Multivariate Polynome - imng

Multivariate Polynome
Ein Polynom p in n Variablen x 1 , . . . , x n ist eine Linearkombination von
Monomen:
p(x) = ∑ a α x α , x α = x α 1
1 · · · x n αn ,
α
mit α i ∈ N 0 .
Multivariate Polynome 1-1

Multivariate Polynome
Ein Polynom p in n Variablen x 1 , . . . , x n ist eine Linearkombination von
Monomen:
p(x) = ∑ a α x α , x α = x α 1
1 · · · x n αn ,
α
mit α i ∈ N 0 .
Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen
totalem Grad ≤ m: ∑ α = α 1 + · · · + α n ≤ m;
maximalem Grad ≤ m: max α = max i α i ≤ m.
Multivariate Polynome 1-2

Man bezeichnet ein Polynom als homogen vom Grad k, wenn die
Linearkombination nur Monome mit ∑ α = k enthält. Die Anzahl solcher
homogenen Monome ist ( )
k+n−1
n−1 Folglich ist die Dimension der Polynome
vom totalen Grad ≤ m gleich
( ) m + n
=
n
m∑
( ) k + n − 1
.
n − 1
k=0
Die Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m ist
(m + 1) n .
Multivariate Polynome 1-3

Beweis:
(i) bivariate Polynome (n = 2): Auflistung der homogenen Monome
k = 0 : 1
k = 1 :
x, y
k = 2 : x 2 , xy, y 2
k = 3 : x 3 , x 2 y, y 2 x, y 3
. . . ,
Multivariate Polynome 2-1

Beweis:
(i) bivariate Polynome (n = 2): Auflistung der homogenen Monome
k = 0 : 1
k = 1 :
x, y
k = 2 : x 2 , xy, y 2
k = 3 : x 3 , x 2 y, y 2 x, y 3
. . . ,
Anzahl
für Grad k
( ) k + 2 − 1
k + 1 =
2 − 1
Multivariate Polynome 2-2

Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:
( )
(m + 2)(m + 1) m + 2
1 + 2 + · · · + (m + 1) = =
2
2
Multivariate Polynome 2-3

Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:
( )
(m + 2)(m + 1) m + 2
1 + 2 + · · · + (m + 1) = =
2
2
(m + 1) 2 Monome vom maximalen Grad ≤ m
x i y j ,
i, j ≤ m
Multivariate Polynome 2-4

(ii) n-variate Polynome:
Multivariate Polynome 2-5

(ii) n-variate Polynome:
identifiziere Exponent
mit einer strikt monotonen Folge
aus {1, . . . , m + n − 1}
mit β 0 = 0, β n = m + n
(α 1 , . . . , α n ), ∑ α = m
β 1 = α 1 + 1
β 2 = α 1 + α 2 + 2
. . .
β n−1 = α 1 + · · · + α n−1 + (n − 1)
α i = β i − β i−1 − 1
Multivariate Polynome 2-6

(ii) n-variate Polynome:
identifiziere Exponent
mit einer strikt monotonen Folge
aus {1, . . . , m + n − 1}
mit β 0 = 0, β n = m + n
( m+n−1
n−1
(α 1 , . . . , α n ), ∑ α = m
β 1 = α 1 + 1
β 2 = α 1 + α 2 + 2
. . .
β n−1 = α 1 + · · · + α n−1 + (n − 1)
α i = β i − β i−1 − 1
)
Möglichkeiten
Multivariate Polynome 2-7

n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m
←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
(Letzter Exponent liegt fest.)
x α 1
1 · · · x αn
n ⇐⇒ x α 1
1 · · · x n
αn
x m−∑ α i
n+1
Multivariate Polynome 2-8

n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m
←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
x α 1
1 · · · x αn
n ⇐⇒ x α 1
1 · · · x n
αn
(Letzter Exponent liegt fest.)
Dimension ( )
m + (n + 1) − 1
(n + 1) − 1
x m−∑ α i
n+1
Dimension der Polynome vom maximalen Grad ≤ m:
Multivariate Polynome 2-9

n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m
←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
x α 1
1 · · · x αn
n ⇐⇒ x α 1
1 · · · x n
αn
(Letzter Exponent liegt fest.)
Dimension ( )
m + (n + 1) − 1
(n + 1) − 1
x m−∑ α i
n+1
Dimension der Polynome vom maximalen Grad ≤ m:
analog zum bivariaten Fall
Multivariate Polynome 2-10

Beispiel:
Polynom vom totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x, y) = a 3,0 x 3 + a 2,1 x 2 y + a 1,2 xy 2 + a 0,3 y 3
+a 2,0 x 2 + a 1,1 xy + a 0,2 y 2
+a 1,0 x + a 0,1 y + a 0,0
Multivariate Polynome 3-1

Beispiel:
Polynom vom totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x, y) = a 3,0 x 3 + a 2,1 x 2 y + a 1,2 xy 2 + a 0,3 y 3
+a 2,0 x 2 + a 1,1 xy + a 0,2 y 2
+a 1,0 x + a 0,1 y + a 0,0
spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 3:
4x 3 − 2xy 2 + 5y 3
Multivariate Polynome 3-2

Beispiel:
Polynom vom totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x, y) = a 3,0 x 3 + a 2,1 x 2 y + a 1,2 xy 2 + a 0,3 y 3
+a 2,0 x 2 + a 1,1 xy + a 0,2 y 2
+a 1,0 x + a 0,1 y + a 0,0
spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 3:
4x 3 − 2xy 2 + 5y 3
Polynom vom totalen Grad ≤ 2 in drei Variablen:
p(x, y, z) = a 2,0,0 x 2 + a 0,2,0 y 2 + a 0,0,2 z 2
+a 1,1,0 xy + a 1,0,1 xz + a 0,1,1 yz
+a 1,0,0 x + a 0,1,0 y + a 0,0,1 z + a 0,0,0
Multivariate Polynome 3-3