Skript - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität Würzburg

Computational Physics 

Aktualisierte Version 

12. Dezember 2013 

Prof. Dr. Haye Hinrichsen 

Lehrstuhl für Theoretische Physik III 

Fakultät für Physik und Astronomie 

Universität Würzburg 

Wintersemester 12/13

Vorwort 

Dies ist die aktuelle Version des Skripts zur Vorlesung ’Computational Physics’ für den 

Bachelor-Studiengang. Da ich diese Vorlesung bereits mehrere Jahre halte, ist das Skript 

umfangreicher als die Vorlesung. Andererseits werden in jedem Semester auch neue Themen 

behandelt, die noch nicht im Skript enthalten sind. Klausur- und prüfungsrelevant 

ist der jeweilige Vorlesungsinhalt. 

Skripte sind nie fehlerfrei. Bitte helfen Sie mit und benachrichtigen Sie mich bei Fehlern 

per Email: 

hinrichsen at physik uni-wuerzburg de, Betreff: CP-Skript. 

Vielen Dank für die vielen Hinweise, die geholfen haben, dieses Skript zu verbessern. 

H. Hinrichsen 

Würzburg, WS 13/14 

Haye Hinrichsen — Vorlesungsskript Computational Physics

Inhaltsverzeichnis 

1 Integration 1 

1.1 Einfache Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.1 Rechteckverfahren und Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.2 Simpsonregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.3 Newton-Cotes-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.4 Numerische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2 Differentialgleichungen 9 

2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.1.1 Reduktion auf ein System erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.1.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.1.3 Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.1.4 Verfahren von Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.1.5 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.1.6 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.1.7 Dynamische Schrittweitenkontrolle * . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.1.8 Anwendung auf physikalische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.1.9 Die Rolle von Symmetrien und Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . 16 

2.1.10 Mehrschrittverfahren * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.2 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.2.1 Konzept der Quantenmechanik kurz gefasst . . . . . . . . . . . . . 19 

2.2.2 Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.2.3 Stationäre Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.2.4 Numerov-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2.2.5 Zeitabhängige Schrödingergleichung – Modenzerlegung . . . . . . . 24 

2.2.6 Zeitabhängige Schrödingergleichung – Numerische Integration . . . 26 

2.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3 Chaos 37 

3.1 Chaotische mechanische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.1.1 Mimimale Phasenraumdimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.1.2 Lyapunov-Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.1.3 Getriebenes gedämpftes Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

3.1.4 Attraktoren und Poincaré-Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.2 Fraktale Eigenschaften seltsamer Attraktoren * . . . . . . . . . . . . . . . 45 

3.3 Chaotische iterative Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

3.3.1 Quadratische Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

3.3.2 Feigenbaumkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

3.3.3 Mandelbrotmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 


vi 


4 Zufallszahlen 57 

4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

4.1.1 Ganzzahlige Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

4.1.2 Fließkomma-Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

4.1.3 Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

4.2 Pseudozufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.2.1 Algorithmische Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

4.2.2 Ein (zu) einfacher Zufallszahlengenerator . . . . . . . . . . . . . . 62 

4.2.3 Verbesserte Zufallszahlengeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

4.2.4 Zufallszahlengenerator von G. Marsaglia und A. Zaman . . . . . . 63 

4.2.5 Zufallszahlengenerator von R. M. Ziff . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

4.2.6 ’Echte’ Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

4.3 Zufallszahlen mit nichtkonstanter Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

4.3.1 Transformation der Wahrscheinlichkeitsdichte durch Abbildung . . 65 

4.3.2 Sampling und Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

4.3.3 Normalverteilte Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

4.3.4 Box-Muller Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

4.3.5 Verbesserte Box-Muller Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 71 

4.3.6 Umgang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Mathematica R○ . . 72 

4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

5 Zufallsbewegung 75 

5.1 Universalität der Gaußverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.1.1 Addition von Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.1.2 Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

5.1.3 Transformierte Wahrscheinlichkeitsdichte eines Standardgenerators 77 

5.1.4 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

5.2 Die eindimensionale Zufallsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

5.2.1 Bewegungsgleichung und Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . 81 

5.2.2 Kontinuumlimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

5.2.3 Skalierungseigenschaften der Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . 83 

5.3 Diffusion in höheren Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

5.3.1 Entkopplung orthogonaler Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . 84 

5.3.2 Rückkehrwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

5.3.3 Diffusionsbegrenztes Wachstum (DLA) . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

6 Vielteilchensysteme und Reaktions-Diffusionsprozesse 93 

6.1 Molekularfeldnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

6.1.1 Massenwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

6.1.2 Chemische Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

6.1.3 Raumzeitliche Strukturbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

6.2 Gittermodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

6.2.1 Gittergeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

6.2.2 Charakterisierung des Zustandsraums . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

6.2.3 Dynamiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

6.3 Zelluläre Automaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

6.4 Systeme mit thermisch induzierten Übergängen . . . . . . . . . . . . . . . 102 



vii 

6.5 Fluktuationseffekte im Koagulationsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

6.5.1 Experimenteller Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

6.5.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

6.5.3 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

6.5.4 Exakte Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

6.5.5 Dimensionsabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

6.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

7 Phasenübergänge in Reaktions-Diffusionsprozessen 113 

7.1 Gerichtete Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

7.1.1 Isotrope vs. gerichtete Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

7.1.2 Interpretation als Reaktions-Diffusionsprozess . . . . . . . . . . . . 115 

7.1.3 Algorithmische Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

7.1.4 Epidemische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

7.1.5 Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

7.2 Phänomenologische Skalentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

7.2.1 Skaleninvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 

7.2.2 Universalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

7.3 Andere stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

7.3.1 Wachstumsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

7.3.2 Voter Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

8 Fourier-Transformation 131 

8.1 Fourier-Transformation – kurz gefasst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 

8.1.1 Kontinuierliche Fouriertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . 132 

8.1.2 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 

8.1.3 Diskrete Fourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 

8.1.4 Invarianz des Skalarprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 

8.1.5 Gleitende diskrete Fourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . 137 

8.1.6 Allgemeine Eigenschaften von Fourier-Transformationen . . . . . . 137 

8.1.7 Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

8.2 Klänge mit Mathematica R○ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 

8.2.1 Erzeugung eines Klanges mit Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 141 

8.2.2 Hochladen von Klangdateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 

8.2.3 Manipulation von Klängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

8.2.4 Künstlicher Nachhall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

8.3 Bildbearbeitung mit Mathematica R○ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 

8.3.1 Faltungsprodukte in der Bildbearbeitung . . . . . . . . . . . . . . . 144 

8.3.2 Scharfzeichnen und Weichzeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

8.4 Fast-Fourier-Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 

8.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 


1 Integration 

Während das Differenzieren von Funktionen durch Anwendung 

von bestimmten Regeln auf systematische Weise durchgeführt 

werden kann, ist die exakte Integration einer Funktion weitaus 

schwieriger. Die bekannten Lösungen hat man deshalb in umfangreichen 

Tafelwerken wie z.B. dem “Gradshteyn-Ryzhik“ zusammengetragen. 

Heute übernehmen symbolische mathematisch 

orientierte Programmiersprachen wie z.B. Mathematica R○ 

mehr und mehr die Funktion dieses kollektiven Wissen. Wenn 

aber eine Integration in geschlossener Form nicht möglich ist, 

ist man auf numerische Näherungsverfahren angewiesen. Um 

solche Näherungsverfahren wird es in diesem Kapitel gehen. 

Der “Gradshteyn-Ryzhik“ 

Die numerische Integration von Funktionen ist ein eigenständiges Teilgebiet der numerischen 

Mathematik. Im Rahmen dieser Vorlesung wollen wir dieses Gebiet nur streifen 

und die gängigsten numerischen Integrationsverfahren exemplarisch behandeln. Dabei 

werden wir insbesondere die Genauigkeit, die benötigte Rechenzeit und den programmiertechnischen 

Aufwand miteinander vergleichen. Als benchmark verwenden wir dafür 

das Integral 

∫ 2 

e x dx = 3.0591165396459534079.... (1.1) 

x 

1 

1.1 Einfache Verfahren 

1.1.1 Rechteckverfahren und Trapezregel 

Das einfachste Integrationsverfahren ist das sogenannte Rechteckverfahren. Dazu wird das 

Integrationsintervall [a, b] in N äquidistante Intervalle der Breite h = (b − a)/N geteilt, 

die wir mit n = 0 . . . N − 1 indizieren wollen. In den Mittelpunkten x n = a + (n + 1/2)h 

dieser Intervalle, den sogenannten Stützstellen, berechnet man die Funktionswerte f n = 

f(x n ). Das Integral I = ∫ b 

a 

f(x)dx ist dann näherungsweise durch die Summe dieser 

Funktionswerte multipliziert mit h gegeben: 

I R 

N−1 

∑ ( 

) 

= h f a + (n + 1/2)h , h = b − a 

N . (1.2) 

n=0 

Man kann sich leicht überzeugen, dass lineare Funktionen (also Geraden) unabhängig von 

h fehlerfrei integriert werden, während bei gekrümmten Kurven Abweichungen entstehen. 

Bei einer Parabel kann man I und I R sogar geschlossen ausrechnen. Man erhält 

I = b3 − a 3 

3 

, I R = b3 − a 3 

− 

3 

(b − a)3 

(b − a)3 

12N 2 , ∆ = |I − I R | = 

12N 2 ∼ h 2 . (1.3) 


2 Integration 

Abbildung 1.1: Integrationsverfahren: Rechteck-, Trapez- und Simpsonregel (Quelle: Wikipedia). 

Das ’beweist’ man z.B. mit Mathematica R○ : 

f[x_]:=x^2; 

h=(b-a)/NN; (* N ist belegt *) 

soll=Integrate[f[x],{x,a,b}]; 

ist=h*Sum[f[a+(n+1/2)h],{n,0,NN-1}]; 

soll-ist//FullSimplify 

Eine Verbesserung könnte man sich erhoffen, indem man die Stützstellen durch stückweise 

Geraden miteinander verbindet. Bei dieser sogenannten Trapezregel trägt das approximierte 

Integral zwischen zwei Stützstellen x, x + h mit der Fläche h 2 

(f(x) + f(x + h)) bei. 

Wenn man alle Beiträge aufaddiert, erhält man 

I T 

( f(a) 

= h + f(b) 

2 

Für eine Parabel erhält man hier den Fehler 

∆ = |I − I T | = 

N−1 

2 + ∑ 

n=1 

) 

f(a + nh) 

(1.4) 

(b − a)3 

6N 2 ∼ h 2 . (1.5) 

Obwohl die Trapezregel ‘besser aussieht’ (vgl. Abb. 1.1) produziert sie einen doppelt so 

großen Fehler. 

In der numerischen Mathematik ist ein solcher Faktor 2 im Fehler durchaus relevant, 

da er einen um √ 2 höheren Rechenaufwand bedeutet. Viel wichtiger ist jedoch, wie der 

numerische Fehler skaliert, mit welcher Potenz in h er also abnimmt im Limes h → 0. 

Die Rechteck- und Trapezmethode haben beide die gleiche Fehlerordnung da die Fehler 

in beiden Fällen wie h 2 skalieren. 

Die Rechteck- und die Trapezregel lassen sich in C wie folgt programmieren: 

double Integrate_R (double (*f) (double), double a, double b, int N) { 

double h = (b-a) / N; 

double sum = 0; 

for (int n=0; n

1.1 Einfache Verfahren 3 

1.1.2 Simpsonregel 

Die Simpsonregel beruht auf der Idee, die Funktion f(x) 

durch Parabelsegmente anstatt durch Geraden zu approximieren. 

Auf jedem Intervall [x, x + 2h] betrachtet man dazu 

die drei Funktionswerte an den Stützstellen x, x + h, x + 2h 

und bestimmt eine Parabel P (x), die durch diese drei Punkte 

verläuft. Die so bestimmte Parabel wird dann auf diesem 

Intervall integriert. Dieses analytische Problem löst man mit 

Mathematica R○ folgendermaßen: 

Drei-Punkte-Fit einer Parabel 

P[x_]:=c*x^2+d*x+e; (* Parabel mit Koeffizienten c,d,e *) 

lsg=Solve[{P[x]==f[x], P[x+h]==f[x+h], P[x+2h]==f[x+2h]}, {c,d,e}] 

P1[x_]:=P[x]/.lsg[[1]]; (* Loesung einsetzen *) 

Integrate[P1[s],{s,x,x+2*h}]//Simplify 

Das Resultat lautet (h*(f[x] + 4*f[x + h] + f[x + 2*h]))/3. Dieser Ausdruck ist 

noch über alle Stützstellen zu summieren. Als Ergebnis erhält man die Simpson-Regel 

I S = h [ 

] 

f(a) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + 2f(x 4 ) + · · · + 4f(x n−1 ) + f(b) (1.6) 

3 

So könnte man die Simpson-Regel in C realisieren: 

double Integrate_S (double (*f) (double), double a, double b, int N) { 

double h = (b-a) / N / 2; 

double sum = (*f)(a) + (*f)(b); 

for (int j=1; j

4 Integration 

Die n Stützstellen in einem Intervall [x 0 , x 0 + nh] seien x i = x 0 + ih. Wir suchen nun 

ein Polynom n-ter Ordnung P n (x), das durch die n + 1 Punkte (x i , f(x i )) verläuft. Dazu 

betrachten wir zunächst die Hilfsfunktionen 

L k,n (x) = 

n∏ 

j=0,j≠k 

x − x j 

x k − x j 

. (1.7) 

Man kann sich leicht überzeugen, dass diese Funktionen ebenfalls Polynome n-ten Grades 

sind. Außerdem gilt 

{ 

1 falls i = k 

L k,n (x i ) = 

(1.8) 

0 falls i ≠ k 

oder kurz L k,n (x i ) = δ ik , denn für i = k sind alle Faktoren gleich 1, während für i ≠ k 

mindestens einer der Faktoren verschwindet. Mit diesen Basispolynomen ist es nun leicht 

zu zeigen, dass 

n∑ 

P n (x) = f(x k )L k,n (x) (1.9) 

k=0 

das (eindeutig gegebene) Polynom mit der gewünschten Eigenschaft P n (x i ) = f(x i ) ist. 

Dieses Polynom ist nun auf dem Teilintervall [x 0 , x n ] zu integrieren: 

∫ xn 

x 0 

f(x)dx ≈ (x n − x 0 ) 

n∑ 

w k f(x k ) , (1.10) 

wobei die Konstanten w k die sogenannten Gewichte sind, die das jeweilige Verfahren 

charakterisieren. Die Gewichte sind gegeben durch 

k=0 

w k = 

1 

x n − x 0 

∫ xn 

x 0 

L k,n (x)dx (1.11) 

Dabei ist der Vorfaktor 

1 

x n−x 0 

so gewählt, dass die Gewichte bei äquidistanten Stützstellen 

nicht von der Breite es Intervalls abhängen. Mit diesem Mathematica R○ -Code kann man 

diese Zahlen ausrechnen: 

n=5; (* Ordnung des Verfahrens *) 

X[k_]:=x0+k*h; 

pi[x_]:=Product[(x-X[j]),{j,0,n}] 

L[k_,x_]:=pi[x]/pi’[X[k]]/(x-X[k]); 

Table[1/h/n*Integrate[L[k,x],{x,X[0],X[n]}],{k,0,n}] 

Hier einige Beispiele: 

Verfahren n w 0 , . . . , w n Fehlerordnung 

Trapez 1 

1 

2 , 1 2 

h 2 

Simpson 2 

1 

6 , 2 3 , 1 6 

h 4 

Boole 4 

7 

90 , 32 

90 , 12 

90 , 32 

90 , 7 

90 

h 6 

Weddle 6 

41 

840 , 9 

35 , 9 

280 , 34 

105 , 9 

280 , 9 

35 , 41 

840 

h 8 



n Trapez Simpson Bool Weddle 

1 0.147288 0.00154692 2.77024e-05 8.81973e-07 

2 0.0379823 0.000122653 7.25379e-07 7.769e-09 

4 0.00958756 8.34587e-06 1.38071e-08 4.23125e-11 

8 0.00240315 5.34561e-07 2.29e-10 1.83758e-13 

16 0.000601188 3.36247e-08 3.63571e-12 8.14886e-16 

32 0.000150322 2.10495e-09 5.73231e-14 7.97973e-17 

64 3.75822e-05 1.31613e-10 1.18156e-15 7.65447e-17 

128 9.39564e-06 8.22669e-12 3.03143e-16 7.58942e-17 

256 2.34892e-06 5.14214e-13 2.89916e-16 7.71952e-17 

512 5.87229e-07 3.21715e-14 2.87314e-16 8.04478e-17 

1024 1.46807e-07 2.04589e-15 2.85796e-16 7.00395e-17 

Tabelle 1.1: Fehler verschiedener Integrationsverfahren bei der Berechnung von (1.1). 

