Aufgaben und Kurzlösungen

c○Technische Universität Dresden, 1996-2013
Professur für Systemtheorie und Sprachtechnologie
Prof. Dr.-Ing. habil. R. Hoffmann 23. und 25. April 2013
Systemtheorie II – 3. Übung 1
5.6. Mit Hilfe der Residuenmethode berechne man x(t) für
a) X (s) = s 2
(s + 1) 3 b) X (s) = s
s 2 − 16 !
5.7. Gegeben ist
X (s) =
s − 4
s 3 + s 2 − 6s
Man bestimme x(t)
a) durch Partialbruchzerlegung,
b) mit Hilfe der Residuenmethode!
5.8. Man bestimme x(t) durch inverse Laplace-Transformation für
a)
X (s) =
a
τs 2 (
1 − e
−sτ ) − a s e−2sτ (τ > 0),
b)
X (s) = s e−sτ
s 2 + 4
(τ > 0)!
Stellen Sie x(t) für die beiden Fälle grafisch dar!
5.9. Man löse die Differenzialgleichung
ẋ(t) + 3x(t) = e 2t −2
für t > 0 mit der Anfangsbedingung x(+0) = 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation!
1 entnommen aus: Schreiber/Merker/Hoffmann Systemtheorie I/II, 2011
1

Kurzlösungen
5.6.
a) x(t) = 1 2 e−t ( t 2 − 4t + 2 ) (t > 0)
b) x(t) = cosh 4t (t > 0)
( 2
5.7. x(t) =
3 − 1 5 e2t − 7 )
15 e−3t
(t > 0)
5.8. e −sτ : Verschiebungsfaktor; wird bei L −1 zunächst weggelassen und später durch
Zeitverschiebung berücksichtigt!
( 1
a) x(t) = a
τ t 1(t) − 1 )
τ (t − τ) 1(t − τ) − 1(t − 2τ)
b) x(t) = cos 2(t − τ) 1(t − τ)
5.9. x(t) =
(− 2 3 + 1 5 e2t + 7 15 e−3t )
1(t)
2