Aufgabe 5 (pdf)

Übungslektion V: Empirische Daten, Induktion
Galileis Experiment der schiefen Ebene
Den Aufgaben dieser Lektion liegt ein Textausschnitt aus den Discorsi (Galilei
1998) von Galileo Galilei zugrunde. Es handelt sich um die Schilderung eines
Experiments, welches zeigen soll, dass sich bei der ”
natürlich beschleunigten
Bewegung“ (Galilei 1998, S. 146) die zurückgelegten Strecken wie die Quadrate
der dafür benötigten Zeiten verhalten, in moderner Notation s ∼ t 2 . In der
doppelten Zeit z. B. wird die vierfache Strecke zurückgelegt. Die Ableitung dieser
Hypothese soll auf zwei verschiedene Arten rekonstruiert werden mit dem Ziel,
zu sehen, welche Rolle die Schlussform der Induktion dabei spielt.
Eine detaillierte und historisch adäquate Analyse des Experiments zu erarbeiten,
ist hingegen nicht der Anspruch dieser Übungslektion. Für eine Diskussion
des Experiments sei auf Graßhoff (2005) und Crawford (1996) verwiesen.
In den unten zitierten Text wurden Nummern in eckigen Klammern eingefügt,
um in den Aufgaben auf die entsprechenden Sätze leicht Bezug nehmen
zu können.
Text
[1] Auf einem Lineale, oder sagen wir auf einem Holzbrette von 12 Ellen Länge,
”
bei einer halben Elle Breite und drei Zoll Dicke, war auf dieser letzten schmalen
Seite eine Rinne von etwas mehr als einem Zoll Breite eingegraben. [2] Dieselbe
war sehr gerade gezogen, und um die Fläche recht glatt zu haben, war inwendig
ein sehr glattes und reines Pergament aufgeklebt; [3] in dieser Rinne liess
man eine sehr harte, völlig runde und glattpolirte Messingkugel laufen. [4] Nach
Aufstellung des Brettes wurde dasselbe einerseits gehoben, bald eine, bald zwei
Ellen hoch; [5] dann liess man die Kugel durch den Kanal fallen und verzeichnete
in sogleich zu beschreibender Weise die Fallzeit für die ganze Strecke: [6]
häufig wiederholten wir den einzelnen Versuch, zur genaueren Ermittelung der
Zeit, und fanden gar keine Unterschiede, auch nicht einmal von einem Zehntheil
eines Pulsschlages. [7] Darauf liessen wir die Kugel nur durch ein Viertel der
Strecke laufen, [8] und fanden stets genau die halbe Fallzeit gegen früher. [9]
Dann wählten wir andere Strecken, [10] und verglichen die gemessene Fallzeit
mit der zuletzt erhaltenen und mit denen von 2/3 oder 3/4 oder irgend anderen
Bruchtheilen; [11] bei wohl hundertfacher Wiederholung fanden wir stets, [12]
dass die Strecken sich verhielten wie die Quadrate der Zeiten: [13] und dieses
zwar für jedwede Neigung der Ebene, d. h. des Kanales, in dem die Kugel lief.
[. . .] [14] Zur Ausmessung der Zeit stellten wir einen Eimer voll Wasser auf, in
dessen Boden ein enger Kanal angebracht war, durch den ein feiner Wasserstrahl
sich ergoss, der mit einem kleinen Becher aufgefangen wurde, während einer jeden
beobachteten Fallzeit: [15] das dieser Art aufgesammelte Wasser wurde auf
einer sehr genauen Waage gewogen; [16] aus den Differenzen der Wägungen
erhielten wir die Verhältnisse der Gewichte und die Verhältnisse der Zeiten,
1

[17] und zwar mit solcher Genauigkeit, dass die zahlreichen Beobachtungen niemals
merklich (di un notabile momento) von einander abwichen.“ (Galilei 1998,
S. 162f.)
Aufgabe 1
Der oben zitierte Text lässt sich in verschiedene Klassen von Aussagen unterteilen:
a) Einige Sätze (oder Teilsätze) sind Konstruktionsvorschriften. Diese geben die
Teile der experimentellen Anordnung und die Abläufe an, die im Laufe des
Experiments nicht verändert werden. Dies sind sozusagen die Hintergrundbedingungen
des Experiments.
b) Andere Sätze sind Situationsbeschreibungen. Durch sie werden verschiedene
Situationen charakterisiert, die im Laufe des Experiments realisiert werden.
c) Eine weitere Klasse sind die Beobachtungsaussagen. Diese Sätze beschreiben,
welche Werte gewisse Grössen und Eigenschaften in den verschiedenen
Situationen annehmen.
d) Ausserdem gibt es eine Klasse von Sätzen, die Replikationsangaben, durch
welche mitgeteilt wird, wie oft eine bestimmte der durch die Situationsbeschreibungen
charakterisierten Situationen realisiert wird und ob sich trotz
der unterstellten Gleichheit der Wiederholungen Unterschiede beobachten
lassen.
Teilen Sie jeden Satz (oder Teilsatz) einer der vier Klassen zu.
Aufgabe 2
Aus den Situationsbeschreibungen geht hervor, dass im Laufe des Experiments
die Neigung der Ebene variiert wird. Verschiedene Neigungen der Ebene entsprechen
verschiedenen Situationen, die im Laufe des Experiments realisiert werden.
Im folgenden lassen wir diesen Aspekt unberücksichtigt und betrachten nur ein
Teilexperiment, bei dem die Neigung der Ebene festgehalten wird. Das Teilexperiment
besteht also darin, auf einer schiefen Ebene (mit festgehaltener Neigung)
eine Kugel laufen zu lassen und zu messen, wieviel Zeit die Kugel braucht, um
bestimmte Strecken zu durchlaufen.
Kann aus diesen endlichen Versuchsreihen geschlossen werden, dass in beliebig
vielen Wiederholungen immer gilt, dass die Strecke proportional zum Quadrat
der Zeit ist? Wie kann diese Hypothese abgeleitet werden? Die Replikationsangaben
(Sätze der Klasse d) könnten so interpretiert werden, dass per
Induktion auf die Hypothese s∼t 2 geschlossen werden kann.
2