Zu guter letzt sind die Integrale der Teilintervalle noch aufzusummieren. Man erhält 

damit die Approximation 

∫ b 

a 

N−1 

∑ 

f(x)dx ≈ nh 

j=0 k=0 

n∑ 

w k f ( a + (nj + k)h ) . (1.12) 

Auch die komplizierteren Regeln sind also sehr einfach zu programmieren. Hier ist beispielsweise 

ein Programmfragment für die Weddle-Regel n = 6, das sehr leicht an andere 

Regeln angepasst werden kann: 

double Integrate_W (double (*f) (double), double a, double b, int N) { 

const int n=6; double sum=0, h = (b-a)/(N*n); 

double w[n+1]={41.0/840,9.0/35,9.0/280,34.0/105,9.0/280,9.0/35,41.0/840}; 

for (int j=0; j

6 Integration 

Fehler 

10 -1 

10 -2 

10 -3 

10 -4 

10 -5 

10 -6 

10 -7 

10 -8 

10 -9 

10 -10 

10 -11 

10 -12 

10 -13 

10 -14 

10 -15 

Weddle 

Boole 

Simpson 

Trapez 

Trapez 

Simpson 

Boole 

Weddle 

10 -16 

1 10 100 1000 10000 100000 

N 

Abbildung 1.2: Absolute Fehler für eine glatter Funktion (grün) und eine Stufenfunktion (blau). 

des Integrationsintervalls ist (Übung). Die Simpsonregel kann also nicht nur Parabeln, 

sondern auch kubische Polynome fehlerfrei integrieren, die niedrigste Fehlerordnung ist 

also h 4 . Für n = 3 erhält man ein symmetrisches Differenzpolynom vierter Ordnung, so 

dass die Fehlerordnung hier ebenfalls h 4 ist. Für n = 4 greift dann wieder das Symmetrieargument. 

Aus diesem Grund sind nur die Verfahren für geradzahliges n mit Namen 

belegt, weil die Verfahren für ungerades n keinen Vorteil bringen. 

1.1.4 Numerische Stabilität 

Ist nun ein Verfahren hoher Ordnung grundsätzlich besser? Diese Frage hängt sehr von 

der betrachteten Funktion ab. Für hinreichend glatte Funktionen, die lokal durch eine 

Taylor-Reihe approximiert werden können, funktionieren die Verfahren um so besser, je 

höher die Fehlerordnung ist. Bei unstetigen Funktionen sieht es jedoch anders aus. So ist 

z.B. für die Sprungfunktion 

{ 

0 x < 3/2 

g(x) = θ(x − 3/2) = 

(1.13) 

1 x ≥ 3/2 

das Integral 

∫ 2 

1 

g(x)dx = 1 2 

(1.14) 

trivial zu berechnen. Die oben beschriebenen numerischen Integrationsverfahren haben 

allerdings damit große Probleme. Zwar werden alle Intervalle, auf denen g(x) konstant 

ist, korrekt integriert, jedoch wird das Intervall, in dem die Unstetigkeit liegt, je nach 

Ordnung des Verfahrens durch ein mehr oder weniger wild oszillierendes Polynom approximiert, 

das in diesem Intervall ein völlig falsches Ergebnis produziert. Man erwartet 

deshalb, das der Gesamtfehler in diesem Fall mit 1/h oder sogar schlechter skaliert – 

unabhängig von der Ordnung des Verfahrens. 

Wie man in Abb. 1.2 sehen kann, ist dies auch tatsächlich der Fall. In dieser Abbildung 

sind die absoluten Fehler doppellogarithmisch über der Anzahl der Schritte N ∼ 1/h 



dargestellt. Die Fehler für die gutartige Funktion f(x) aus Tabelle 1.1 sind grün dargestellt. 

Man erkennt sehr schön die unterschiedlichen Potenzgesetze der Fehlerordnungen, 

die hier als Geraden mit unterschiedlicher Steigung in Erscheinung treten, sowie die limitierende 

Maschinengenauigkeit am unteren Rand. Die entsprechenden Daten für die 

Sprungfunktion g(x) sind dagegen blau dargestellt. Wie man sehen kann, liefern hier alle 

Verfahren in etwa gleich schlechte Ergebnisse mit einer Fehlerordnung h −1 . 

Noch problematischer ist die Integration von Funktionen mit Singulatitäten wie z.B. 

h(x) = 

1 

x − π/2 . (1.15) 

Das Integral ∫ 2 

1 

h(x)dx kann berechnet werden, indem man ausnutzt, dass der Integrand 

antisymmetrisch in bezug auf die Polstelle ist, d.h. im Intervall [π−2, 2] liefert das Integral 

keinen Beitrag, während der verbleibende Teil ∫ π−2 

1 

h(x)dx mit Mathematica R○ bestimmt 

werden kann und den numerischen Wert H = −1.012305533877 ergibt. Integriert man 

aber diese Funktion numerisch auf dem gesamten Intervall [1, 2], so beobachtet man, dass 

keines der Verfahren konvergiert, vielmehr erhält man in etwa konstante Abweichungen 

von der Größenordnung 1, die in der Abbildung rot dargestellt sind. 

Die numerische Integration von Funktionen ist ein eigenes Teilgebiet der numerischen 

Mathematik, das wir hier nur sehr oberflächlich gestreift haben. Mitnehmen sollten Sie 

jedoch, dass sich die Genauigkeit in der Regel mit nur geringem Aufwand erheblich 

verbessern lässt. Sind dagegen die Integranden unstetig oder gar singulär, ist äußerste 

Vorsicht geboten, selbst wenn ein Verfahren endliche stabile Werte liefert. 


2 Differentialgleichungen 

Eine wichtige und vielleicht auch die älteste Anwendung 

des Computers in der Physik ist das 

numerische Lösen von Differentialgleichungen. 

Der erste vollelektronische Großrechner mit der 

Bezeichnung ENIAC, der noch über ein Steckfeld 

programmiert wurde, diente zur Lösung 

partieller Differentialgleichungen für Kernfusion 

und ermöglichte so die Entwicklung der 

Wasserstoffbombe. Die Amerikaner gewannen 

den Wettlauf zum Mond nicht wegen besserer 

Raketentechnologie, sondern weil sie die ersten 

waren, die einen leichten transistorisierten 

Bordrechner zur numerischen Iteration der 

Flugbahn bauen konnten. 

Electronic Numerical Integrator And Computer 

(ENIAC) aus dem Jahr 1942 mit 17500 Röhren 

2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 

2.1.1 Reduktion auf ein System erster Ordnung 

Wir wollen uns zunächst mit gewöhnlichen Differentialgleichungen befassen. Eine gewöhnliche 

Differentialgleichung n-ter Ordnung für eine Funktion y(x) lässt sich schreiben 

als 

y (n) = f(x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n−1) ) , (2.1) 

wobei y (n) für die n-te Ableitung steht und f eine im Allgemeinen nichtlineare Funktion 

ist. Diese Differentialgleichung n-ter Ordnung lässt sich auf ein System von Differentialgleichungen 

erster Ordnung zurückführen, indem man eine n-komponentige Funktion 

⃗Y (x) = (Y 1 (x), Y 2 (x), . . . , Y n (x)) durch Y n (x) := y (n−1) (x) definiert, also einen Vektor, 

in dem die ursprüngliche Funktion und ihre Ableitungen als Komponenten aufgelistet 

sind. Man wird so auf ein System von n Differentialgleichungen geführt, nämlich 

Y 1(x) ′ = Y 2 (x) 

Y 2(x) ′ = Y 3 (x) (2.2) 

· · · · · 

( 

· 

) 

Y n(x) ′ = f x, Y 1 (x), Y 2 (x), . . . , Y n (x) , 

das sich auch kurz in der Form 

⃗Y ′ (x) = F ⃗ ( 

x, Y ⃗ ) 

(x) 

(2.3) 



schreiben lässt. Die ersten n − 1 Gleichungen sind trivial in dem Sinne, dass sie nichts 

weiter tun als Ableitungen sukzessive hintereinander zu schalten, um auf diese Weise 

höhere Ableitungen zu erzeugen, die in der letzten Gleichung als Argumente der Funktion 

f benötigt werden. Durch das Zurückführen auf ein System von Gleichungen erster 

Ordnung wird das Problem jedoch standardisiert, – spezielle Algorithmen für Differentialgleichungen 

höherer Ordnung werden also nicht unbedingt benötigt. 

Beispiel: Für eine gedämpfte Schwingung lässt sich die DGL zweiter Ordnung ÿ(t) + 

aẏ(t) + by(t) = 0 durch 

Y 1(t) := y(t) , Y 2(t) := ẏ(t) (2.4) 

auf das System 

Ẏ 1(t) = Y 2(t) 

Ẏ 2(t) = −bY 1(t) − aY 2(t) (2.5) 

von zwei DGLen erster Ordnung zurückführen. In diesem speziellen Fall ist das System 

sogar linear, so dass wir ˙⃗ Y (t) = AY (t) schreiben können, wobei A eine 2 × 2-Matrix ist. 

Durch Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix lassen sich dann beide 

Gleichungen entkoppeln. 

Auf analoge Weise geht man vor, wenn ein System von m Gleichungen n-ter Ordnung 

vorgegeben ist, man erhält dann ein System von m × n Gleichungen erster Ordnung. 

Im folgenden wollen wir der Einfachheit halber eine einkomponentige gewöhnliche DGL 

erster Ordnung y ′ (x) = f(x, y(x)) betrachten. Die zu beschreibenden Verfahren können 

direkt auf Systeme mehrerer DGLen erster Ordnung verallgemeinert werden. 

2.1.2 Diskretisierung 

Rechner sind endliche Maschinen und können deshalb nur diskretisierte Probleme bearbeiten. 

Zunächst muss also die unabhängige Variable x (bzw. t in zeitabhängigen DGLen) 

diskretisiert werden. Liegen keine näheren Informationen zur betrachteten DGL vor, wird 

man zunächst mit einer äquidistanten Diskretisierung 

x = x 0 + jh j ∈ N (2.6) 

arbeiten. Dabei ist h die sogenannte Schrittweite bei der Iteration. Der Iterationsindex j 

übernimmt nun die Rolle der unabhängigen Variable, weshalb wir die Notation 

verwenden werden. 

x j := x 0 + jh , y j := y(x j ) , y ′ j := y ′ (x j ) (2.7) 

Bei der numerischen Integration von Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen 

Einschrittverfahren und Mehrschrittverfahren, wobei man sich auf die Anzahl der bereits 

berechneten Stützstellen bezieht, deren Kenntnis notwendig ist, um die jeweils nächste 

Stützstelle zu berechnen. Ein Einschrittverfahren berechnet y j+1 allein auf der Grundlage 

der vorherigen Stützstelle y j . Beispiele dafür sind die im folgenden besprochenen 

Euler- und Runge-Kutta-Verfahren. Ein Zweischrittverfahren benötigt dagegen für die 

Berechnung von y j+1 zwei zuvor berechnete Stützstellen y j und y j−1 . Solche mehrstufigen 

werden am Ende dieses Kapitels besprochen. 


2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 11 

2.1.3 Euler-Verfahren 

Die Grundlage eines Iterationsverfahrens ist in der Regel die Taylorentwicklung 

y j+1 = 

∞∑ 

k=0 

h k 

k! y(k) j 

= y j + hy ′ j + h2 

2 y′′ j + . . . . (2.8) 

Wären alle Ableitungen bekannt, könnte man die DGL ‘exakt’ iterieren, – aber leider 

kennt man nur die erste Ableitung, die durch y j 

′ = f(x j, y j ) berechnet werden kann. 

Als einfachstes Verfahren bietet es sich deshalb an, die Entwicklung nach der ersten 

Ordnung abzubrechen, was zu einem Iterationsfehler der Ordnung O(h 2 ) führt. 1 Dies ist 

das sogenannte Euler-Verfahren: 

y j+1 = y j + hf(x j , y j ) + O(h 2 ). (2.9) 

Das Euler-Verfahren ist wegen seiner Anschaulichkeit sehr beliebt, aber 

Euler-Verfahren sind ungenau. 

Mit einem geringen Aufwand lässt sich, wie Sie im folgenden sehen werden, eine erhebliche 

Verbesserung erreichen. 

2.1.4 Verfahren von Heun 

Eine intuitiv naheliegende Verbesserung erhält man, wenn man die Tangente im Euler- 

Verfahren durch ein Trapez ersetzt, d.h. 

y j+1 = y j + h 2 

( 

f(xj , y j ) + f(x j+1 , y j+1 ) ) + O(h 3 ). (2.10) 

Allerdings erscheint auf der rechten Seite die zu berechnende Stützstelle j + 1, die noch 

nicht bekannt ist. Das Verfahren von Heun umgeht dieses Problem, indem der Funktionswert 

y j+1 an der rechten Stützstelle zunächst mit dem Euler-Verfahren durch einen 

näherungsweisen Prädikator abgeschätzt wird: 

p j+1] := y j + hf(x j , y j ) . (2.11) 

Dieser Prädikator wird in die obige Trapezregel eingesetzt und mit dem Ergebnis anschließend 

eine verbesserte Abschätzung, der sogenannte Korrektor, berechnet: 

y j+1 := y j + h 2 

( 

f(xj , y j ) + f(x j+1 , p j+1 ) ) (2.12) 

p j+1 := f(x j+1 , y j+1 ) . (2.13) 

Diese beiden Schritte werden so lange wiederholt, bis die Zahlenwerte der beteiligten 

Größen stationär sind, sich also nicht weiter verändern. 

1 Diese Notation drückt aus, dass der Fehler für h → 0 asymptotisch wie h 2 skaliert. Dieser Fehler 

bezieht sich auf einen einzigen Integrationsschritt mit Schrittweite h. Der akkumulierte Fehler auf 

einem Integrationsintervall konstanter Breite skaliert mit einer um 1 geringeren Potenz. 



Abbildung 2.1: Euler- und Runge-Kutta-Iteration zweiter Ordnung. Die schwarze Kurve stellt die 

gesuchte (wirkliche) Lösungsfunktion y(x) dar. Die Iteration startet bei einer Stützstelle 

(x j, y j) und berechnet (x j+1, y j+1). Beim Euler-Verfahren (links) wird im linken 

Punkt die Steigung der Tangente (rote gestrichelte Linie) bestimmt und ein linearer 

Vorwärtsschritt (roter Pfeil) entlang der Tangente vorgenommen. Wie man sehen 

kann, ergibt sich bei gekrümmten Lösungsfunktionen ein erheblicher Fehler (gelber 

Balken). Beim Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung (rechts) wird zunächst eine 

Euler-Iteration mit halber Schrittweite (roter Pfeil) vorgenommen und im Zielpunkt 

die Steigung ermittelt (blaue gestrichelte Linie). Danach wird diese Steigung für den 

Iterationsschritt mit voller Schrittweite verwendet (blauer Pfeil). Wie man sehen kann, 

ist die Genauigkeit dieses Verfahrens erheblich größer. 

