektiven Ebene (also zwei Grosskreise). Diese schneiden sich in der projektiven Ebene in genau einem Punkt. In der affinen Ebene des linken Bildes schneiden sich diese beiden Geraden nicht (sie schneiden sich in einem idealen Punkt). Dagegen schneiden sich dieselben Geraden in der affinen Ebene des rechten Bildes. Durch geeignete Wahl der affinen Ebene kann man also einen Schnittpunkt sichtbar machen oder im Unendlichen verbergen. Der Satz von Desargue. Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§8 Projektive Geometrie 93 Mit der projektiven Geometrie hat man nun eine neue, von der Euklidischen Geometrie verschiedenen Geometrie. Sie ist aus der Perspektive der Rennaissance Maler entstanden. Aber es ist bis jetzt noch nicht ganz klar geworden, was mit einer projektiven Geometrie wirklich mathematisch erreicht wird. Die projektive Geometrie hat aber eine wichtige Eigenschaft die die Euklidische Geometrie nicht hat, sie erfüllt nämlich ein Dualitätsprinzip. Mit diesem Dualitätsprinzip lassen sich viele schwierige Sätze der Euklidischen Geometrie relativ leicht beweisen. Aus Zeitgründen können wir die Methode leider nur an einem Beispiel illustrieren. Wir wählen hierzu den Satz von Desargue. Der Satz von Desargue kommt in verschiedenen Varianten daher. Hier sind drei dieser Varianten. Der Satz von Desargue in der affinen Ebene Klaus Johannson, Geometrie (L2)
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