Theoretische Informatik

Wiederholung
Maschinenmodell:
◮ Bestandteile: Steuereinheit, Speicher
◮ Konfiguration, Berechnung, Akzeptanz
◮ Maschinenmodell definiert Sprachklasse (Menge aller durch
eine solche Maschine akzeptierbaren Sprachen)
◮ Berechnung: algorithmische Lösung des Wortproblems
Kellerautomaten (PDA) A = (X, Q, Γ, δ, q 0 , F, ⊥)
◮ Maschinenmodell mit Stack als Speicher
◮ Akzeptanzbedingungen (Definition akzeptierender
Konfigurationen):
◮ akzeptierende Zustände
◮ leerer Keller
Beide Akzeptanzbedingungen sind äquivalent
(definieren dieselbe Sprachklasse).
Die Menge aller PDA-akzeptierbaren Sprachen ist genau die Menge
aller von kontextfreien Grammatiken (Chomsky-Typ 2) erzeugten
Sprachen.
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Nicht-kontextfreie Sprachen
Die Grammatik G = ({A, B, C}, {a, b, c}, P, A) mit
⎧
⎪⎨
P =
⎪⎩
A
A
CB
aB
bB
bC
cC
⎫
→ aABC,
→ aBC,
→ BC, ⎪⎬
→ ab,
→ bb,
→ bc, ⎪⎭
→ cc
erzeugt die Sprache L(G) = {a n b n c n | n > 0}.
(Chomsky-Typ 1, kontextsensitiv)
Fakt
Die Sprache L = {a n b n c n | n > 0} ist nicht kontextfrei.
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Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen
Sprache L ⊆ X ∗ hat die Pump-Eigenschaft gdw.
∃n ∈ N ∀w ∈ L (|w| ≥ n →
∃u, v, x, y, z ∈ X ∗ (w = uvxyz ∧ |vxy| ≤ n ∧ |vy| ≥ 1 →
∀i ∈ N : uv i xy i z ∈ L ))
n heißt hier Pumping-Konstante.
Satz (Pumping-Lemma für CF)
Jede kontextfreie Sprache hat die Pump-Eigenschaft.
Ausführlichere Formulierung desselben Satzes:
Satz (Pumping-Lemma für CF)
Für jede kontextfreie Sprache L
existiert eine Zahl n ∈ N (Pumping-Konstante), so dass
für jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ n
eine Zerlegung w = uvxyz existiert mit
u, v, x, y, z ∈ T ∗ , |vy| ≥ 1, |vxy| ≤ n und
für jede Zahl i ∈ N gilt uv i xy i z ∈ L.
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Beispiele nicht-kontextfreier Sprachen
◮ {a n b m a n b m | m, n ∈ N}
◮ {w ∈ {a, b} ∗ | |w| a = |w| b = |w| c }
◮ {ww | w ∈ {a, b} ∗ }
◮ {a 2k | k ∈ N}
Das Pumping-Lemma ist geeignet, um zu zeigen, dass eine
Sprache nicht kontextfrei ist.
ABER:
Es gibt nicht-kontextfreie Sprachen mit Pump-Eigenschaft,
z.B. L = {a j b k c l d m | j = 0 ∨ k = l = m}
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