2.1.5 Runge-Kutta-Verfahren 

Das Verfahren von Heun gehört zur Gruppe der sogennanten Runge-Kutta-Verfahren. 

Diese Gruppe umfasst nicht nur das Euler-Verfahren (RK1), sondern auch weitere Standardverfahren 

(RK2,RK4,...), die ohne eine Iterationsschleife auskommen und mit denen 

man mit nur sehr geringem Aufwand die Genauigkeit und Effizienz einer numerischen 

Iteration erheblich steigern kann. Je nach Skalierungsverhalten des Fehlers unterscheidet 

man Runge-Kutta-Verfahren unterschiedlicher Ordnungen. Der einfachste Fall ist das 

Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung RK2, das bereits erheblich genauer als das Euler- 

Verfahren ist. 

Dem Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung liegt anschaulich die Idee zugrunde, die Steigung 

der Sekante von Stützstelle zu Stützstelle nicht wie beim Euler-Verfahren durch die 

Tangente im linken Punkt zu nähern, sondern die Steigung in der Mitte der beiden Stützstellen 

zu benutzen. Dazu tastet man sich zunächst um einen halben Iterationsschritt h/2 

bis zur Mitte vorwärts, ermittelt dort mit Hilfe der Funktion f die Steigung der Tangente 

und benutzt diese als Näherung für die Steigung der Sekante. Dieses Vorgehen ist 

schematisch in Abb. 2.3 dargestellt. 

Das Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung ist mit der Iterationsvorschrift 

y j+1 

( 

= y j + hf x j + h 2 , y j + h ) 

2 f(x j, y j ) + O(h 3 ). (2.14) 

nur unwesentlich komplizierter als das Euler-Verfahren. Die Iteration kostet etwas mehr 

Zeit, da insbesondere die Funktion f zweimal ausgewertet werden muss, dafür skaliert 

der Fehler jedoch mit der Ordnung O(h 3 ). Es kann also bei gleicher Genauigkeit mit 



größeren Schrittweiten gearbeitet werden. Das Runge-Kutta-Verfahren – wie das Euler- 

Verfahren in nur einer Zeile zu schreiben – bringt also einen erheblichen Genauigkeitsund 

Geschwindigkeitsgewinn. 

Auf ähnliche Weise kann man Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnungen definieren. 

Ein Runge-Kutta-Verfahren k-ter Ordnung konvergiert bei abnehmender Schrittweite mit 

einem Fehler O(h k+1 ). Allerdings sind solche Verfahren höherer Ordnung nicht eindeutig 

definiert, es gibt also nicht das Runge-Kutta-Verfahren k-ter Ordnung, sondern eine 

Vielzahl solcher Näherungen. 

In der Praxis bringt die Erhöhung der Ordnung zunächst eine deutliche Verbesserung 

mit sich. Erhöht man die Ordnung aber zu stark, erhöht sich einerseits die Komplexität 

des Algorithmus, andererseits kann es zu numerischen Instabilitäten bei zu großer 

Schrittweite kommen. Ein guter Kompromiss, der sich in der Praxis bewährt hat, ist das 

Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung, das auch als klassisches Runge-Kutta-Verfahren bekannt 

ist: 

) 

k 1 := h f 

(x j , y j 

( 

k 2 := h f x j + h 2 , y j + k ) 

1 

2 

( 

k 3 := h f x j + h 2 , y j + k ) 

2 

(2.15) 

2 

) 

k 4 := h f 

(x j + h, y j + k 3 

y j+1 := y j + k 1 

6 + k 2 

3 + k 3 

3 + k 4 

6 

Bei einem Differentialgleichunssystem sind y j , k i , f mit Vektorpfeilen zu versehen. 

2.1.6 Fehlerabschätzung 

Der Fehler eines numerischen Runge-Kutta-Integrators ist leicht zu bestimmen, wenn 

man bereits die exakte Lösung der Differentialgleichung kennt. Wie aber kann man den 

Fehler abschätzen, wenn die exakte Lösung nicht bekannt ist? 

Eine sehr einfache Methode ist das Halbschrittverfahren. Dazu wird ein ganzer Iterationsschritt 

y j+1 = RK h (y j ) mit zwei Halbschritten ỹ j+1 = RK h/2 (RK h/2 (y j )) verglichen. 

Bezeichnet man die entsprechenden Fehler mit 

∆ = |y j+1 − y exakt 

j+1 | , ˜∆ = |ỹj+1 − y exakt 

j+1 | , (2.16) 

so ist offenbar ˜∆ wegen der feineren Schrittweite vom Betrag kleiner als ∆. Man nutzt nun 

aus, dass die Fehler bei einem Runge-Kutta-Verfahren k-ter Ordnung wie h k+1 skalieren, 

d.h. 

∆ ≃ a h k+1 , ˜∆ ≃ 2a (h/2) k+1 , (2.17) 

wobei a eine unbekannte Proportionalitätskonstante ist. Mit den beiden Gleichungen 

lässt sich wegen 

y j − ỹ j = ∆ − ˜∆ = a(1 − 2 −k )h k+1 = (1 − 2 −k )∆ (2.18) 



der Proportionalitätsfaktor a eliminieren und man erhält: 

∆ = 

y j − ỹ j 

. (2.19) 

1 − 2−k Eine einfache Möglichkeit der Fehlerkontrolle besteht also darin, in regelmäßigen Abständen, 

etwa bei jedem hundertsten Iterationsschritt, den Fehler mit der beschriebenen 

Methode abzuschätzen und ggf. bei Überschreitung eines vorgegebenen Maximalfehlers 

die Schrittweite zu halbieren. 

2.1.7 Dynamische Schrittweitenkontrolle * 

Oft ist es so, dass in bestimmten Regionen des Phasenraums sehr genau iteriert werden 

muss, während in anderen Regionen eine großzügige Schrittweite ausreicht. Dies ist 

schon der Fall bei der Iteration einer stark exzentrischen Planetenumlaufbahn: In der 

Nähe des Zentralgestirns (Perihel) benötigt man eine sehr kleine Schrittweite, weil sich 

der Planet sehr schnell bewegt und stark beschleunigt wird, während im Aphel eine grobe 

Schrittweite ausreicht. Wünschenswert ist hier ein Algorithmus, der die Schrittweite dynamisch 

anpasst. Außerdem soll die Anpassung schnell erfolgen und nicht nur in großen 

Abständen, wie z.B. in dem oben beschrieben Fehlerabschätzungsverfahren. Andererseits 

möchte man aber auch nicht in jedem Update das Halbschrittverfahren anwenden, da es 

den Rechenaufwand verdreifachen würde. 

Ein Verfahren, das den Fehler unmittelbar aus den berechneten Hilfswerten k i berechnet 

und dynamisch die Schrittweite anpasst, ist das Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren 4. 

Ordnung (auch RKF45 genannt): 

) 

k 1 := h f 

(x j , y j 

( 

k 2 := h f x j + 1 4 h, y j + 1 ) 

4 k 1 

( 

k 3 := h f x j + 3 8 h, y j + 3 32 k 1 + 9 ) 

32 k 2 

( 

k 4 := h f x j + 12 

13 h, y j + 1932 

2197 k 1 − 7200 

2197 k 2 + 7296 ) 

2197 k 3 

(2.20) 

( 

k 5 := h f x j + h, y j + 439 

216 k 1 − 8k 2 + 3680 

513 k 3 − 845 ) 

4104 k 4 

( 

k 6 := h f x j + 1 2 h, y j − 8 27 k 1 + 2k 2 − 3544 

2565 k 3 + 1859 

4104 k 4 − 11 ) 

40 k 5 

y j+1 := y j + 25 

216 k 1 + 1408 

2565 k 3 + 2197 

4104 k 4 − 1 5 k 5 

Da man mehr Zwischenwerte hat, als man zur Berechnung von y j+1 braucht, kann man 

eine bessere Abschätzung 5. Ordnung ausrechnen: 

z j+1 := y j + 16 

135 k 1 + 6656 

12825 k 3 + 28561 

56430 k 4 − 9 50 k 5 + 2 55 k 6 . (2.21) 

Ist ɛ die voreingestellte Sollfehlertoleranz, so führt man nach dem Update eine Anpassung 

der Schrittweite mit der Zuweisung 

( 

ɛh 

) 1/4 

h := h 

(2.22) 

2|z j+1 − y j+1 | 



Abbildung 2.2: Euler-Iteration (rot) und Runge-Kutta-Iteration 2. Ordnung (grün) des Zweikörperproblems. 

Gezeigt ist in beiden Fällen eine Iteration von 10 6 Zeitschritten mit Schrittweite 

h = 0.1. Die dimensionslosen Parameter sind g = 100, ⃗r(0) = (400, 0) und 

⃗v(0) = (0, 0.2). Wie man sehen kann, führt das Euler-Verfahren zu erheblichen Fehlern 

und insbesondere zu einer stetigen Zunahme der Energie, während die Fehler des 

Runge-Kutta-Verfahrens mit dem bloßen Auge nicht zu erkennen sind. 

durch, wobei mit entsprechenden Abfragen sicherzustellen ist, dass der Nenner ungleich 

Null ist und h einen bestimmten Maximalwert nicht überschreitet. 

2.1.8 Anwendung auf physikalische Probleme 

Eine einfache physikalische Anwendung ist die Iteration einer Planetenbewegung. Zwei 

Himmelskörper bewegen im R 3 im wechselseitigen Gravitationspotential 

V (r) = −G m 1m 2 

r 

, (2.23) 

wobei G = 6.67 × 10 −11 m 3 s −2 kg −1 die Newtonsche Gravitationskonstante ist. Die Bewegungsgleichung 

für den Relativvektor ⃗r = ⃗r 2 − ⃗r 1 lautet 

µ¨⃗r(t) = −G m 1m 2 ⃗r(t) 

r 3 , (2.24) 

wobei µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) die reduzierte Masse ist. Indem man die Konstanten auf die 

rechte Seite bringt und zusammenfasst, hat man also die Bewegungsgleichung 

¨⃗r(t) = −g ⃗r(t) 

r 3 (2.25) 

zu lösen. Da man weiß, dass Bewegungen in Zentralpotentialen in einer Ebene stattfinden, 

reicht es aus, das Problem im R 2 zu behandeln. 

Zunächst überführen wir die obige Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein System 

von zwei (jeweils zweikomponentigen) Differentialgleichungen erster Ordnung, indem 

wir {⃗r(t), ˙⃗r(t)} = {⃗r(t), ⃗v(t)} als einen vierkomponentigen Vektor auffassen. Ein 

Euler-Zeitschritt wird dann durch die Iterationsvorschrift 

⃗r(t + h) := ⃗r(t) + h⃗v(t) (2.26) 

⃗v(t + h) := ⃗v(t) − hg⃗r(t)/|⃗r(t)| 3 

beschrieben. Das Ergebnis ist für eine bestimmte Parameterwahl in Abb. 2.2 dargestellt. 

Wie man sehen kann, bewegt sich der Planet nicht auf der theoretisch vorhergesagten 

geschlossenen ellipsenförmigen Bahn, sondern entfernt sich zunehmend. 



Ein sehr viel besseres Ergebnis mit nur geringem Mehraufwand erzielt man mit dem 

Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung. Für das Planetenproblem lautet die Iterationsvorschrift 

⃗ k1 := h⃗v(t) (2.27) 

⃗ l1 := −hg ⃗r(t) 

|⃗r(t)| 3 

⃗ k2 := h 

(⃗v(t) + 1 2 ⃗ ) 

l 1 

⃗ l2 := −hg ⃗r(t) + 1⃗ 2k 1 

∣ 

∣⃗r(t) + 1⃗ ∣ ∣∣ 

3 

2k 1 

(2.28) 

⃗r(t + h) := ⃗r(t) + ⃗ k 2 (2.29) 

⃗v(t + h) := ⃗v(t) + ⃗ l 2 

Wie man in Abb. 2.2 sehen kann, ist das Ergebnis im Vergleich zum Euler-Verfahren 

erheblich besser. Natürlich weist aber auch dieses Verfahren noch erhebliche Fehler auf. 

Eine Mondlandung sollte man damit lieber nicht vorausberechnen, sondern sich die Mühe 

machen, RKF45 zu implementieren. 

2.1.9 Die Rolle von Symmetrien und Erhaltungsgrößen 

Auch bei anderen Zentralpotentialen, welche im Gegensatz zu 1/r- und r 2 -Potentialen 

zu nicht geschlossenen Trajektorien führen, würde man die durch das Euler-Verfahren 

erzeugten Fehler sofort erkennen können. Der Planet entfernt sich nämlich vom Zentralgestirn, 

nimmt also Energie auf, was der Energieerhaltung widerspricht. 

Es ist eine empirische Tatsache, dass bei physikalischen Fragestellungen vor allem jene 

numerischen Fehler eines Iterationsverfahren zu Problemen führen, welche die Erhaltungsgrößen 

und Symmetrien des Systems verletzen. Das ist plausibel, denn physikalisch 

interessante Eigenschaften werden ja in der Regel gerade durch diese Symmetrien und 

Erhaltungsgrößen bestimmt. Daraus ergibt sich folgende empirische Faustregel: 

Für die numerische Iteration physikalischer 

Probleme sind grundsätzlich Iterationsalgorithmen 

zu bevorzugen, welche die Erhaltungsgrößen und 

Symmetrien des Systems respektieren. 

Iterationsvorschriften, welche die Erhaltungsgrößen und Symmetrien eines Systems respektieren, 

werden oft als symplektische Algorithmen bezeichnet. Die Bezeichnung stammt 

aus der klassischen Mechanik, da die Hamiltonschen Bewegungsgleichung unter der Gruppe 

der symplektischen Transformationen invariant sind. 

Ein bekanntes Beispiel ist der sogenannte leapfrog-Algorithmus für die Iteration von 

Newtonschen Bewegungsgleichungen. Er unterscheidet sich von einer einfachen Euler- 

Iteration nur dadurch, dass die Geschwindigkeiten zu halben Zeitschritten, die Position 



Abbildung 2.3: Einschritt- und Mehrschrittverfahren. Iterationsalgorithmen kann man sich als gleitende 

Automaten vorstellen, die auf einer Zahlenfolge {y j} den jeweils nächsten Wert 

(hier y 4) erzeugen. Bei einem Einschrittverfahren wie z.B. dem Runge-Kutta-Verfahren 

zweiter Ordnung (RK2) benötigt dieser Automat nur den jeweils vorangegangenen y- 

Wert, ruft aber dafür die Funktion f mehrfach auf. Ein Mehrschrittverfahren wie die 

Adams-Bashforth-Methode (AB) benötigt mehrere y-Werte der Folge, ruft aber dafür 

die Funktion f nur einmal auf. 

dagegen zu ganzen Zeitschritten iteriert wird. Die Iterationsvorschrift lautet: 

⃗r(t + h) := ⃗r(t) + h⃗v(t + h/2) (2.30) 

⃗v(t + h/2) := ⃗v(t − h/2) − hg⃗r(t)/|⃗r(t)| 3 

Im Gegensatz zum Euler-Verfahren ist dies jedoch bereits ein Iterationsverfahren zweiter 

Ordnung (Übung). Man kann zeigen, dass der leapfrog-Algorithmus als exakte Symmetrie 

das differentielle Phasenraumvolumen erhält. Die Energie ist allerdings, wie man sich 

leicht überzeugen kann, nicht exakt erhalten, jedoch kann man zeigen, dass die Energie 

nach jeweils einem Umlauf des Planeten wieder an den ursprünglichen Wert zurückkehrt. 

