Division von Taylor-Reihen - imng

Division von Taylor-Reihen
Der Quotient zweier Taylor-Reihen
∞∑
∞∑
q(x) = f k (x − a) k / g k (x − a) k , g 0 ≠ 0,
k=0
k=0
kann durch Koeffizientenvergleich aus der Identität
(q 0 + q 1 u + . . .)(g 0 + g 1 u + . . .) = f 0 + f 1 u + . . . , u = x − a ,
bestimmt werden:
q 0 g 0 = f 0 −→ q 0
q 1 g 0 + q 0 g 1 = f 1 −→ q 1
. . . ,
d.h. q n = (f n − q n−1 g 1 − · · · − q 0 g n )/g 0 .
Division von Taylor-Reihen - 1-1

Beispiel:
Entwicklung von q(x) = tan x
Division von Taylor-Reihen - 2-1

Beispiel:
Entwicklung von q(x) = tan x
Ansatz
(q 1 x + q 3 x 3 + q 5 x 5 + . . .)
(1 − x 2
2 + x 4
24 − . . . )
} {{ }
cos x
(q 0 = q 2 = · · · = 0, da tan x ungerade)
= x − x 3
6 + x 5
120 − . . .
} {{ }
sin x
Division von Taylor-Reihen - 2-2

Beispiel:
Entwicklung von q(x) = tan x
Ansatz
(q 1 x + q 3 x 3 + q 5 x 5 + . . .)
(1 − x 2
2 + x 4
24 − . . . )
} {{ }
cos x
= x − x 3
(q 0 = q 2 = · · · = 0, da tan x ungerade)
Koeffizientenvergleich für die Monome x, x 3 und x 5
6 + x 5
120 − . . .
} {{ }
sin x
(
− q 1
q 1 = 1,
)
2 + q 3 = − 1 6
)
= 1
120
( q1
24 − q 3
2 + q 5
−→ q 3 = 1 3 ,
−→ q 5 = 2
15
Division von Taylor-Reihen - 2-3