Aufgabe 2a
Vervollständigen Sie, wie gewohnt, das folgende Ableitungsschema, in dem die
Schlussregel der Induktion verwendet wird. Der experimentelle Aufbau und Ablauf
(siehe Konstruktionsvorschriften) gehen als ”
Definition des Experiments“
in das Ableitungsschema ein; der empirische Befund (siehe Beobachtungsaussagen)
als ”
Beobachtung“. Geben Sie auch an, auf welche Zeilen Schlussregeln
angewendet werden. Vervollständigen Sie auch, wie üblich, die vierte Spalte.
1 Experiment = Experimenteller Aufbau und Ablauf
wie in Konstruktionsvorschriften beschrieben
2 In den Wiederholungen Nr.1 bis Nr.100 des Experiments
(siehe Definition in Zeile 1) ist s∼t 2 .
3 In beliebigen Wiederholungen des Experiments
ist s∼t 2 .
Aufgabe 2b
Geben Sie explizit an, wie die Schlussregel der Induktion in diesem Fall lautet.
Aufgabe 2c
Rekapitulieren Sie: Unter welchen Voraussetzungen ist die Konklusion (Zeile 3)
des Arguments gemäss dieser Rekonstruktion wahr?
Aufgabe 3
Aufgabe 3a
Das in Aufgabe 2 präsentierte Argument verwendet die Schlussregel der Induktion.
Diese Schlussregel ist (zumindest wenn nicht zusätzliche Bedingungen
unterstellt werden) nicht wahrheitserhaltend. Wie könnte eine Ableitung der
Hypothese s∼t 2 aussehen, in der nur wahrheitserhaltende Schlussregeln verwendet
werden?
Vervollständigen Sie, wie gewohnt, das folgende Ableitungsschema, das ohne
die Schlussregel der Induktion auskommt. Es sollen nur wahrheitserhaltende
Schlussregeln verwendet werden. Dafür müssen zusätzliche Annahmen eingeführt
werden. Versuchen Sie diesen neuen Annahmen aussagekräftige Namen
zu geben.
3

1 Experiment = Experimenteller Aufbau und Ablauf
wie in Konstruktionsvorschriften beschrieben
2 In den Wiederholungen Nr.1 bis Nr.100 des Experiments
(siehe Definition in Zeile 1) ist s∼t 2 .
3 Wiederholungen des Experiments unterscheiden
sich nicht in relevanter Hinsicht bezüglich des Bewegungsverhaltens
der Kugel.
4 Wenn sich Wiederholungen des Experiments nicht
in relevanter Hinsicht bezüglich eines Prozesses unterscheiden,
dann läuft dieser Prozess in beliebigen
Wiederholungen immer gleich ab.
5 Bewegungsprozesse laufen in beliebigen Wiederholungen
des Experiments immer gleich ab.
6 In beliebigen Wiederholungen des Experiments ist
s∼t 2 .
Einsetzen (Z2,Z5)
Aufgabe 3b
Rekapitulieren Sie: Unter welchen Voraussetzungen ist die Konklusion (Zeile 6)
des Arguments gemäss dieser Rekonstruktion wahr?
Zusatzaufgabe
Galilei scheint die Rollenergie der Kugel nicht zu berücksichtigen. Was für Konsequenzen
hat das für die Beurteilung seiner Experimente auf der schiefen Ebene
und seiner Experimente zum freien Fall?
Literatur
Crawford, F. S.: 1996, Rolling and slipping down Galileo’s inclined plane:
Rhythms of the spheres, American Journal of Physics 64(5), 541–546.
Galilei, G.: 1998, Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei
neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend (1638),
Vol. 11 der Ostwalds Klassiker der Exakten Wissenschaften, Verlag Harri
Deutsch, Thun und Frankfurt am Main. Aus dem ital. und lat. übers. und
hrsg. von A. von Oettingen. – 4. Aufl., Repr. [der Ausg. Leipzig, Engelmann,
1890 - 1904].
Graßhoff, G.: 2005, in C. Jönsson & A. Fässler (Hrg.), Die Top Ten der
schönsten physikalischen Experimente, Rowohlt.
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