Die Energie oszilliert also nur geringfügig um den konstanten Sollwert. In diesem Sinne 

ist der leapfrog-Algorithmus für geschlossene Bahnen auch energieerhaltend. 

Iteriert man die oben beschriebene Planetenbewegung numerisch, so erhält man in der Tat 

ellipsenförmige Bahnen, deren Halbachsen ihre Länge nicht ändern. Allerdings wandert 

die Ellipse langsam um das Zentralgestirn herum. Der Runge-Lenz-Vektor rotiert also. 

Das ist nicht allzu überraschend, denn dieser Vektor repräsentiert eine weitere wichtige 

Erhaltungsgröße der Bahnbewegung im 1/r-Potential, die aber offenbar von dem leapfrogupdate 

nicht respektiert wird. 

2.1.10 Mehrschrittverfahren * 

Die bisher behandelten numerischen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen 

sind sogenannte Einschrittverfahren, d.h. zur Berechnung der nächsten Stützstelle y j+1 

muss man nur die jeweils zuletzt berechnete Stützstelle y j kennen. Bei Verfahren höherer 

Ordnung steigt der Rechenaufwand durch mehrfache Aufrufe der Funktion f(x, y), 

z.B. wird bei einem Runge-Kutta-Verfahren k-ter Ordnung diese Funktion für jeden Iterationsschritt 

genau k-mal aufgerufen. Einschrittverfahren sind also besonders effizient, 

wenn die Funktion f(x, y) nur wenig CPU-Zeit verbraucht. 

Oft verschlingt aber gerade die Funktion f(x, y) besonders viel Rechenzeit, insbesondere 

wenn trigonometrische Funktionen, Logarithmen, Rekursionen oder approximierte Reihen 

darin vorkommen. In diesem Fall bieten sich sogenannte Mehrschrittverfahren an. 



Hier wird die Funktion f(x, y) pro Iterationsschritt nur einmal aufgerufen, während die 

Fehlerordnung dadurch verbessert wird, dass man nicht nur die jeweils letzte Stützstelle 

y j , sondern auch die vorangehenden y j−1 , y j−2 , . . . , y j−M+1 bzw. die Funktionswerte von 

f an diesen Stellen für den Update mit einbezieht, wobei M > 0 eine ganze Zahl ist. 

Diese Werte müssen nicht neu berechnet, sondern lediglich zwischengespeichert werden. 

Eine wichtige Rolle spielen lineare Mehrschrittverfahren, die sich in der generischen Form 

M−1 

∑ 

k=0 

a k y j−k 

M−1 

∑ 

= h b k f(x j−k , y j−k ) (2.31) 

k=0 

schreiben lassen, wobei die Koeffizienten a i , b i das Verfahren bestimmen. Diese müssen 

konsistent sein in dem Sinne, dass das Verfahren für h → 0 gegen die exakte Lösung 

konvergiert. Wenn man die obige Iterationsformel nach y j auflösen kann, spricht man 

von einem expliziten, andernfalls von einem impliziten Mehrschrittverfahren. Eines der 

bekanntesten expliziten Verfahren ist die Adams-Bashforth-Methode mit zwei oder drei 

Schritten: 

3 

y j+1 = y j + h( 

2 f(x j, y j ) − 1 ) 

2 f(x j−1, y j−1 ) 

(2.32) 

( 23 

y j+1 = y j + h 

12 f(x j, y j ) − 16 

12 f(x j−1, y j−1 ) + 5 ) 

12 f(x j−2, y j−2 ) . (2.33) 

2.2 Partielle Differentialgleichungen 

Partielle Differentialgleichungen treten immer dann auf, wenn ein Problem durch mehrere 

unabhängige Variablen beschrieben wird. In der Physik ist das immer der Fall, wenn 

Funktionen wie z.B. Felder oder Dichten auf dem dreidimensionalen Raum oder auf der 

3+1-dimensionalen Raumzeit untersucht werden. Formal erkennt man partielle Differentialgleichungen 

an partiellen Ableitungen. Ein klassisches Beispiel ist die Wellengleichung 

∂ 2 

∂t 2 φ(⃗x, t) − c2 ∇ 2 φ(⃗x, t) = 0 (2.34) 

oder kurz (∂ 2 t + c 2 ∇ 2 )φ = 0, wobei ∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z ) der Gradient, ∇ 2 = ∂ 2 x + ∂ 2 y + ∂ 2 z 

der Laplacian, φ(⃗x, t) ein skalares Feld und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Ein weiteres 

Beispiel ist die Wärmeleitungsgleichung 

∂ 

∂t ϱ(⃗x, t) = D∇2 ϱ(⃗x, t) (2.35) 

mit der Diffusionskonstanten D, die erster Ordnung in der Zeit und damit irreversibel 

ist. Formal äquivalent bis auf ein komplexes i ist die Schrödingergleichung 

i ∂ 2 

ψ(⃗x, t) = − 

∂t 2m ∇2 ψ(⃗x, t) (2.36) 

die ebenfalls erster Ordnung in der Zeit ist, jedoch unter Komplexkonjugation reversibel 

ist. 


2.2 Partielle Differentialgleichungen 19 

Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen, deren Lösung durch Anfangswerte 

vollständig determiniert ist, benötigen partielle Differentialgleichungen analoge Restriktionen 

in den räumlichen Freiheitsgraden, die als Randwerte bezeichnet werden. Man 

muss also in der Regel sowohl die Anfangs- als auch die Randbedingungen spezifizieren. 

Der Ton eine Trommel hängt eben nicht nur vom Schlag, sondern auch von ihrer Form 

ab. 2 

2.2.1 Konzept der Quantenmechanik kurz gefasst 

In der klassischen Mechanik ist ein System zu jeder Zeit in einem definitiven Zustand. 

Beispielsweise befindet sich ein Punktteilchen zu jeder Zeit t an einem ganz bestimmten 

Ort ⃗x(t) und besitzt einen bestimmten Impuls ⃗p(t). Der Systemzustand (also Ort und 

Impuls) ist objektive Realität, also zu jeder Zeit eine unabhängig vom Beobachter existierende 

Wirklichkeit. Kern der Quantentheorie ist dagegen eine radikale Abkehr vom 

Konzept der objektiven Realität. Die beobachterunabhängige Wirklichkeit gibt es nicht 

mehr, vielmehr entsteht Wirklichkeit erst im Moment der Beobachtung, also der Messung 

einer Eigenschaft. Ein Teilchen ist also erst dann an einem bestimmten Ort, wenn ich die 

entsprechende Frage an das Teilchen stelle, also eine Ortsmessung durchführe. 

Aber was heißt es, nicht an einem bestimmten Ort zu sein? 

Könnte es nicht sein, dass das Teilchen in Wirklichkeit doch 

immer an einem bestimmten Ort ist, dass man vor der Messung 

nur nicht weiss, wo es ist? Nein, denn das wäre ledigleich 

eine unvollständige Kenntnis des Beobachters. Die 

quantenmechanische Unbestimmtheit ist dagegen eine Eigenschaft 

des Teilchens selbst, ein potentielles nicht-realsein. 

Keine Sorge: Wenn Sie damit Verständnisprobleme haben, 

sind Sie in bester Gesellschaft. 

Quelle: Uni Oldenburg 

In der klassischen Mechanik geht man davon aus, dass man Ort und Impuls eines Teilchen 

messen kann ohne dabei das Teilchen zu beeinflussen, dass man also den Systemzustand 

rückwirkungsfrei bestimmen kann. In der Quantenmechanik ist das im Allgemeinen nicht 

möglich. Wird nämlich das System durch Messung gezwungen, eine Frage zu beantworten, 

so muss es sich für eine Antwort entscheiden und wird durch diesen Entscheidungsprozess 

selbst verändert. 

Hat sich das System erstmal für eine Antwort entschieden, also eine Realität bezüglich 

einer Frage hergestellt, wird es bei dieser Entscheidung bleiben, wenn man unmittelbar 

darauf die gleiche Frage noch einmal stellt. Findet man beispielsweise das Teilchen 

durch Ortsmessung am Ort ⃗x, wird es bei einer unmittelbar darauf folgenden zweiten 

Ortsmessung immer noch am Ort ⃗x sein. Stellt man aber eine andere Frage, so wird 

die zuvor geschaffene Realität teilweise oder ganz zerstört. Durch eine Impulsmessung 

vergisst das Teilchen seinen Aufenthaltsort, durch eine Ortsmessung seinen Impuls. Man 

sagt in diesem Fall, dass die Messungen nicht kommutieren. 

2 “Can One Hear the Shape of a Drum?” , fragte der Mathematiker Mark Kac im Jahre 1966. Zweifellos 

bestimmt die Form der Trommel deren Klang, aber können wir am Klangspektrum die Form rekonstruieren? 

Erst 1992 gelang der Beweis: Falls die Form konvex und analytisch ist, ist die Antwort 

positiv, im allgemeinen trifft die Behauptung aber nicht zu. 



Bemerkung: In der Praxis wird der Impuls nur mit einer endlichen Auflösung ∆p gemessen. 

In diesem Fall vergisst das Teilchen seinen Aufenthaltsort nur teilweise in einem 

Toleranzbereich ∆x, gegeben durch die Heisenbergsche Unschärferelation ∆x∆p = /2. 

2.2.2 Die Schrödingergleichung 

Zum Glück wird die Quantenmechanik trotz ihrer begrifflichen Schwierigkeiten durch 

einen recht einfachen mathematischen Formalismus beschrieben. Der quantenmechanische 

Zustand eines Punktteilchens wird durch eine komplexwertige Wellenfunktion 

ψ(⃗x) ∈ C charakterisiert. Bei einer Messung des Aufenthaltsortes ist die Wahrscheinlichkeit 

(genauer: Wahrscheinlichkeitsdichte) für das Messergebnis ⃗x durch 

ρ(⃗x) = ψ ∗ (⃗x)ψ(⃗x) (2.37) 

gegeben. Die Wellenfunktion stellt die maximale Kenntnis dar, die man über ein System 

besitzen kann, ist also eine vollständige Beschreibung des quantenmechanischen Zustands 

des Systems. 

Ähnlich wie sich ein klassisches Teilchen bewegt, sich also sein Zustand (⃗x, ⃗p) als Funktion 

der Zeit verändert, unterliegt auch der quantenmechanische Zustand ψ(⃗x, t) einer 

Zeitentwicklung. Diese Zeitentwicklung wird durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben. 

Man erhält sie per Kochrezept, indem man in der Energie-Impuls-Beziehung 

die formale Ersetzung 

E → i∂ t , ⃗p → −i∇ (2.38) 

durchführt und dann beide Seiten auf die Wellenfunktion wirken lässt. Für die Energie- 

Impuls-Beziehung eines Teilchens in einem Potential 

erhält man so die (zeitabhängige) Schrödingergleichung 

i∂ t ψ(⃗x, t) = 

E = p2 

+ V (⃗x) (2.39) 

2m 

(− 2 ∇ 2 

2m + V (⃗x) ) 

ψ(⃗x, t) . (2.40) 

Es handelt sich um eine lineare partielle Differentialgleichung von 1. Ordnung in der Zeit 

und 2. Ordnung in den räumlichen Koordinaten. Bis auf das i ist sie formal äquivalent 

zur Wärmeleitungsgleichung. Wenn Ihnen die physikalischen Grundlagen noch nicht so 

vertraut sind, können Sie in den folgenden Abschnitten diese Gleichung auch als ein 

gegebenes mathemtisches Problem betrachten, das es zu lösen gilt. 

2.2.3 Stationäre Schrödingergleichung 

Zunächst werden wir den Fall betrachten, in dem die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) = 

ψ ∗ (x, t)ψ(x, t), ein Teilchen am Ort ⃗x zu finden, stationär, also zeitunabhängig ist. In 

diesem Fall muss die gesamte Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion in einem konstant 

rotierenden Phasenfaktor zum Ausdruck kommen, d.h. 

ψ(⃗x, t) = e −iωt ψ(⃗x) . (2.41) 



Setzt man diesen Ansatz in die Schrödingergleichung ein, wird man auf die zeitunabhängige 

Schrödingergleichung 

(− 2 

) 

2m ∇2 + V (⃗x) ψ(⃗x) = Eψ(⃗x) (2.42) 

geführt, wobei E = ω ist. 

Vom mathematischen Standpunkt aus gesehen ist die stationäre Schrödingergleichung ein 

Eigenwertproblem, d.h. wir suchen die Eigenwerte E und die Eigenfunktionen ψ(⃗x) des 

linearen Operators − 2 

2m ∇2 + V (⃗x). Für bestimmte Spezialfälle wie z.B. für den harmonischen 

Oszillator V (⃗x) = 1 2 mω2 x 2 oder das Coulombpotential V (⃗x) ∝ 1/x kann dieses 

Eigenwertproblem exakt gelöst werden. Solche exakt lösbaren Systeme (auch integrable 

Systeme genannt) sind aber eher die Ausnahme als die Regel. Schon ein harmonischer 

Oszillator mit einer anharmonischen Störung 

V (⃗x) = 1 2 mω2 x 2 + λx 4 (2.43) 

kann nicht exakt gelöst werden. Hier schlägt die Stunde der numerischen Integration 

per Computer, denn numerische Methoden sind unabhängig von der Integrabilität eines 

Systems. 

Der Einfachheit halber betrachten wir im Folgenden einen eindimensionalen Raum und 

skalieren die Größen so um, dass die stationäre Schrödingergleichung dimensionslos wird: 

( ) 

ψ ′′ (x) + 2 E − V (x) ψ(x) = 0 , 

} {{ } 

V (x) = 1 2 x2 + λx 4 (2.44) 

K(x) 

Durch die Zeitunabhängigkeit und Beschränkung auf nur eine Raumdimension haben wir 

das Problem auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert. Man könnte also z.B. 

direkt eines der oben beschriebenen Runge-Kutta-Verfahren einsetzen. Doch wie wählt 

man dabei die Anfangsbedingungen? 

Hier hilft uns die Symmetrie des Problems. Da das Potential spiegelsymmetrisch ist (d.h. 

V (x) = V (−x)) müssen auch die Lösungen der Differentialgleichung bestimmte Symmetrieeigenschaften 

erfüllen. Naiv würde man erwarten, dass dann auch ψ(x) symmetrisch 

sein müsse. Es ist aber in der Quantentheorie so, dass auch antisymmetrische Wellenfunktionen 

möglich sind. 

Beweis: Die Spiegelsymmetrie des Potentials impliziert, dass für jede Lösung ψ(x) auch 

die reflektierte Wellenfunktion ψ(−x) eine Lösung der DGL sein muss. Da normierte Eigenfunktionen 

nur bis auf einen Phasenfaktor definiert sind, können sich die beiden Wellenfunktionen 

nur durch einen Phasenfaktor unterscheiden, d.h. ψ(x) = e iφ ψ(−x). Wenn 

man nun x = 0 setzt, ist folglich entweder φ = 0 oder ψ(0) = 0. Differenziert man die 

Gleichung dagegen erst nach x und setzt dann x = 0, so erhält man φ = π oder ψ ′ (0) = 0. 

Das ergibt vier Kombinationen: 

φ = 0 ∧ φ = π unmöglich 

φ = 0 ∧ ψ ′ (0) = 0 symmetrische Lösung 

φ = π ∧ ψ(0) = 0 antisymmetrische Lösung 

ψ(0) = 0 ∧ ψ ′ (0) = 0 ergäbe eine verschwindende Wellenfunktion ψ(x) ≡ 0 

Die Symmetrie des Potentials erzwingt also, dass die Lösungen entweder symmetrisch oder 

antisymmetrisch sind. In der Tat wechseln sich beim harmonischen Oszillator bei steigender 

Energiequantenzahl diese beiden Lösungstypen ab. 



