Annuitäten - Methode

8. Modul
8 Annuitätenmethode als Äquivalenzmethode zur
Kapitalwertmethode
Eng verwandt mit der Kapitalwertmethode ist die Annuitätenmethode (oder auch Renten-
Methode). Bereits bei der Berechnung des Kapitalwertes wurde ein vergleichbarer Sonderfall
vorgestellt, als die eine Investition charakterisierende Zahlungsreihe in der Struktur einer
endlichen Rente vorlag. Ging man bei der Kapitalwertmethode der Fragestellung nach,
welcher Barwert sich ergibt, wenn die endlichen Renten über n Perioden abzinst werden, so
dreht sich hier die Problemstellung um. Bei der Annuitätenmethode möchte man exakt
wissen, wie eine heterogene (mit unterschiedlich hohen Zahlungen) Zahlungsreihe oder auch
ein einzelner Betrag zu einem bestimmten Zeitpunkt unter Berücksichtigung von Zins- und
Zinseszinsen so transformiert werden kann, daß als Ergebnis eine für n - Perioden äquivalente
endliche Rente oder Annuität herauskommt. Die Zielgröße stellt sich im Gegensatz zum
einwertigen Kapitalwert als eine n-periodige, mehrwertige Periodengröße dar
"Unter Annuität i.e.S. versteht man eine für n Perioden jeweils gleich hohe Zahlung am Ende
einer jeden Periode (nachschüssige Rente), deren Barwert dem Kapitalwert einer originären
Zahlungsreihe gleicht".
In Zahlungsreihen dargestellt, kann man den Sachverhalt wie folgt im allgemeinen oder
anhand eines konkreten Beispiels (bei einem unterstellten Zinssatz von 6 % p.P. )
präsentieren:
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
Originäre ZR - A NE NE NE NE NE
Kapitalwert ZR
Barwert Annuität
KW ZR
BW ANN
Annuität ANN ANN ANN ANN ANN
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
Originäre ZR -100 50 40 50 30 30
Kapitalwert ZR + 70,95
Barwert Annuität + 70,95
Annuität 16,84 16,84 16,84 16,84 16,84
Häufig findet man auch noch eine erweiterte Definition für den Annuitätsbegriff:

"Unter Annuität i.w.S. versteht man eine für n Perioden jeweils gleich hohe Zahlung am Ende
einer jeden Periode (nachschüssige Rente), deren Barwert einem originären Barwert (bzw.
dem Ertragswert einer originären Zahlungsreihe ) gleicht".
Für obiges Beispiel ergäbe sich damit:
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
Origin.ZR - 50 40 50 30 30
Ertragswert ZR + 170,95
Barwert Annuität + 170,95
Annuität 40,58 40,58 40,58 40,58 40,58
Am Beispiel kann man erkennen, daß die Annuitätenmethode hervorragend geeignet ist, eine
ursprüngliche, heterogene Zahlungsreihe in eine homogene Zahlungsreihe umzuwandeln bzw.
Antwort zu geben, wie hoch eine äquivalente Rente für n Perioden sein müßte im Vergleich
zu einem Barbetrag im Zeitpunkt Null.
Aufgrund dieser Überlegung wird ersichtlich, daß eine äquivalente Beziehung zwischen einer
endlichen Rente über n Perioden und dem Barwert besteht, die bereits aus der Kapitalwert-
Berechnung bekannt ist. Dort galt für den Kapitalwert der endlichen Rente:
KW 0
endliche Rente = ∑
n
t=
1
−t
NE 1 + i)
( + A 0 .
Und damit für den Ertragswert:
EW 0
endliche Rente = ∑
n
−t
NE ( 1 + i)
.
t=
1
Da NE gleich der Annuität entspricht: NE = ANN und die ANN einem konstanten Term, kann
dieser Term vor die Summenformel gezogen werden. Es gilt:
EW 0
endliche Rente =
ANN
Da für die Summe ∑
n
∑
−t
( 1 + i)
.
t=
1
n
−t
1 + i)
t=
1
ewigen Rente: EW 0
endliche Rente =
( die Summenformel
ANN
n
(1 + i)
− 1
n
(1 + i)
i
.
n
(1 + i)
− 1
n
(1 + i)
i
gilt, folgt für den Ertragswert der
Der Ausdruck
n
(1 + i)
− 1
n
(1 + i)
i
RBF bezeichnet und ist häufig tabelliert.
als von i und n abhängiger Faktor wird auch als Rentenbarwertfaktor

Für die Berechnung der Annuität ist dann nur die Auflösung nach ANN notwendig. Man
errechnet ANN, indem der EW 0 mit dem Kehrwert des RBF mulitpliziert wird. Auch dieser
Wert ist tabelliert und wird Wiedergewinnungsfaktor oder Annuitätenfaktor genannt.
ANN = EW 0
n
(1 + i)
⋅ i
. 1
n
(1 + i)
− 1
Der Annuität i.w.S. kommt in der Praxis große Bedeutung zu, da sie bei der
Kreditfinanzierung den periodisch immer gleich hohen Betrag angibt, in dem sowohl die
Zinszahlung als auch die Tilgung enthalten sind. Da die Annuität immer gleich hoch ist,
müssen im Zeitablauf die Zinszahlungen abnehmen und die Tilgungszahlungen zunehmen.
Dieser Zusammenhang soll an obigem Beispiel gezeigt werden:
Unterstellt man, daß der Betrag von 170,95 GE in to gleich dem Kreditbetrag entspricht, der
Zinssatz 6 % p.P. beträgt und die Laufzeit 5 Perioden, so ergibt sich eine periodische
Rückzahlung von 40,58 GE über fünf Perioden.
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
Kreditbetrag + 170,95
Annuität 40,58 40,58 40,58 40,58 40,58
Es ist zu zeigen, daß periodengerecht in der Annuität Zins- und Tilgungszahlungen enthalten
sind.
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
Barwert Annuität +170,95
Annuität 40,58 40,58 40,58 40,58 40,58
Zinsen 6 % p.P. 10,26 8,44 6,51 4,46 2,30
Tilgung p.P. 30,32 32,14 34,07 36,12 38,30
Kreditbetrag t+1 140,63 108,49 74,42 38,30 0
Bei Investitionsobjekten kann die Annuität i.e.S.als periodische Erfolgsgröße interpretiert
werden, die angibt, welchen Betrag man aus der Investition periodisch entnehmen kann, ohne
die Substanzerhaltung zu Anschaffungswerten und eine vorgegebene Verzinsung des
investierten Kapitals zu gefährden. Eine Investition ist damit dann erfolgreich, wenn die
errechnete Annuität größer Null ist. Bei einer Fremdfinanzierung der Investition gibt die
Annuität i.e.S. den Einkommensbetrag an, den der Investor über die Kapitalkosten und die
Tilgungsrate hinaus pro Periode entnehmen kann. Bei einer Eigenfinanzierung stellen die
Kapitalkosten Opportunitätskosten dar.
1 Setzt man für (1+i) n den Ausdruck q n , so steht für den WGF
n
(1 + i)
⋅ i
n
(1 + i)
− 1
der Ausdruck
n
q ⋅ i
n
q −1
bzw.
n
q ⋅ ( q − 1)
n
q − 1
.

Zu beachten ist, daß bei einem Vergleich mehrerer Investitionsobjekte die jeweiligen
zugehörigen Annuitäten vergleichbar bleiben, d.h. daß sie sich auf den gleichen
Planungshorizont (gleiche Laufzeiten) beziehen müssen.