Annuitäten - Methode

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"Unter Annuität i.w.S. versteht man eine für n Perioden jeweils gleich hohe Zahlung am Ende einer jeden Periode (nachschüssige Rente), deren Barwert einem originären Barwert (bzw. dem Ertragswert einer originären Zahlungsreihe ) gleicht". Für obiges Beispiel ergäbe sich damit: t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 Origin.ZR - 50 40 50 30 30 Ertragswert ZR + 170,95 Barwert Annuität + 170,95 Annuität 40,58 40,58 40,58 40,58 40,58 Am Beispiel kann man erkennen, daß die <strong>Annuitäten</strong>methode hervorragend geeignet ist, eine ursprüngliche, heterogene Zahlungsreihe in eine homogene Zahlungsreihe umzuwandeln bzw. Antwort zu geben, wie hoch eine äquivalente Rente für n Perioden sein müßte im Vergleich zu einem Barbetrag im Zeitpunkt Null. Aufgrund dieser Überlegung wird ersichtlich, daß eine äquivalente Beziehung zwischen einer endlichen Rente über n Perioden und dem Barwert besteht, die bereits aus der Kapitalwert- Berechnung bekannt ist. Dort galt für den Kapitalwert der endlichen Rente: KW 0 endliche Rente = ∑ n t= 1 −t NE 1 + i) ( + A 0 . Und damit für den Ertragswert: EW 0 endliche Rente = ∑ n −t NE ( 1 + i) . t= 1 Da NE gleich der Annuität entspricht: NE = ANN und die ANN einem konstanten Term, kann dieser Term vor die Summenformel gezogen werden. Es gilt: EW 0 endliche Rente = ANN Da für die Summe ∑ n ∑ −t ( 1 + i) . t= 1 n −t 1 + i) t= 1 ewigen Rente: EW 0 endliche Rente = ( die Summenformel ANN n (1 + i) − 1 n (1 + i) i . n (1 + i) − 1 n (1 + i) i gilt, folgt für den Ertragswert der Der Ausdruck n (1 + i) − 1 n (1 + i) i RBF bezeichnet und ist häufig tabelliert. als von i und n abhängiger Faktor wird auch als Rentenbarwertfaktor
Für die Berechnung der Annuität ist dann nur die Auflösung nach ANN notwendig. Man errechnet ANN, indem der EW 0 mit dem Kehrwert des RBF mulitpliziert wird. Auch dieser Wert ist tabelliert und wird Wiedergewinnungsfaktor oder <strong>Annuitäten</strong>faktor genannt. ANN = EW 0 n (1 + i) ⋅ i . 1 n (1 + i) − 1 Der Annuität i.w.S. kommt in der Praxis große Bedeutung zu, da sie bei der Kreditfinanzierung den periodisch immer gleich hohen Betrag angibt, in dem sowohl die Zinszahlung als auch die Tilgung enthalten sind. Da die Annuität immer gleich hoch ist, müssen im Zeitablauf die Zinszahlungen abnehmen und die Tilgungszahlungen zunehmen. Dieser Zusammenhang soll an obigem Beispiel gezeigt werden: Unterstellt man, daß der Betrag von 170,95 GE in to gleich dem Kreditbetrag entspricht, der Zinssatz 6 % p.P. beträgt und die Laufzeit 5 Perioden, so ergibt sich eine periodische Rückzahlung von 40,58 GE über fünf Perioden. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 Kreditbetrag + 170,95 Annuität 40,58 40,58 40,58 40,58 40,58 Es ist zu zeigen, daß periodengerecht in der Annuität Zins- und Tilgungszahlungen enthalten sind. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 Barwert Annuität +170,95 Annuität 40,58 40,58 40,58 40,58 40,58 Zinsen 6 % p.P. 10,26 8,44 6,51 4,46 2,30 Tilgung p.P. 30,32 32,14 34,07 36,12 38,30 Kreditbetrag t+1 140,63 108,49 74,42 38,30 0 Bei Investitionsobjekten kann die Annuität i.e.S.als periodische Erfolgsgröße interpretiert werden, die angibt, welchen Betrag man aus der Investition periodisch entnehmen kann, ohne die Substanzerhaltung zu Anschaffungswerten und eine vorgegebene Verzinsung des investierten Kapitals zu gefährden. Eine Investition ist damit dann erfolgreich, wenn die errechnete Annuität größer Null ist. Bei einer Fremdfinanzierung der Investition gibt die Annuität i.e.S. den Einkommensbetrag an, den der Investor über die Kapitalkosten und die Tilgungsrate hinaus pro Periode entnehmen kann. Bei einer Eigenfinanzierung stellen die Kapitalkosten Opportunitätskosten dar. 1 Setzt man für (1+i) n den Ausdruck q n , so steht für den WGF n (1 + i) ⋅ i n (1 + i) − 1 der Ausdruck n q ⋅ i n q −1 bzw. n q ⋅ ( q − 1) n q − 1 .
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