Für symmetrische Wellenfunktionen ist also die “Anfangsbedingung” ψ(0) > 0, ψ ′ (0) = 0 

zu wählen, während man bei einer antisymmetrischen Lösung mit ψ(0) = 0, ψ ′ (0) > 0 

beginnt. Am Schluss ist das Ergebnis korrekt zu normieren. Mit diesem Vorwissen könnte 

man nun eine Runge-Kutta-Integration durchführen. Effizienter ist jedoch das speziell 

für die Schrödingergleichung angepasste Numerov-Verfahren, das im nächsten Abschnitt 

besprochen wird. 

2.2.4 Numerov-Verfahren 

Das Numerov-Verfahren benutzt zwei unterschiedliche äquidistante Diskretisierungen, 

nämlich 

• x n := (n − 1 2 

)h bei symmetrischen Wellenfunktionen 

• x n := nh bei antisymmetrischen Wellenfunktionen 

Ziel ist die Lösung der Differentialgleichung 

ψ ′′ (x) + K(x)ψ(x) = 0 , (2.45) 

wobei in K(x) = E−V (x) der zu bestimmende Energieeigenwert E steckt, siehe Gl. (2.44). 

Für die Diskretisierung benutzen wir die Notation 

k n := K(x n ) , ψ n := ψ(x n ) , ψ ′ n := ψ ′ (x n ) , ψ ′′ 

n := ψ ′′ (x n ) usw. (2.46) 

Ausgangspunkt des Numerov-Verfahrens ist die Taylor-Entwicklung 

Daraus folgt 

ψ n±1 

= ψ n ± hψ n ′ + h2 

2 ψ′′ n ± h3 

6 ψ′′′ n + h4 

24 ψ′′′′ n + O(h 5 ) (2.47) 

ψ n+1 + ψ n−1 = 2ψ n + h 2 ψ ′′ 

n + h4 

12 ψ′′′′ 

n + O(h 6 ) (2.48) 

In dieser Formel müssen die zweite und die vierte Ableitung geeignet durch ψ n , ψ n±1 

ausgedrückt werden. Für die zweite Ableitung kann man einfach die Schrödingergleichung 

ψ ′′ 

n = −k n ψ n (2.49) 

benutzen. Um die vierte Ableitung auszudrücken, setzt man zunächst ebenfalls die Schrödingergleichung 

ein (also ψ n 

′′′′ = −(k n ψ n ) ′′ ) und nähert die verbleibende zweite Ableitung 

durch den entsprechenden Differenzenquotienten 

ψ ′′ 

n 

Dies führt auf die Näherung 

= ψ n+1 − 2ψ n + ψ n−1 

h 2 + O(h 2 ) . (2.50) 

ψ ′′′′ 

n = (−k n ψ n ) ′′ ≃ − k n+1ψ n+1 − 2k n ψ n + k n−1 ψ n−1 

h 2 . (2.51) 

Diese Näherung wird nun in die Gleichung (2.48) eingesetzt, wobei die Terme O(h 6 ) 

vernachlässigt werden. Man erhält auf diese Weise 

ψ n+1 + ψ n−1 

= 2ψ n − h 2 k n ψ n − h2 

12 (k n+1ψ n+1 + k n−1 ψ n−1 ) + h2 

6 k nψ n + O(h 6 ) , (2.52) 



Abbildung 2.4: Suchen der Grundzustandsenergie eines anharmonischen Oszillators mit Hilfe des 

Numerov-Verfahrens. Je genauer der Eigenwert eingegrenzt wird, desto später divergiert 

die Wellenfunktion. Durch den Vorzeichenwechsel kann der Eigenwert iterativ 

eingegrenzt werden, wobei die Maschinengenauigkeit Grenzen setzt. 

also eine Gleichung, die nach ψ n+1 – den in einer Iteration jeweils nächsten zu berechnenden 

Wert – aufgelöst werden kann: 

ψ n+1 

≃ 2ψ n (1 − 5h2 

12 k n) − ψ n−1 (1 + h2 

12 k n−1) 

1 + h2 

12 k n+1 

(2.53) 

Das Numerov-Verfahren ist also eine zweistufige lineare Iteration. Als Anfangsbedingungen 

wählt man 

ψ 0 = 1, ψ 1 = 1 

für symmetrische Lösungen 

ψ 0 = 0, ψ 1 = h für antisymmetrische Lösungen (2.54) 

Die erste Anfangsbedingung beschreibt eine symmetrische Lösung mit ψ(0) = 1 und 

ψ ′ (0) = 0 während die zweite Anfangsbedingung eine Lösung mit ψ(0) = 0 und der 

Steigung ψ ′ (0) = 1 beschreibt. Mit diesen Anfangsbedingungen generiert der Algorithmus 

eine approximative Lösung der Schrödingergleichung, die anschließend noch normiert 

werden muss. Man beachte außerdem, dass die erzeugten ψ n reell sind. Das ist nicht 

überraschend, da die zeitunabhängige Schrödingergleichung kein i mehr enthält, also 

selbst reell ist und damit reelle Lösungsfunktionen zulassen muss. 

Woraus ergibt sich aber nun die Quantisierung der Energie E in Potentialen wie z.B. in 

Gl. (2.43)? Hier kommt die Randbedingung ins Spiel, derzufolge die Wellenfunktion für 

große x verschwinden muss, weil dort die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zu finden gegen 

Null geht: 

lim ψ(x) = 0 . (2.55) 

x→±∞ 

Da das Numerov-Verfahren als solches diese Randbedingung nicht kennt, kommt es zu 

einer Verletzung der Randbedingung, sobald die Energie E nicht genau auf einen Eigenwert 

eingestellt ist, und zwar divergiert in diesem Fall ψ n für große n exponentiell. In der 

Praxis ist es auf einem Computer sogar unmöglich, den Eigenwert genau zu treffen: Jede 

geringste Abweichung in den Nachkommastellen wird irgendwann so stark verstärkt, dass 

ψ n exponentiell divergiert. 

Allerdings ändert sich das Vorzeichen der Divergenz in Abhängigkeit von E. Für Energien 

unterhalb der Grundzustandsenergie 0 < E < E 0 strebt ψ n → +∞, im Intervall 



E 0 < E < E 1 dann nach −∞, im nächsten Intervall wieder nach +∞ und so fort. 

Man kann dieses alternierende Vorzeichen benutzen, um so die Eigenwerte sukzessive zu 

approximieren (siehe Abb. 2.4). 

Bemerkung: Die approximative Bestimmung der Eigenwerte geschieht ähnlich wie die 

numerische Bestimmung von Nullstellen einer Funktion. Sei dazu sgn(E) das Vorzeichen der 

Divergenz in Abhängigkeit von E. Zunächst wählt man ein Energieintervall [E min, E max], 

in dem genau ein Vorzeichenwechsel stattfindet, d.h. sgn(E min) = −sgn(E max). Dieses 

Intervall wird halbiert bei E c 

:= (E min + E max)/2 und das Vorzeichen an dieser Stelle 

ermittelt. Ist sgn(E min) = sgn(E c), so liegt der Eigenwert nicht in der linken Hälfte und 

wir setzen E min := E c, andernfalls setzen wir E max := E c. Dieser Prozess wird so lange 

wiederholt, bis die Größe des Intervalls die Maschinengenauigkeit erreicht. 

Der eindimensionale harmonische Oszillator eignet sich hervorragend, um die abgeschätzten 

Energieeigenwerte zu überprüfen. Für gerade Wellenfunktionen erwartet man die 

Eigenwerte 1 2 , 5 2 , 9 2 , . . . und entsprechend für die ungeraden Wellenfunktionen 3 2 , 7 2 , 11 2 . . . . 

2.2.5 Zeitabhängige Schrödingergleichung – Modenzerlegung 

Im vorherigen Abschnitt haben wir die stationären Lösungen der Schrödingergleichung 

bestimmt, bei denen die Wahrscheinlichkeitsdichte, also das Betragsquadrat der Wellenfunktion, 

zeitunabhängig ist. Noch interessanter ist es aber, die zeitabhänige Schrödingergleichung 

i ˙ψ(x, t) = ( − 2 

2m ∇2 + V (x) ) ψ(x, t) . (2.56) 

mit einem gegebenen Anfangszustand ψ(x, t)| t=0 := ψ(x, 0) zu untersuchen. Was passiert 

mit einem Teilchen, das als Wellenpaket mit einem bestimmten mittleren Impuls dem 

Potential ausgesetzt wird? Wird es näherungsweise schwingen wie ein klassisches Teilchen? 

Wie wird es an den Potentialwänden reflektiert? Eine numerische Methode, mit 

der diese Fragen beantwortet werden können, ist die sogenannte Modenzerlegung. Diese 

Methode setzt voraus, dass das zuvor behandelte stationäre Problem lösbar ist, dass also 

die Energieeigenwerte E i und die dazugehörigen stationären Wellenfunktionen ψ i (x) zur 

Verfügung stehen. Eine andere Methode, die von dieser Voraussetzung unabhängig ist, 

wird im folgenden Abschnitt besprochen. 

Methode der Modenzerlegung 

Die Methode der Modenzerlegung 3 (engl. mode decomposition) funktioniert folgendermaßen. 

Wiederum beschränken wir uns weiterhin auf ein Teilchen in einem eindimensionalen 

Potential und setzen voraus, dass das stationäre Eigenwertproblem Hψ = Eψ 

gelöst ist, dass also die Eigenfunktionen ψ n (x) und die dazugehörigen Energieeigenwerte 

E n bekannt sind. Die Idee besteht nun darin, dass man den Anfangszustand ψ(x, 0) als 

Linearkombination der Eigenfunktionen 

ψ(x, 0) = ∑ n 

a n ψ n (x) (2.57) 

3 Unter einer Mode versteht man in der Physik eine Eigenfunktionen, man spricht z.B. von den Schwingungsmoden 

eines mechanischen Systems. Eine Nullmode ist eine Eigenfunktion zum Eigenwert Null. 



mit zu bestimmenden Koeffizienten a n ∈ C darstellt. Weil die Zeitabhängigkeit jeder 

Eigenfunktion (vgl. Gl. (2.41)) durch ψ(⃗x, t) = e −iωt ψ(⃗x) gegeben ist, ist dann die volle 

zeitabhängige Lösung durch 

ψ(x, t) = ∑ n 

a n e −iωnt ψ n (x) (2.58) 

gegeben, wobei E n = ω n ist. Diese Lösung erfüllt automatisch die Randbedingungen, 

da bereits jede der stationären Wellenfunktionen die Randbedingungen respektiert. Hat 

man also die Koeffizienten a n bestimmt, so steht einem sofort die zeitabhängige Lösung 

in Form einer Summe bzw. Reihe über die Eigenmoden zur Verfügung. 

Bestimmung der Koeffizienten a n 

Gl. (2.57) kann als lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a n interpretiert werden. 

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist allerdings sehr einfach. Da H 

hermitesch ist, sind nicht nur die Eigenwerte reell, sondern auch die (normierten) Eigenvektoren 

paarweise orthogonal: 4 

Daraus folgt 

∫ +∞ 

−∞ 

dx ψ ∗ n(x)ψ m (x) = δ n,m . (2.59) 

∫ +∞ 

−∞ 

dx ψ ∗ (x, 0)ψ m (x) = ∑ n 

∫ +∞ 

−∞ 

dx a n ψ ∗ n(x)ψ m (x) = ∑ n 

a n δ n,m , (2.60) 

also 

a n = 

∫ +∞ 

−∞ 

dx ψ ∗ (x, 0)ψ n (x) . (2.61) 

Beispiel Potentialtopf 

Wir demonstrieren nun die Modenzerlegung am Beispiel des eindimensionalen unendlich 

hohen Potentialtopfs 

{ 

0 falls |x| < 

1 

2 

V (x) = 

. (2.62) 

∞ falls |x| ≥ 1 2 

Die Eigenfunktionen lauten 

ψ n (x) = 

{ √ 

2 cos(nπx) wenn n ungerade 

√ 

2 sin(nπx) wenn n gerade 

(2.63) 

mit den dimensionslosen Eigenenergien 

E n = n 2 π 2 n = 1, 2, . . . . (2.64) 

4 Der Einfachheit halber nehmen wir hier an, dass keine Entartungen vorliegen. Bei Entartungen sind die 

Eigenvektoren in den entsprechenden Unterräumen zu orthogonalisieren, z.B. mit dem Schmidt’schen 

Verfahren. 



Die Eigenfunktionen sind reell, so dass man nicht komplex konjugieren muss. Bestimmt 

man mit Hilfe von Gl. (2.61) die Koeffizienten a n , so ist die zeitabhängige Lösung durch 

ψ(x, t) = 

+ 

∞∑ 

a 2m exp ( −iπ 2 (2m) 2 t ) sin ( 2mπx ) 

m=1 

∞∑ 

a 2m−1 exp ( −iπ 2 (2m − 1) 2 t ) cos ( (2m − 1)πx ) 

m=1 

gegeben, wobei gerade und ungerade Anteile getrennt wurden. In der Praxis bestimmt 

man allerdings nicht unendlich viele Koeffizienten a n , sondern bricht die Reihe nach 

einem bestimmten n max ab und approximiert auf diese Weise den Anfangszustand durch 

eine Superposition endlich vieler Fourier-Moden. Im folgenden Mathematica R○ -Fragment 

werden beispielsweise die ersten 25 Moden eines Wellenpakets berücksichtigt: 

psi[n_, x_] := Sqrt[2]*If[EvenQ[n], Sin[n Pi x], Cos[n Pi x]]; 

Energie[n_] := n^2 Pi^2; 

sigma = 0.03; k = 10; nmax = 25; 

psi0[x_] := E^(I k x) E^(-(x^2/(2 sigma^2))); 

Do[a[n] = Integrate[psi0[x]*psi[n, x], {x, -(1/2), 1/2}], {n, 1, nmax}]; 

Psi[x_, t_] := Sum[(a[n]*psi[n, x])*E^(I*Energie[n]*t), {n, 1, nmax}]; 

Plot3D[Abs[Psi[x, t]]^2, {x, -(1/2), 1/2}, {t, 0, 0.022}, 

PlotRange -> All, PlotPoints -> 30] 

In diesem Beispiel wurde die Anfangsbedingung 

ψ(x, 0) = e ikx e − 1 

2σ 2 x2 (2.65) 

benutzt. Der zweite Faktor beschreibt ein bei x = 0 zentriertes Wellenpaket in Form 

einer Gausßglocke mit der Breite σ. Durch Multiplikation mit einer ebenen Welle (erster 

Faktor) bekommt das Teilchen einen Impuls p = k, also eine Geschwindigkeit v = k/m. 

Mit Hilfe der Modenzerlegung lässt sich also untersuchen, wie ein solches Wellenpaket, 

das als quantenmechanisches Pendant eines lokalisierten klassischen Teilchens aufgefasst 

werden kann, an der Wand des Potentialtopfs reflektiert wird. 

Die Ausgabe des oben angegebenen Codes ist in Abb. 2.5 zu sehen. Es ist erstaunlich, 

dass ein so einfaches Problem derart komplexe Lösungen besitzt. Klar zu erkennen ist das 

anfängliche Wellenpaket bei t = 0. Weil verschiedene Fourier-Komponenten dieses Wellenpakets 

mit verschiedenen Geschwindigkeiten propagieren, zerfließt dieses Wellenpaket 

und wird schließlich durch ein Interferenzphänomen an den Wänden reflektiert. 

