Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen - imng
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<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong><br />
Aus den Definitionen <strong>und</strong> Funktionalgleichungen für Exponential- <strong>und</strong><br />
Logarithmusfunktion folgen die Regeln<br />
a s+t = a s a t , log a x + log a y = log a (xy),<br />
a s−t = a s /a t , log a x − log a y = log a (x/y),<br />
(a s ) t = a st log a x t = t log a x .<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 1-1
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong><br />
Aus den Definitionen <strong>und</strong> Funktionalgleichungen für Exponential- <strong>und</strong><br />
Logarithmusfunktion folgen die Regeln<br />
a s+t = a s a t , log a x + log a y = log a (xy),<br />
a s−t = a s /a t , log a x − log a y = log a (x/y),<br />
(a s ) t = a st log a x t = t log a x .<br />
Darüberhinaus gilt für die Umrechnung zwischen verschiedenen Basen die<br />
Beziehung<br />
log b x = log b a log a x .<br />
Insbesondere ist<br />
log x = (log e) ln x .<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 1-2
Beweis:<br />
setze<br />
x = a s , y = a t<br />
Äquivalenz der Formeln für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong><br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 2-1
Beweis:<br />
setze<br />
x = a s ,<br />
y = a t<br />
Äquivalenz der Formeln für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong><br />
Funktionalgleichungen =⇒ erste beide Identitäten<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 2-2
Beweis:<br />
setze<br />
x = a s ,<br />
y = a t<br />
Äquivalenz der Formeln für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong><br />
Funktionalgleichungen =⇒ erste beide Identitäten<br />
b r = e r ln b (Definition) =⇒ dritte Identität:<br />
(a s ) t = (e s ln a ) t = e st ln a = a st<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 2-3
Beweis:<br />
setze<br />
x = a s ,<br />
y = a t<br />
Äquivalenz der Formeln für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong><br />
Funktionalgleichungen =⇒ erste beide Identitäten<br />
b r = e r ln b (Definition) =⇒ dritte Identität:<br />
(a s ) t = (e s ln a ) t = e st ln a = a st<br />
Umrechnungsformel ⇔<br />
x = b log b a log a x<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 2-4
Beweis:<br />
setze<br />
x = a s ,<br />
y = a t<br />
Äquivalenz der Formeln für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong><br />
Funktionalgleichungen =⇒ erste beide Identitäten<br />
b r = e r ln b (Definition) =⇒ dritte Identität:<br />
Umrechnungsformel ⇔<br />
(a s ) t = (e s ln a ) t = e st ln a = a st<br />
x = b log b a log a x<br />
Vereinfachen der rechten Seite a log a x = x<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 2-5
Beispiel:<br />
Anwendung der <strong>Rechenregeln</strong><br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 3-1
Beispiel:<br />
Anwendung der <strong>Rechenregeln</strong><br />
(i)<br />
ln(4x 2 ) − 2 ln(2)<br />
= ln(2 2 ) + ln(x 2 ) − 2 ln 2<br />
= 2 ln 2 + 2 ln x − 2 ln 2<br />
= 2 ln x<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 3-2
Beispiel:<br />
Anwendung der <strong>Rechenregeln</strong><br />
(i)<br />
ln(4x 2 ) − 2 ln(2)<br />
= ln(2 2 ) + ln(x 2 ) − 2 ln 2<br />
= 2 ln 2 + 2 ln x − 2 ln 2<br />
= 2 ln x<br />
(ii)<br />
log 4 (x 2 ) + ld(2x)<br />
= 2(log 4 2 ldx) + ld2 + ldx<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 3-3
Beispiel:<br />
Anwendung der <strong>Rechenregeln</strong><br />
(i)<br />
ln(4x 2 ) − 2 ln(2)<br />
= ln(2 2 ) + ln(x 2 ) − 2 ln 2<br />
= 2 ln 2 + 2 ln x − 2 ln 2<br />
= 2 ln x<br />
(ii)<br />
log 4 2 = 1/2 <br />
log 4 (x 2 ) + ld(2x)<br />
= 2(log 4 2 ldx) + ld2 + ldx<br />
Ausdruck = ldx + ld2 + ldx<br />
= ld2 + 2ldx<br />
= ld(2x 2 )<br />
<strong>Rechenregeln</strong> für <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmen</strong> - 3-4
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