Abstract - imng

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FEM-Verfahren mit web-Spline-Basis
Analytische und numerische Behandlung geeigneter Gewichtsfunktionen
Eine neue, am zweiten Lehrstuhl des mathematischen Instituts A der Universität Stuttgart
entwickelte FE-Methode ist die web-Methode, die anstelle einer aufwändigen Triangulierung
mit einem gleichmäßigen Gitter von Quadraten auskommt. Als Ansatzfunktionen
verwendet diese Methode gewichtete erweiterte Tensorprodukt-B-Splines.
Die Gewichtung w erzwingt dabei die exakte Einhaltung der Dirichlet-Randdaten.
Bei der Wahl der Gewichtsfunktion besteht eine gewisse Freiheit, sodass verschiedene
Typen zum Einsatz kommen können. Folgende Bedingungen aber sollte jede der
verwendeten Gewichtsfunktionen erfüllen:
• w(X) ≡ 0 für X ∈ ∂Ω (exakte Interpolation des Randes)
• Die Normalenableitung der Gewichtsfunktion verschwindet nicht auf dem Rand.
• w ist mindestens so glatt wie der Rand.
Näheres zur web-Methode ist unter http://www.web-spline.de/Publikationen/ zu finden.
Je nach Gebietsvorgabe können algebraische Gewichtsfunktionen, Rvachev- bzw. Plateaugewichtsfunktionen
eingesetzt werden, wobei jede ihre speziellen Vor- und Nachteile
besitzt.
Zentraler Teil dieser Arbeit ist die Untersuchung eines neuen Ansatzes für eine Gewichtsfunktion,
die abhängig von der Randparametrisierung
P : → 2
( )
P1 (s)
s ↦→ , wobei s ∈ [0, s
P 2 (s)
P eriode ]
wie folgt definiert ist:
∫
w(X) −1 ds p
=
‖X − P (s)‖ 2 X ∈ 2
∂Ω
Die folgenden beiden Hilfssätze konnten unter der Annahme glatter Ränder gezeigt
werden:
Lemma. Sei dist(X) die geglättete Abstandsfunktion von X zum Rand ∂Ω und
g := dist(X)
w(X)
,
dann ist g stetig auf ¯Ω und g(X) > 0 auf Ω.
Lemma. Die Normalenableitung der Gewichtsfunktion w an einem beliebigen Punkt
der Randkurve ist 1/π.

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Das Ergebnis des zweiten Lemmas wird exemplarisch am Einheitskreise verifiziert.
Setze die Parametrisierung des Einheitskreises in die Definition der Gewichtsfunktion
ein, wobei X = [r, 0]:
∫ 2π
0
dt
(cos t − r) 2 + sin 2 t
Setze z = exp(it), und dz = iz · dt, so gilt
∮
w(X) −1 = 1 i 1 − r(z + 1 z
{
) + r2
= − 2π (r − 1 r )−1 für r < 1
r ( 1 r − r)−1 für r > 1
= ± 2π
1 − r 2
dz
z
Leitet man nach r ab (dies entspricht der gewünschten Normalenableitung), so erhält
man
u ′ (r) = ∓ r π ,
also die Ableitung 1 π
am Rand.
Zur numerischen Berechnung der Funktionswerte von w wird auf einen geschachtelten
Romberg-Algorithmus zurückgegriffen, welcher in Matlab implemetiert wurde. Die
Schachtelung wird deshalb nötig, weil durch die Definition der Gewichtsfunktion in
Randnähe Polstellen im Nenner des Integranden auftreten. Um die Rechenzeit nicht
unnötig in die Höhe zu treiben, wurde die Gewichtsfunktion zunächst auf einem regulären
Gitter berechnet und damit ein Quasiinterpolant bestimmt. Die nachfolgenden
Auswertunge erfolgen dann mit Hilfe des Quasiinterpolanten.
Abbildung 1: Gewichtsfunktion über einer Ellipse mit Loch
Zusammenfasssung der Diplomarbeit von Winfried Geis, November 2001