2.2.6 Zeitabhängige Schrödingergleichung – Numerische Integration 

Die zuvor beschriebene Methode der Eigenmodenzerlegung setzt zum einen voraus, dass 

man die Eigenfunktionen der stationären Schrödingergleichung kennt und zum zweiten, 

dass man die Anfangsbedingung in diesen Eigenfunktionen entwickeln kann, also das 

lineare Problem auf praktische Weise lösbar ist. Nur wenige Beispiele, unter ihnen der 



Abbildung 2.5: Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung mit Hilfe der Modenzerlegung für ein 

freies Teilchen in einem Potentialtopf, das anfangs als Wellenpaket mit einem Impuls 

in der Mitte des Topfes platziert wird. 

Potentialtopf und der harmonische Oszillator, lassen sich so behandeln. Um allgemeinere 

Probleme zu behandeln sind numerische Verfahren erforderlich, mit der die Zeitentwicklung 

in diskretisierter Form direkt konstruiert wird. 

Direkte Bestimmung mit Mathematica R○ 

Die neueren Versionen von Mathematica R○ 

Differentialgleichungen direkt zu lösen 

sind in der Lage, bestimmte lineare partielle 

Man erhält eine Interpolationsfunktion, also eine Menge diskreter Punkte, die untereinander 

durch geeignete interpolierende Kurvensegmente verbunden sind. Eine 3D-Ausgabe 

wie in Abb. 2.5 erhält man dann mit dem Befehl 

Plot3D[Abs[f[t, x] /. erg[[1]]]^2, {x, -(1/2), 1/2}, {t, 0, 0.022}, 

PlotPoints -> 100, PlotRange -> {0, 1}] 

Der Vorteil einer solchen direkten Bestimmung ist die einfache Bedienung. Demgegenüber 

steht eine gewisse Undurchschaubarkeit der internen Abläufe und damit eine erschwerte 

Beurteilung der Ergebnisse. 



Abbildung 2.6: Integration der zeitabhängigen Schrödingergleichung in einem eindimensionalen Potentialtopf. 

Links: Bei Vorgabe einer Anfangsbedingung (rot) und einer Randbedigung 

(blau) beschreibt die Schrödingergleichung die Zeitentwicklung der Wellenfunktion 

(gelber Farbverlauf). Rechts: Diskretisierung des Problems auf einem Rechner. 

Die diskretisierte Differentialgleichung setzt sechs benachbarte Stützstellen, die wie 

ein 3x2-Legostein angeordnet sind, in eine lineare Beziehung. Dieser ‘Legostein’ kann 

beliebig verschoben werden. 

Unitärer Integrationsalgorithmus 

Wie integriert man die dimensionslose Schrödingergleichung 

i∂ t ψ(x, t) = (−∂ 2 x + V (x))ψ(x, t) (2.66) 

numerisch? Zunächst diskretisiert man die Wellenfunktion 

ψ(x, t) −→ ψ j←Ortsindex 

n←Zeitindex := ψ(j dx, n dt) (2.67) 

wobei dx = 1/N und dt die (nicht-infinitesimalen) Diskretisierungsintervalle in Raum 

und Zeit sind. Dabei laufe der Ortsindex j von 0 bis N, man hat also N + 1 Stützstellen 

pro Reihe. 

Danach ist die DGL auf geeignete Weise zu diskretisieren. Der erste cheap guess wäre 

die Ersetzung der partiellen Ableitungen durch 

∂ t ψ(x, t) −→ ψj n+1 − ψj n 

+ O(dt 2 ) (2.68) 

dt 

∂xψ(x, 2 t) −→ ψj+1 n − 2ψn j + ψn 

j−1 

dx 2 + O(dx 3 ) (2.69) 

Die so diskretisierte DGL verknüpft die Stützstellen (n, j), (n + 1, j), (n, j ± 1) und 

(n + 1, j ± 1), gleitet also wie ein 3x2 Legostein über das Gitter (siehe Abb. 2.6). Diese 

naive Herangehensweise führt aber zu erheblichen Problemen: 

(a) Im Gegensatz zu den am Anfang dieses Kapitels behandelten gewöhnlichen Differentialgleichungen 

liegt hier kein reines Anfangswert, sondern ein kombiniertes 

Anfangs- und Randwertproblem vor (siehe Abb. 2.6). Um eine neue horizontale 

Reihe zu berechnen, die aus N + 1 Stützstellen von 0..N numerierten Punkten besteht, 

kann dieser Legostein N − 2 Positionen einnehmen; da man also nur N − 1 



Gleichungen pro Zeitschritt zur Verfügung hat, müssen zwei Werte vorgegeben werden, 

und dies geschieht durch die Dirchlet-Bedingung ψj 0 = ψN j = 0 am linken und 

am rechten Rand. Das Problem besteht darin, dass die beiden Stützstellen weit 

voneinander entfernt sind, man kann deshalb nicht die neue Reihe durch einfaches 

Rastern von links nach rechts erzeugen. 

(b) Die Schrödingergleichung −iψ(x, t) = Hψ(x, t) hat die besondere Eigenschaft, 

dass die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) = ψ(x, t)ψ ∗ (x, t) mit ∫ ∞ 

−∞ 

dx ρ(x, t) = 1 

normiert bleibt. Diese Normierung hat den Rang einer Erhaltungsgröße und wird 

durch die Hermitezität des Hamiltonoperators H = H † gewährleistet. In der formalen 

Lösung für einen endlichen Zeitschritt 

ψ(x, t + dt) = U(dt)ψ(x, t) mit U(dt) = exp(−iHt) (2.70) 

entspricht dieser Eigenschaft die Unitarität des Zeitentwicklungsoperators U, d.h. 

UU † = U † U = 1. Beim Euler-Verfahren werden nun die höheren Terme der Exponentialfunktion 

vernachlässigt, also 

U(dt) = exp(−iHt) ≃ (1 − iHdt) + O(dt 2 ). (2.71) 

Wie man sich aber leicht überzeugen kann, ist diese Taylornäherung nicht unitär, 

denn (1−iHdt)(1−iHdt) † = 1−H 2 dt 2 ≠ 1. Folglich wird die Normierung während 

der Integration weglaufen und zu ernsthaften Schwierigkeiten führen. Ähnliches gilt 

auch für andere Runge-Kutta-Verfahren. 

Wir benötigen also einen speziellen Algorithmus, der diese beiden Probleme löst (siehe 

[1]). Das Problem der Wahrscheinlichkeitserhaltung bekommt man dadurch in den 

Griff, dass man die exakte Zeitentwicklung in zwei Halbschritte aufteilt und diese dann 

separat entwickelt: 

exp(−iHdt) = ( exp(iHdt/2) ) −1 exp(−iHdt/2) (2.72) 

≃ (1 + iHdt/2) −1 (1 − iHdt/2) + O(dt 3 ) , (2.73) 

also U(dt) ≃ A −1 A † mit A = 1 + iHdt/2. Wegen [A, A † ] = 0 gilt 

UU † = (A −1 A † ) † (A −1 A † ) = A(A −1 ) † A −1 A † = (A −1 ) † AA −1 A † = 1. (2.74) 

d.h. der so konstruierte diskrete Zeitschritt ist exakt unitär, also auf dem Rechner nur 

durch die Maschinengenauigkeit begrenzt. Schließlich kann man die inverse Matrix in der 

Gleichung U(dt) ≃ A −1 A † durch Multiplikation mit A von links loswerden und erhält 

AUψ = A † ψ, also ein lineares Gleichungssystem der Form 

(1 + iHdt/2)ψ j n+1 = (1 − iHdt/2)ψj n . (2.75) 

Das Problem der Randbedingungen löst man folgendermaßen. Man diskretisiert zunächst 

den Hamiltonoperator durch 

(Hψ) j n = − 1 

dx 2 (ψj+1 n − 2ψn j + ψn j−1 + V j ψn) j (2.76) 

und setzt das Ergebnis in die Formel (2.75) ein. Man erhält 

( 

ψ j+1 

n+1 + 2i dx2 

) 

dt − V j dx 2 − 2 ψ j n+1 + ψj−1 n+1 = (2.77) 

−ψn j+1 + 

(2i dx2 

) 

dt + V j dx 2 + 2 ψn j − ψn j−1 . 



Bezeichnet man die rechte Seite dieser Gleichung als Ω n j und interpretiert man den oberen, 

also den räumlichen Index als Komponente eines N + 1-dimensionalen Vektors, so lässt 

sich diese Gleichung kompakt in der Form 

T ⃗ ψ n+1 = ⃗ Ω n (2.78) 

schreiben, wobei T eine tridiagonale (N + 1) × (N + 1)-Matrix ist. Um das Problem zu 

lösen, muss T invertiert werden. Dafür gibt es in der linearen Algebra Standardverfahren, 

die auf folgende Weise algorithmisch umgesetzt werden: 

Zunächst beginnt man mit einem linearen Ansatz 

ψ j+1 

n+1 = aj ψ j n+1 + bj n (2.79) 

für alle zulässigen n, j mit Koeffizienten a j und b j n, die man als einen zeitunabhängigen 

Vektor ⃗a und einen zeitabhängigen Vektor ⃗ b n interpretieren kann. Einsetzen dieses 

Ansatzes in Gl. (2.77) führt auf 

[ 

] −1 

ψ j n+1 = 2 + V j dx 2 − 2i dx2 [ 

] 

dt − aj ψ j−1 

n+1 + bj n − Ω j n . (2.80) 

Diese Gleichung ist linear in ψ j n+1 

wir den Index von j nach j − 1: 

und ψj−1 n+1 . Um sie mit Gl. (2.79) zu vergleichen, shiften 

ψ j n+1 = aj ψ j−1 

n+1 + bj−1 n (2.81) 

Durch einen Koeffizientenvergleich dieser beiden Gleichungen gelangt man zu 

a j = 2 + V j dx 2 − 2i dx2 

dt − 1 

a j−1 (2.82) 

b j = Ω j n + bj−1 n 

. (2.83) 

aj−1 Es handelt sich dabei um zwei Rekursionsformeln. Die erste ist autonom und ermöglicht 

die Bestimmung von a j . Die zweite Rekursionsformel setzt dieses Ergebnis voraus 

und ermöglicht damit die Bestimmung von b j n. Was noch fehlt ist die Verankerung der 

Rekursion, also Werte für a 1 und b 1 n. 

Um diese Werte zu erhalten, setzt man den Legostein an den linken Rand und nutzt aus, 

dass ψ 0 n = 0 ist. Die entsprechende Gleichung lautet 

ψn+1 2 + 

(2i dx2 

) 

dt − V 1 dx 2 − 2 ψn+1 1 = Ω 1 n. (2.84) 

Ein enerneuter Vergleich mit dem Ansatz liefert 

a 1 = 2 + V 1 dx 2 − 2i dx2 

dt , b1 n = Ω 1 n. (2.85) 

Mit diesen Startwerten können alle a j und b j n rekursiv berechnet werden. Die gesuchte 

Wellenfunktion ist dann durch 

ψ j n+1 = ψj+1 n+1 − bj n 

a j (2.86) 



gegeben. Es handelt sich hier ebenfalls um eine Rekursionsformel, die aber im Gegensatz 

zu den vorherigen Rerkursionsformeln von rechts nach links läuft und am rechten Rand 

mit ψn 

N = 0 verankert ist. Durch die gegenläufigen Rekursionen wird gewissermaßen eine 

Kommunikation der beiden Ränder ermöglicht. 

Ein C++-Programm könnte folgendermaßen aussehen. Zunächst benötigt man eine Funktion, 

die aus dem aktuellen ⃗ ψ den aktuellen Vektor ⃗ Ω berechnet: 

void BerechneOmega (void) 

{ 

for (int j=2; j


von der Wellenzahl ab. Da ein Wellenpaket eine Superposition von Anteilen mit verschiedener 

Wellenzahl ist, besteht es aus Komponenten mit verschiedenen Geschwindigkeiten, 

die folglich auseinanderlaufen. Je stärker das Teilchen am Anfang lokalisiert ist, desto 

größer ist die Unschärfe im Impuls, also in der Geschwindigkeitsvariation der sich überlagernden 

Bestandteile. 

Lichtblitze zerfließen nicht, da die Gruppengeschwindigkeit von Licht im Vakuum unabhängig 

von der Wellenzahl immer gleich c ist. Alle überlagerten Komponenten bewegen 

sich also gleich schnell. 

2.3 Aufgaben 

Aufgabe 2.1 

(Einfaches Beispiel einer Runge-Kutta-Integration) 

Betrachten Sie einen Spiegel, der ein von rechts entlang der x-Achse einfallendes paralleles 

Licht exakt in den Ursprung des Koordinatensystems reflektiert. Der Spiegel schneidet 

die y-Achse bei (x, y) = (0, 1). 

a) Bestimmen Sie die Differentialgleichung und lösen Sie das Problem analytisch. Wegen 

der Radialsymmetrie kann man sich dabei auf die xy-Ebene beschränken. 

b) Schreiben Sie ein C-Programm. das eine Euler-Iteration von x=0 bis x=1 durchführt. 

c) Führen Sie das Programm für Schrittweiten h=1, 0.1, 0.01 und 0.001 aus und 

bestimmen Sie den absoluten Fehler im Vergleich zum analytischen Ergebnis. 

d) Wiederholen Sie b) und c) mit einem Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung. 

Aufgabe 2.2 (Vergleich verschiedener Runge-Kutta-Verfahren) 

Gegeben sei die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung 

ẏ(t) = −y(t) 3 

mit der Anfangsbedingung y(0) = 1. 

(a) Lösen Sie die Differentialgleichung analytisch. Wie groß ist y(4) ? 


2.3 Aufgaben 33 

(b) Iterieren Sie die DGL mit den Verfahren RK1 (=Euler), RK2 und RK4. Tragen 

Sie die gemessenen Abweichungen vom analytischen Resultat zur Zeit t = 4 als 

Funktion der Schrittweite h doppellogarithmisch auf (bitte Grafikdatei abgeben). 

Aufgabe 2.3 

(Runge-Kutta-Integration eines Pendels) 

Integrieren Sie mit Hilfe des Runge-Kutta-Verfahrens zweiter Ordnung die Bewegungsgleichung 

eines Pendels 

¨ϕ(t) + sin ϕ(t) = 0. 

• (a)] Bestimmen Sie mit einer hinreichend kleinen konstanten Schrittweite h die 

Schwingungsperiode T eines anfänglich horizontal ausgelenkten Pendels, d.h. 

˙ϕ(0) = 0, 

ϕ(0) = π/2. 

(b) Numerische Fehler des Runge-Kutta-Algorithmus führen zu einer Verletzung der 

Energieerhaltung. Vergleichen Sie die Energien (hier E = 1 2 ˙ϕ2 − cos ϕ) zum Startzeitpunkt 

(horizontal ausgelenkt) und nach einer Schwingungsperiode und tragen 

Sie die festgestellte Energiedifferenz grafisch als Funktion der Schrittweite h doppellogarithmisch 

auf. 

(c) Starten Sie nun das Pendel in der Nähe des oberen Totpunkts ϕ(0) = π − ɛ und 

finden Sie numerisch heraus, wie die Schwingungsperiode T im Limes ɛ → 0 divergiert. 

Passen Sie dazu die Schrittweite während der Iteration dynamisch an und 

begründen Sie Ihr Vorgehen. 

