Anmerkung zur Attwoodschen Fallmaschine

Versuch 35
Atwoodsche Fallmaschine
1. Motivation und Theorie
Die Trägheitsmomente einfacher, zum Teil symmetrischer
Objekte lassen sich meist recht unkompliziert berechnen. Jedoch
steht man bei etwas ungewöhnlicher geformten Objekten, wie
dem hier verwendeten Zählrad, bei der Berechnung mitunter vor
Schwierigkeiten. Solche schwer berechenbaren Trägheitsmomente
lassen sich aber leicht experimentell bestimmen. Dazu
verwendet man die Atwoodschen Fallmaschine: Ein dünner
Faden, der über eine Rolle läuft, verbindet die beiden unterschiedlich
schweren Massestücke m 1 und m 2 . Durch die Massendifferenz
∆m wird das Gesamtsystem, also m 1 , m 2 und das
Zählrad beschleunigt. Um diese Beschleunigung zu errechnen,
muss man einige Annahmen treffen. Der Faden wird wegen
seiner relativ geringen Masse vernachlässigt, ebenso die Reibung
der Radachse im Lager. Weiterhin nimmt man an, dass der
Faden nicht über das Rad rutscht. Somit kann man folgenden
Kräfteansatz mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes
erstellen:
F
beschl
= ∑ F i
i
Dabei sind F i die an den Massen m 1 , m 2 und am Zahlrad
angreifenden Kräfte F 1 , F 2 , F R .
F +
beschl
= F1
+ F2
F R
Es ist F 1 =m 1 g und F 2 =m 2 g.
Für F R gilt:
Aus M = r ⋅ F ⋅sin(α ) = L
und α = 90°
erhält man
Dies ergibt:
R
F r
L
= oder
r
L
( m1 + m2
) ⋅ a = m1
⋅ g − m2
⋅ g −
r
F r
L
= .
r
Mit L = Jω
, also auch L ∂
= ( Jω)
erhält man:
∂t
∂
( J ⋅ω)
m a m a
∂t
1
⋅ +
2
⋅ + = m1
⋅ g − m2
⋅ g
r
.
Bei dem Rad handelt es sich um einen massiven Körper. Dieser ändert durch die Drehung
weder den Radius, noch ändert sich die Massenverteilung innerhalb des Rades. Da aber J eine
Funktion der Radien und der Massenverteilung ist, wird J als konstant betrachtet.
Damit gilt:

m
∂
∂
( J ⋅ω)
= J ⋅ ω
∂t
∂t
J ∂
a + m2
⋅ a + ⋅ = m1
⋅ g − m
r ∂t
1
⋅ ω
2
v
∂ d
Da ω = nur von der Zeit t abhängig ist, kann der Operator durch die totale Ableitung
r
∂t
dt
ersetzt werden:
J d v
m1
⋅ a + m2
⋅ a + ⋅ = m1
⋅ g − m2
⋅ g
r dt r
Wegen der Unabhängigkeit des Radiusses von der Zeit t kann man ihn vor das Differential
schreiben:
J d
m1
⋅ a + m2
⋅ a + ⋅ v = m ⋅ g − m ⋅ g
2
1
2
r dt
a
Also erhält man:
⎛ J ⎞
⎜m1
+ m2
+ ⎟a
= m1
⋅ g − m2
⋅ g
⎝ r ⎠
Als Ergebnis für das Trägheitsmoment folgt hieraus:
⋅ g
J
⎡
= ⎢
⎣
g
a
⎤
⎥
⎦
2
( m − m ) − m − m ⋅
1 2
1 2
r
Eine Überlegung zum Aussehen des Zylinders ergibt die Abschätzung, dass J zwischen dem
Trägheitsmoment eines dünnwandigen und dem eines Vollzylinders liegen sollte.
1
2
mr
2
= J
< J
< J
Vollzylind er Rad Hohlzylinder
=
mr
2
Neben der Beschleunigung benötigt man noch folgende andere Größen zur Berechnung des
Trägheitsmoments:
• m 1 = 50,34 g (gegeben)
• m 2 = 48,30 g (gegeben)
• m r = 44,06 g (gegeben)

