Messtechnische und rechnerische Ermittlung der ... - HAM-On-Air

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Ist die ideale Leitung am Ende offen und am Eingang angepasst, dann ändern sich die zeitlichen Vorgänge
geringfügig. Bei eingangsseitiger Anpassung läuft eine Spannungswelle Uo/2 mit Lichtgeschwindigkeit in
Richtung Leitungsende. Mit dem Reflexionsfaktor r = 1 wird eine gleichphasige Welle mit dem doppelten
Wert ( 2 * Uo/2) zurücklaufen. Am Anfang der Leitung angekommen ist die Spannung identisch der
Quellspannung, der Strom wird Null und der Ladevorgang der Leitung ist abgeschlossen. Da während der
Ladezeit ein Energiefluss in die Leitung stattgefunden hat, stellt sich die Frage wo diese Energie geblieben
ist?
Nehmen wir an, die Quellspannung sei Uo = 100 V. Der Innenwiderstand sei Ri = 50 . Die Leitung habe
einen Wellenwiderstand von Zo = 50 und eine elektrische Länge von L = 30 m.
Die Zeit für einen Durchlauf ist mit der Lichtgeschwindigkeit von v = 3 * 10 10 cm/s, = 0.1 s und die
gesamte Ladezeit 2 * = 0.2 s.
Der Anfangsstrom ist Io = Uo / (2 Zo) = 50 V / 50 = 1A, der während der gesamten Ladezeit fließt.
Die während der Ladezeit zugeführte Energie ist
W = 50 V * 1 A * 0.2 s = 10
Ws.
Der Kapazitätsbelag eines verlustlosen Kabels berechnet sich aus der Lichtgeschwindigkeit und dem
Wellenwiderstand Zo = 50 aus dem Zusammenhang
C`= 1 / Zo * v o = 1 / ( 50
* 3 10 10 cm/s ) = 66.66 pF /m.
Das 30 m lange Koaxkabel hat also einen Kapazitätswert von C` = 66.66 pF/m * 30 m = 2000 pF.
Der Energieinhalt des elektrischen Feldes ist mit U als Spitzenspannungswert ( Umax = 2 * 50 V = 100 V)
W = ½ C U 2 = ½ 2000 pF * (100 V) 2 = 10
Ws
Die zugeführte Energie steckt, wie erwartet im elektrischen Feld.
Anmerkung:
Kabel mit einem Wellenwiderstand von Zo = 50 werden in den Tabellen mit Kapazitätswerten von C`= 100 pF/m
angegeben. Den Unterschied zu den oben berechneten Wert von C`= 66.66 pF/m macht der Verkürzungsfaktor vk =
2/3. Rechnet man mit 100 pF/m muss die geometrische Länge des Kabels zur Berechnung der Gesamtkapazität
eingesetzt werden. Rechnet man mit C´= 66.66 pF/m gilt die längere, elektrische Länge der Leitung. Das Ergebnis ist
natürlich das gleiche, denn C`= 100 pF/m * vk = 100 pF/m * 2/3 = 66.66 pF/m. Man muss sich nur für eine Rechenart
entscheiden um das richtige Ergebnis zu bekommen. Gleiches gilt natürlich auch für den Induktivitätsbelag im nächsten
Beispíel. Wir rechnen, wenn nicht anders angegeben, immer mit der elektrischen Länge einer Leitung. Die mit dem
Maßband abzumessende Länge ist dann immer um den Verkürzungsfaktor vk < 1 kürzer.
Schließt man die Leitung am Ende kurz, dann wird mit dem Reflexionsfaktor r = - 1 die Spannung am Ende
der Leitung mit umgekehrter Phase reflektiert und die Gesamtspannung Null. Der Strom verdoppelt sich auf
2 A. Die negative Spannungswelle läuft zum Eingang der Leitung und addiert sich zur Gesamtspannung
Null. Der Ladevorgang ist abgeschlossen. Die Energie, die in die Leitung geflossen ist wieder W = 10 Ws.
Wo steckt die Energie?
Der Induktivitätsbelag berechnet sich aus dem Wellenwiderstand von Zo = 50 und der
Lichtgeschwindigkeit zu L`= 0.166 H/m (es gilt für die verlustlose Leitung L` = Zo / v o ). Die gesamte Leitung
hat also eine Induktivität von Lges = 5 H.
Die Energie des magnetischen Feldes ist mit I als Maximalwert des Stromes
W = ½ L* I 2 = ½ 5 H * (2 A) 2 = 10
Ws.
Die zugeführte Energie ist also im magnetischen Feld gespeichert, wie es auch sein muss.
Institut für Umwelttechnik, Dr. Schau 101