Aufgabe 2.4 

(Lorenz-Attraktor (Vorübung zu chaotischen Systemen)) 

Gegeben sei das folgende nichtlineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung 

Ẋ(t) = a(Y (t) − X(t)) 

Ẏ (t) = X(t)(b − Z(t)) − Y (t) (2.87) 

Ż(t) = X(t)Y (t) − cZ(t) 

mit den Konstanten a = 10, b = 28, c = 8/3. 

a) Schreiben Sie ein Programm lorenz.cc, das dieses System mit der Runge-Kutta- 

Methode zweiter Ordnung integriert und während der Integration die Werte von 

X(t) und Z(t) in eine Datei mit dem Namen kurve.dat schreibt. 

b) Lassen Sie dieses Programm mit der Anfangsbedingung X(0) = Y (0) = Z(0) = 

0.001 und der Schrittweite h = 0.01 bis zur Zeit t = 100 laufen. 

c) Stellen Sie die in kurve.dat gespeicherte Kurve mit Hilfe eines Grafikprogramms, 

z.B. mit xmgrace dar. Abgabe: Grafikdatei, z.B. kurve.jpg 

d) Wiederholen Sie nun Teil b) mit der ’infinitesimal’ geänderten Anfangsbedingung 

X(0) = Y (0) = Z(0) = 0.001000000001 und untersuchen Sie, wie sich das Ergebnis 

ändert. Zu welcher Zeit t ist die Abweichung dem Betrag nach zum ersten Mal 

größer als 1 ? 



Aufgabe 2.5 

(Leapfrog-Algorithmus) 

Zeigen Sie, dass das in Gl. (2.30) beschriebene leapfrog-Iterationsverfahren im Gegensatz 

zur formal sehr ähnlichen Euler-Iteration ein Verfahren zweiter Ordnung ist. Zeigen Sie 

außerdem, dass dieser Algorithmus symplektisch ist, also das differentielle Phasenraumvolumen 

bei einem Iterationsschritt exakt erhalten bleibt. 

Aufgabe 2.6 

(Fehlerbestimmung eines Mehrschrittverfahrens) 

Schreiben Sie ein Programm zur Integration der gewöhnlichen Differentialgleichung 

ẏ(t) = −y(t) 

mit der Anfangsbedingung y(0) = 1 mit Hilfe des Dreischrittverfahrens nach Adams und 

Bashforth (siehe Gl. 2.32): 

y j+1 

( 23 

= y j + h 

12 f(x j, y j ) − 16 

12 f(x j−1, y j−1 ) + 5 ) 

12 f(x j−2, y j−2 ) 

Untersuchen Sie mit diesem Programm die Abweichungen von der analytischen Lösung 

in Abhängigkeit von der Schrittweite. Welche Fehlerordnung besitzt das Verfahren, d.h. 

mit welcher Potenz von h skaliert der Fehler? 

Aufgabe 2.7 

(Spektrum des Wasserstoffatoms) 

Die dreidimensionale zeitunabhängige Schrödingergleichung ( − 2 

2m ∇2 + V (r) ) ψ(⃗x) = 

Eψ(⃗x) geht mit dem Produktansatz ψ(⃗x) = u(r) 

r 

Y (θ, φ) in die Radialgleichung 

[ 

∂r 2 l(l + 1) 

− 

r 2 + 2m ( )] 

2 E − V (r) u(r) = 0 

über. Dabei ist l = 0, 1, 2, . . . die Drehimpulsquantenzahl, {r, θ, φ} sind Kugelkoordinaten 

und Y (θ, φ) bezeichnet die sogenannten Kugelflächenfunktionen Y l,m . Ziel ist der Aufgabe 

ist es, die dimensionslose Radialgleichung im Coulomb-Potential V (r) = −1/r, d.h. 

mit Hilfe des Numerov-Verfahrens zu lösen. 

[ 

∂r 2 l(l + 1) 

− 

r 2 + 2 ] 

r + 2E u(r) = 0 

(a) Betrachten Sie den Fall l = 0 (s-Orbitale). Wie verhält sich die Wellenfunktion u(r) 

für r → 0, wenn 2E gegenüber dem Potentialterm vernachlässigt werden kann? 

Lösen Sie dazu die DGL für E = 0 mit Mathematica R○ und führen Sie eine Taylor- 

Entwicklung erster Ordnung um r = 0 durch (z.B. mit dem Befehl Series[]). 

(b) Schreiben Sie ein Programm zur Integration der dimensionslosen Radialgleichung 

nach dem Numerov-Verfahren mit der Diskretisierung r n = hn, indem Sie die Stützstellen 

u 1 , u 2 gemäß der in (a) ermittelten Näherung initialisieren. Bestimmen Sie 

die ersten vier Energieeigenwerte. 



Betrachten Sie danach den Fall l = 1, 2, 3 (pdf-Orbitale). Wie Sie sehen werden, ist in 

diesem Fall der Schritt (a) in Aufgabe 6 nicht mehr durchführbar 5 . Um dieses Problem 

zu umgehen, startet man die Integration für große r und iteriert dann mit dem Numerov- 

Verfahren rückwärts von rechts nach links. 

(a) Berechnen Sie zunächst, wie die Wellenfunktion u(r) für große r → ∞ abfällt. 

(b) Initialisieren Sie nun die beiden letzten Stützstellen u N−1 und u N−2 gemäß dieser 

asymptotischen Lösung. 

(c) Iterieren Sie rückwärts von n = N − 3 bis n = 1 und bestimmen Sie das Vorzeichen 

von u 1 . Ähnlich wie beim Vorwärtsalgorithmus wechselt dieses Vorzeichen, sobald 

E einen Eigenwert passiert. Bestimmen Sie mit diesem Kriterium die ersten 4 − l 

Energieeigenwerte. 

5 Zwar geht die Wellenfunktion für r → 0 immer noch gegen Null, oszilliert dabei aber auf ungewöhnliche 

weise, wobei die Nullstellen wie log(r) angeordnet sind. In diesem Fall lässt sich eine Taylor-Näherung 

wie in Aufgabe 6a nicht mehr durchführen. 


3 Chaos 

Chaos (griechisch χαoζ) bezeichnet einen Zustand vollständiger Unordnung und steht 

damit im Gegensatz zu Kosmos, dem griechischen Begriff für Ordnung. 

In der klassischen Physik benutzt man diesen Begriff im Zusammenhang mit nichtlinearen 

dynamischen Systemen, welche die Eigenschaft haben, dass kleine Änderungen in 

den Anfangsbedingungen exponentiell verstärkt werden, so dass solche Änderungen schon 

nach kurzer Zeit einen makroskopischen und in der Regel nicht vorhersagbaren Effekt haben. 

Diese unvorhersehbare Reaktion auf kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen 

wird in der populären Literatur oft als Schmetterlingseffekt bezeichnet: Bereits der Flügelschlag 

eines Schmetterlings reicht demnach aus, um das zukünftige Wettergeschehen 

global zu verändern. 

Bei der Untersuchung chaotischer Systeme unterscheidet man im wesentlichen zwei Forschungsgebiete: 

• Deterministisches Chaos: 

Hier untersucht man klassische chaotische Systeme, die einer deterministischen 

Zeitentwicklung gehorchen. Dazu gehören nichtlineare Bewegungsgleichungen und 

iterative chaotische Abbildungen, aber auch Modellsysteme, deren Geometrie der 

Randbedingungen zu einem chaotischen Verhalten führen. 

• Quantenchaos: 

Diese Forschungsrichtung befasst sich mit Quantensystemen, die im klassischen 

Grenzfall chaotisch wären. Dabei stellt man die Frage, wie sich diese chaotischen 

Eigenschaften im Verhalten des Quantensystems niederschlagen, fragt also nach 

den Signaturen des Chaos im Rahmen der Quantenmechanik. 

Die unterschiedliche Herangehensweise lässt sich am besten am Beispiel eines sogenannten 

Billards illustrieren (siehe Abb. 3.1). Unter einem Billard (engl. billiard) versteht 

man in der Chaosforschung eine Wand mit einer vorgegebenen Form, an der Teilchen 

Abbildung 3.1: Deterministische Trajektorie eines Teilchens in einem Stadion-Billard. 


38 Chaos 

Abbildung 3.2: Quantenbillard: Hochangeregte Lösungen der stationären Schrödingergleichung in einem 

Stadionbillard mit Dirichlet-Randbedingungen. 

nach der üblichen Regel “Einfallswinkel=Ausfallswinkel” reflektiert werden. Schon bei 

einem Billard, das die Form eines Fußballstadions hat, ist die Trajektorie eines solchen 

Teilchens im allgemeinen hochgradig irregulär. Die Klassifikation solcher Bahnen wäre 

eine mögliche Fragestellung im Rahmen des deterministischen Chaos. 

Als quantenmechanisches Pendant betrachtet man einen unendlichen Potentialtopf, der 

die Form des Billards hat, löst also die stationäre Schrödingergleichung mit der Randbedingung 

ψ(x, t) = 0 auf dem Rand des Billards. Die Grundzustandswellenfunktion und 

die ersten angeregten Zustände mit niedriger Energie lassen zunächst nicht erkennen, 

ob das entsprechende klassische System chaotisch ist, sie sehen optisch wie “normale” 

Wellenfunktionen aus. Die hochangeregten Zustände (siehe Abb. 3.2) lassen jedoch leicht 

erkennen, ob das betreffende System chaotisch ist oder nicht. Dabei gilt folgende Faustregel: 

Nichtchaotische Systeme haben meist hochsymmetrische Wellenfunktionen, während 

chaotische Systeme wie Quantenbillards durch Wellenfunktionen mit einer irregulären 

Struktur gekennzeichnet sind. 

Quantenchaos lässt sich auch am Spektrum des Hamiltonoperators erkennen. Dabei untersucht 

man vor allem die statistische Verteilung der Differenzen ∆E i = E i+1 −E i aufeinanderfolgender 

Energieeigenwerte. Nichtchaotische Systeme verhalten sich so, als wären 

die Energieniveaus statistisch unabhängig voneinander, d.h. man erhält eine Poisson- 

Verteilung. In chaotischen Systemen scheinen sich dagegen die Energieniveaus gegenseitig 

abzustoßen, so dass man andere Statistiken erhält. Der Unterschied tritt besonders auffällig 

zutage, wenn das Spektrum von einem Parameter (z.B. dem Längenverhältnis der 

Billardseiten) abhängt. Bei Variation dieses Parameters beobachtet man in einem nichtchaotischen 

System Niveaukreuzungen (engl. level crossings), in chaotischen Systemen 

dagegen eine Niveauabstoßung (engl. level repulsion). 

Es stellt sich heraus, dass die Statistik der Energiedifferenzen nicht von den Details des 

jeweils untersuchten chaotischen Systems abhängt, sondern nur von dessen Symmetrien, 

insbesondere der Zeitumkehrinvarianz. Die gleichen Statistiken erhält man auch, wenn 

man völlig zufällige Matrizen mit diesen Symmetrieeigenschaften auswürfelt und deren 

Eigenwertdifferenzen untersucht. Auf diese Weise unterscheidet man verschiedene Uni- 


3.1 Chaotische mechanische Systeme 39 

versalitätsklassen wie z.B. das Gaußsche orthogonale Ensemble (GOE) und das Gaußsche 

unitäre Ensemble (GUE). Die Theorie der Zufallsmatrizen ist ein eigenes Teilgebiet des 

Quantenchaos, auf das hier nicht näher eingegangen werden soll. Vielmehr wollen wir 

uns im folgenden auf einfache klassische Systeme aus der Mechanik beschränken. 

Wie wir sehen werden, gibt es auch Systeme mit gemischten Eigenschaften, die in bestimmten 

Bereichen ihres Phasenraums chaotisch, in anderen dagegen nichtchaotisch 

sind. 

3.1 Chaotische mechanische Systeme 

3.1.1 Mimimale Phasenraumdimension 

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit mechanischen Systemen befassen, die eine chaotische 

Dynamik aufweisen. Solche Systeme können wie üblich im Rahmen der Lagrangeschen 

oder Hamiltonschen Mechanik beschrieben werden. Dabei haben die Hamiltonschen 

Bewegungsgleichungen 

˙q i = ∂H(p 1, . . . , p N , q 1 , . . . , q N ) 

∂p i 

, ṗ i = − ∂H(p 1, . . . , p N , q 1 , . . . , q N ) 

∂q i 

(3.1) 

als Differentialgleichungen erster Ordnung in der Zeit den Vorteil, dass man sich die 

Dynamik als eine Trajektorie im 2N-dimensionalen Phasenraum vorstellen kann, die 

dem durch die partiellen Ableitungen von H gegebenen Vektorfeld 

( ) ( ) 

d ⃗q ∇p 

= H (3.2) 

dt ⃗p −∇ q 

folgt, d.h. jedem Punkt im Phasenraum ist eine eindeutige Richtung zugeordnet, entlang 

der sich die Trajektorie bei fortschreitender Zeit bewegen wird. Trajektorien können sich 

also nicht schneiden (mit Ausnahme von Endpunkten der Dynamik, wo das System zum 

Stillstand kommt). Chaotisches Verhalten, also das Ausfüllen des Phasenraums durch 

irreguläre Trajektorien, ist deshalb in einem zweidimensionalen Phasenraum unmöglich, 

weil sich dazu die Trajektorien schneiden müssten. Mechanische Systeme mit nur einem 

Freiheitsgrad können aus diesem Grund kein Chaos aufweisen. Erst in einem dreidimensionalen 

Phasenraum hat die Dynamik genügend Freiheit, um ein irreguläres Knäuel von 

sich nicht schneidenden Trajektorien bilden zu können. 

3.1.2 Lyapunov-Exponenten 

Das vielleicht bekannteste und einfachste mechanische System mit chaotischen Eigenschaften 

ist das Doppelpendel. Bei genügend starker anfänglicher Auslenkung weist es 

ein unvorhersehbares irreguläres Verhalten auf. Wie man in Abbildung 3.3 sehen kann, 

werden selbst kleinste Variationen in der Anfangsbedingung nach kurzer Zeit exponentiell 

verstärkt. Für einen solchen exponentiellen Verstärkungsmechanismus ist es typisch, 

dass die Abweichungen für eine gewisse Zeitspanne praktisch nicht wahrnehmbar sind, 


40 Chaos 

Abbildung 3.3: Chaotische Bewegung eines Doppelpendels. Die Abbildung zeigt den Winkel θ 1 als 

Funktion der Zeit für zwei fast identische Anfangsbedingungen, die sich um eine relative 

Abweichung von 10 −4 voneinander unterscheiden. Wie man sehen kann, sind 

die beiden Trajektorien (rot und blau) für eine gewisse Zeit nahezu identisch, bis sie 

plötzlich stark unterschiedlich werden. Zur besseren Sichtbarkeit ist die Differenz blau 

unterlegt. 

dann aber sehr plötzlich so stark werden, dass die Trajektoren auseinanderlaufen und 

kurz darauf völlig unabhängig voneinander werden. 

Wie quantifiziert man die Chaotizität eines gegebenen Systems? Dies geschieht mit den 

sogenannten Lyapunov-Exponenten. Ein Lyapunov-Exponent λ hat die Dimension [s −1 ] 

und definiert die Zeitskala, auf der sich eine Variation in den Anfangsbedinungen exponentiell 

wie e λt als Funktion der Zeit entwickelt. Ein positiver Lyapunov-Exponent steht 

für exponentielle Verstärkung, also chaotisches Verhalten, während ein negativer Wert 

anzeigt, dass benachbarte Trajektorien konvergieren. 

Ein gegebenes System hat nicht nur einen einzigen, sondern im allgemeinen ein ganzes 

Spektrum von Lyapunov-Exponenten {λ 1 , λ 2 , . . .}. Dies lässt sich am besten am Beispiel 

eines 2N-dimensionalen Hamiltonschen System erklären, dessen Phasenraum zur besseren 

Anschaulichkeit in Abb. 3.4 zweidimensional dargestellt wird. Zu sehen ist links 

oben ein kleiner Kreis (d.h. eigentlich eine 2N-dimensionale Kugel), der eine Menge infinitesimal 

unterschiedlicher Anfangsbedingungen symbolisieren soll. Die Hamiltonschen 

Gleichungen transportieren nun während der Zeitentwicklung jeden Punkt dieser Kugel 

auf einer wohldefinierten Trajektorie. Wie wird sich die Form dieser Kugel ändern? 