2. Aufbau
Der Aufbau besteht aus einem Laufrad und zwei über einen Faden
miteinander verbundene Massen. Die linke Masse dient als Reflexionsplatte
für das Sonar. Die rechte Masse, das Gegengewicht, kann durch die
angebrachte Schiene um eine definierte Strecke ausgelenkt werden. Nach
dem Loslassen werden sich die linke Masse nach unten und die rechte
Masse nach oben bewegen, da m 2

3. Sensoren und Kalibrierung
In dieser Messung wird das Zählrad als Geschwindigkeitsmesser sowie das Sonar zur
absoluten Positionsbestimmung der fallenden Masse benutzt.
Das Zählrad arbeitet optoelektrisch. Es besteht aus einer kleinen Lichtschranke und einem
Laufrad, das durch Bohrungen entweder den Lichtstrahl unterbricht oder freigibt. Auf diese
Weise können Impulse registriert werden. Zur Kalibrierung wird mit Hilfe einer Schiene eine
definierte Laufstrecke eingestellt. Man bewegt das Massestück mit der Hand (nicht fallen
lassen) jeweils von seiner Ruhelage bis zum Auflagepunkt. Die Impulse bis zu dieser festen
Marke werden erfasst. Man wiederholt die Messung für drei weitere Abstände. Aus den
Daten kann ein linearer Zusammenhang bestimmt werden.
Wie genau ist diese Messung?
Für das Sonar sind die Kalibrierungsfaktoren bereits vorgegeben. Das Sonar sendet mit einer
Frequenz von Schallimpulse, die an dem großen Massestück
(Reflexionsscheibe) reflektiert werden. Aus der Laufzeit des Schallimpulses bis zum
Wiedereintreffen am Sonar wird intern der Abstand berechnet.
Warum gibt es für dieses Sonargerät einen Mindest- und Maximalabstand ab dem
das Sonargerät nicht mehr funktioniert?
4. Durchführung
Die Reflexionsscheibe (= m 1 ) für das Sonar wird maximal 115cm oberhalb des Sonars in
Ausgangsstellung gebracht. Nach Start der Messung (1) wird das Gewicht losgelassen. Der
Fall wird sowohl durch das Rad als auch durch das Sonar ausgemessen und der Verlauf
graphisch dargestellt. Mit dem Zählrad wird dabei die Geschwindigkeit und mit dem Sonar
die absolute Position gemessen. Beide Methoden dienen unabhängig dazu, die
Beschleunigung zu bestimmen. Die Messung stoppt automatisch.

Nach Aufnahme der Messdaten werden die Messpunkte möglichst gut durch Veränderung der
Parameter für Parabel und Ausgleichsgerade angenähert.
Durch Manipulation an den Schiebereglern (4) kann die Parabel an den Verlauf der
Messpunkte angeglichen werden.
• a s stellt dabei die Beschleunigung dar
• s 0 legt den Startpunkt fest
• t 0 den Startzeitpunkt.
Für die Ausgleichsgerade sind die Schieber (5) zu verwenden.
Sie besitzen dabei folgende Funktionalität:
• a v legt die Beschleunigung fest
• v 0 die Startgeschwindigkeit, d.h. den y-Achsenabschnitt des Graphen
Mit (2) können Sie nach der Anpassung die
erhaltenen Graphen abspeichern und später
ausdrucken. Die von Laufrad und Sonar
gemessenen Beschleunigungen sind bei
korrekter Durchführung gleich. Leider ist der
Reibungsverlust der Anordnung dennoch so
groß, dass die gemessene Beschleunigung zu
klein ist, um mit der Theorie ein akzeptables
Ergebnis zu liefern.
Wie hoch müsste eine gemessene Beschleunigung
sein, damit das Laufrad ein Trägheitsmoment
aufweist, das gerade noch dem
eines Hohlzylinder entspräche?
Kann man bei der Anpassung der Fitparameter
eine solche Beschleunigung noch vertreten?
Um das Messprogramm zu beenden und einen
neuen Versuch durchführen zu können klicken
Sie bitte auf (3).