Offenbar wird sie kontinuierlich deformiert werden und nach längerer ein kompliziertes 

Aussehen annehmen. Allerdings wird das entstehende Gebilde stets zusammenhängend 

bleiben. Darüber hinaus ist aufgrund des Satzes von Lioville das Volumen erhalten. 

Bemerkung: Satz von Liouville: In der Hamiltonschen Mechanik spielt die symplektische 

Gruppe der kanonischen Transformationen eine zentrale Rolle. Ähnlich wie das normale 

Skalarprodukt unter Drehungen im R 3 invariant ist, gibt es im Phasenraum das sogenannte 

symplektische Produkt, das unter kanonischen Transformationen invariant ist. Die von 

den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen vorgegebene Zeitentwicklung ist ebenfalls eine 

kanonische Transformation. Da sich das Phasenraumvolumen als symplektisches Produkt 

schreiben lässt, ist es deshalb eine Erhaltungsgröße. 

Für kleine Zeiten ist die Deformation der Kugel Taylor-entwickelbar. In niedrigster Ordnung 

dieser Multipolentwicklung nimmt die Kugel deshalb zunächst die Form eines El- 



Abbildung 3.4: Vereinfachte Darstellung der Zeitentwicklung eines infinitesimalen anfangs kugelförmigen 

Phasenraumvolumens (siehe Text). 

lipsoiden an. Dieser Ellipsoid besitzt bestimmte senkrecht aufeinander stehenden Hauptachsen, 

die in der Abbildung als gestrichelte Linien angedeutet sind. Die Ausdehnung 

ξ i (t) des Ellipsoiden entlang der i-ten Hauptachse nimmt mit der Zeit exponentiell zu 

bzw. ab: 

ξ(t) = ξ(0)e λ it . (3.3) 

wobei die λ i die Lyapunov-Exponenten sind. Ein positiver Lyapunov-Exponentent zeigt 

divergente, also auseinanderlaufende Trajektorien an, während ein negativer Lyapunov- 

Exponent Konvergenz signalisiert. Da das Phasenraumvolumen V ∝ ∏ i ξ i erhalten ist, 

muss die Summe aller Lyapunov-Exponenten verschwinden. 

Wie bereits erwähnt gibt es also nicht nur einen, sondern ein ganzes Spektrum von 

Lyapunov-Exponenten. Wenn man im üblichen Jargon von dem Lyapunov-Exponenten 

spricht, so meint man in der Regel den größten und damit dominierenden Exponenten 

in diesem Spektrum. Ein positiver maximaler Lyapunov-Exponent gilt als Indikator für 

chaotisches Verhalten. 

Die Definition des Lyapunov-Exponenten ist lokal, da sie sich auf eine infinitesimale Deformation 

des Phasenraumvolumens bezieht. Die Lyapunov-Exponenten können also an 

verschiedenen Orten im Phasenraum unterschiedliche Werte annehmen und dadurch für 

eine gegebene Trajektorie implizit zeitabhängig werden. Da die Trajektorie in chaotischen 

Systemen nicht vorhersagbar ist und bei fortschreitender Zeit große Teile des Phasenraums 

gleichmäßig überstreicht, bietet es sich an, den mittleren Lyapunov-Exponenten 

als Zeitmittel über die chaotische Trajektorie zu definieren 

1 

λ i := lim 

t→∞ t ln dl i 

dr , (3.4) 

wobei dl i die Änderung entlang der i-ten Hauptachse bei Variation der Anfangsbedingung 

um dr ist. Für die mittelere Divergenz der Trajektorien ist der größte dieser Mittelwerte 

ausschlaggebend. 


42 Chaos 

Abbildung 3.5: Skizze eines getriebenen gedämpften Pendels. 

3.1.3 Getriebenes gedämpftes Pendel 

Das einfachste mechanische System mit chaotischen Eigenschaften ist ein getriebenes gedämpftes 

Pendel (siehe Abb. 3.5). Die Dynamik dieses Systems ist durch die gewöhnliche 

Differentialgleichung 

¨φ(t) + r ˙φ(t) + sin φ(t) = a cos ω D t (3.5) 

vorgegeben. Dabei ist φ(t) der Auslenkungswinkel, r der dimensionslose Reibungskoeffizient, 

a die Antriebsamplitude und ω D die Antriebsfrequenz. In diesem System konkurrieren 

drei unterschiedliche Zeitskalen, nämlich die Reibungszeit 1/r, die Schwingungsdauer 

des freien ungedämpften Pendels 2π/ω 0 und die Umdrehungsdauer des Antriebs 2π/ω D . 

Der Systemzustand wird nicht nur allein durch φ(t) und ˙φ(t) charakterisiert, sondern auch 

durch die Phasenlage bezogen auf den äußeren Antrieb. Der resultierende Phasenraum ist 

also nicht zwei- sondern dreidimensional, eine notwendige Voraussetzung für chaotisches 

Verhalten. Als dritte Dimension des Phasenraums kann man das Argument des Cosinus 

auf der rechten Seite der Differentialgleichung wählen, d.h. 

θ := ω D t . (3.6) 

Mit der Definition ω(t) := ˙φ(t) überführen wir nun die Differentialgleichung 2. Ordnung 

in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung: 

⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ 

φ(t) 

ω(t) 

d 

⎝ ⎠ = ⎝ 

⎠ (3.7) 

dt 

ω(t) 

θ(t) 

−rω(t) − sin φ(t) + a cos θ(t) 

ω D 

Wegen der Dämpfung “vergisst” das System nach einer gewissen Zeit seine eigene Geschichte 

und geht deshalb in ein von den Anfangsbedinungen unabhängiges Verhalten 

über, so dass man ohne Beschränkung der Allgemeinheit von einem anfangs ruhenden 

Pendel ausgehen kann. Iteriert man diese Differentialgleichung beispielsweise für r = 0.24 

und ω D = 2 3 ω 0, so zeigt das System für kleine Antriebsamplituden 0 < a < 0.5 nach einiger 

Zeit ein reguläres Verhalten, indem es der äußeren Anregung mit einer bestimmten 

Phasenverschiebung folgt. Die Lösung ist in diesem Fall einfach-periodisch und besitzt 

eine in der (φ, ω)-Ebene ellipsenförmige Trajektorie. Bei größeren Werten a ≈ 0.63 beobachtet 

man zunächst eine Symmetriebrechung mit einer plötzlich geänderten Phasenlage, 

d.h. das Pendel schwingt zwar noch im Takt mit der äußeren Angerung, aber die 



Abbildung 3.6: Zweidimensionale Projektion des Phasenraums eines getriebenen gedämpften Pendels 

mit ω D = 2 ω0. Für kleine Antriebsamplituden folgt das Pendel der äußeren Kraft 

3 

und beschreibt eine kreisförmige Trajektorie im Phasenraum (hier nicht gezeigt). Für 

größere Amplituden kommt es zu einer Periodenvervielfachung mit Überschwingern, 

hier auf der linken Seite am Beispiel einer Periodenverdreifachung für a = 0.73 gezeigt. 

Erhöht man die Amplitude nur geringfügig, wird die Dynamik chaotisch, wobei die 

Trajektorien (blaue Kurven) den Phasenraum kompakt ausfüllen (siehe rechte Abbildung). 

Die entsprechenden Poincaré-Schnitte sind als rote Punkte dargestellt. 

Spiegelsymmetrie bezüglich φ → −φ wird spontan gebrochen, d.h. die Ellipse wird deformiert. 

Erhöht man a weiter, beobachtet man bei a ≈ 0.66 eine Periodenverdopplung, 

d.h. das Pendel folgt der äußeren Anregung periodisch nach jeweils zwei Umdrehungen. 

Bei a ≈ 0.67 wird die Trajektorie schließlich chaotisch und füllt einen schmalen Streifen 

im Phasenraum aus. Bei a ≈ 0.68 kommt es zu Überschlägen des Pendels und der 

Phasenraum wird kompakt ausgefüllt. 

Man könnte meinen, dass dieses voll entwickelte Chaos bei einer weiteren Erhöhung 

der Amplitude a erhalten bleibt. Dies ist jedoch nicht so, vielmehr geht das System 

bei a ≈ 0.73 wieder in ein reguläres dreifach-periodisches Verhalten über. Bei weiterer 

Erhöhung von a finden weitere Periodenverdopplungen statt (6,12,...) bis man wieder 

ein chaotisches Fenster erreicht. Bei a = 0.85 befindet sich beispielsweise ein siebenfachperiodisches 

Fenster. 

Dieser Wechsel zwischen mehrfach-periodischen und chaotischen Parameterbereichen ist 

sehr typisch für nichtlineare Systeme mit wenigen Freiheitsgraden. 

3.1.4 Attraktoren und Poincaré-Schnitte 

Unter voll entwickeltem Chaos versteht man eine Dynamik im Phasenraum ohne Periodizität, 

sodass die Trajektorie immer neue Gebiete des Phasenraums überstreicht und 

diesen mehr und mehr ausfüllt. Stellt man den Phasenraum in einer zweidimensionalen 

Projektion auf dem Bildschirm dar, erreicht die Trajektorie auf diese Weise nach und nach 

alle Pixel in einem bestimmten Bereich und füllt diesen flächig aus (siehe blaue Punkte 

auf der rechten Seite von Abb. 3.6). An dieser kompakt ausgefüllten Projektion lässt sich 

allerdings nicht erkennen, ob der ursprüngliche (höherdimensionale) Phasenraum kompakt 

ausgefüllt wird oder nicht, denn selbst ein sehr luftiges Knäuel von Trajektorien 


44 Chaos 

Abbildung 3.7: Poincaré-Schnitt: Durch periodische stroboskopische Blitze wird der dreidimensionale 

Phasenraum in zweidimensionale Flächen “geschnitten”. Die als blaue Linie dargestellte 

Trajektorie des Systems durchdringt diese Flächen an bestimmten Punkten, die rot 

markiert sind. Die Menge aller im Limes t → ∞ erzeugten roten Punkte ist das Bild 

des Attraktors im Poincaré-Schnitt (siehe Text). 

kann einen kompakten Schatten werfen. 

Um diese Frage zu beantworten, eigenen sich sogenannte Poincaré-Schnitte. Die Idee 

dabei ist, nicht die komplette Trajektorie des Teilchens in der Projektionsebene zu zeichnen, 

sondern nur einzelne Projektionsbilder zu bestimmten periodischen Zeitpunkten, 

vergleichbar mit der stroboskopischen Beleuchtung durch eine Blitzlampe. Zu welchen 

Zeitpunkten der Blitz ausgelöst wird, ist frei wählbar und vom jeweiligen Problem abhängig. 

Im Fall des gedämpften Pendels eignet sich die Kreisfrequenz des äußeren Antriebs 

ω D mit frei wählbarer Phasenlage, während man bei anderen Problemen beispielsweise 

den Nulldurchgung einer Phasenraumkoordinate wählen könnte. Durch diese Wahl wird 

festgelegt, in welcher Weise der Phasenraum stroboskopisch “durchgeschnitten” wird. 

Löst man im Fall des gedämpften Pendels den Blitz jeweils beim Phasenwinkel Null des 

äußeren Antriebs aus und markiert die entsprechenden Punkte der Trajektorie als rote 

Pixel auf dem Bildschirm, erhält man bei voll entwickeltem Chaos ein eigenartiges Gebilde, 

das auf der rechten Seite von Abb. 3.6 zu sehen ist. Dieses Gebilde bezeichnet man 

als Poincaré-Schnitt. Ein Poincaré-Schnitt dient also zur effektiven Dimensionsreduktion 

der Projektion des Phasenraums durch stroboskopische Beleuchtung. 

Startet man das Programm erneut mit anderen Anfangsbedinungen, so stellt man fest, 

dass sich (abgesehen von vereinzelten roten Punkten) sehr schnell immer wieder das selbe 

Gebilde von roten Punkten entsteht. Der Poincaré-Schnitt zeigt also, dass 

• selbst bei voll entwickeltem Chaos der Phasenraum nicht kompakt ausgefüllt wird. 

• dass die von den Trajektorien ausgefüllte Teilmenge im Limes t → ∞ unabhängig 

von den Anfangsbedingungen ist. 

Das bedeutet, dass das System seine Anfangsbedingung nach einiger Zeit “vergisst” und 

seine Trajektorie nach hinreichend langer Zeit von einer Teilmenge von Trajektorien “angezogen” 

wird. Diese Teilmenge wird wegen dieser anziehenden Eigenschaft als Attraktor 

bezeichnet. Der Poincaré-Schnitt dient dazu, die Struktur dieses Attraktors qualitativ zu 


3.2 Fraktale Eigenschaften seltsamer Attraktoren * 45 

Abbildung 3.8: Chaotische Abbildung: Die Trajektorie eines mechanischen Systems (blaue Linie) lässt 

sich interpretieren als sequentielle Anwendung einer Abbildungen f von Poincaré- 

Schnitt zu Poincaré-Schnitt (rote Pfeile). Es zeigt sich, dass schon sehr einfache nichtlineare 

Abbildungen wie z.B. die quadratische Abbildung ausreichen, um chaotisches 

Verhalten zu erzeugen. 

visualisieren. Anhand des Erscheinungsbildes unterscheiden folgende Arten von Attraktoren: 

Bewegungstyp Attraktortyp Poincaré-Schnitt 

einfach periodisch einfach geschlossene Trajektorie einzelner Punkt 

n-fach periodisch mehrfach geschlossene Trajektorie n Punkte 

chaotisch chaotischer Attraktor eindimensionale Kurve 

chaotisch seltsamer Attraktor fraktales Gebilde 

Insbesondere die seltsamen Attraktoren (engl. strange attractors) faszinieren die Chaosforscher. 

Der Poincaré-Schnitt ist in diesem Fall ein fraktales Gebilde, also eine Menge, 

die mehr ist als eine eindimensionale Linie, jedoch weniger als eine zweidimensionale 

Fläche. 

3.2 Fraktale Eigenschaften seltsamer Attraktoren * 

Ein Fraktal ist eine in den R n eingebettete Menge von Punkten mit einer nichttrivialen 

Struktur, die selbstähnliche Eigenschaften besitzt. Vergrößert man einen kleinen 

Teilbereich einer solchen Menge, erhält man immer wieder ein qualitativ ähnliches Erscheinungsbild. 

Die Menge ist also vereinfacht ausgedrückt invariant gegenüber Zoom- 

Operationen. Dies bedeutet, dass sie abgesehen von der Gesamtabmessung und ggf. einem 

unteren Cutoff (z.B. der Pixelgröße) keine typische Skala besitzt. 

... wird fortgesetzt. 

3.3 Chaotische iterative Abbildungen 

Die Bestimmung des Attraktors eines mechanischen Systems ist numerisch durchaus anspruchsvoll, 

denn man benötigt Tausende oder gar Millionen von Poincaré-Schnitten, die 

jeweils durch Runge-Kutta-Integration der Trajektorie zwischen den einzelnen Schnitten 

erzeugt werden müssen. Es stellt sich deshalb die Frage, ob diese komplizierte Prozedur 

wirklich notwendig ist, um Chaos zu erzeugen, oder ob es vereinfachte Modellsysteme 

gibt, die zwar nicht mit den bereits diskutierten identisch sind, jedoch qualitativ 


46 Chaos 

gleichwertige Eigenschaften besitzen. Besonders elegant wäre es, wenn man zwischen den 

Poincaré-Schnitten keine DGL iterieren muss, sondern durch eine einfache Abbildung 

direkt von Schnitt zu Schnitt gelangt, also den jeweils nächsten roten Punkt als Funktion 

des vorherigen erhält (siehe Abb. 3.8). Die Frage ist nicht, ob eine solche chaotische 

iterative Abbildung existiert, denn die Integration nach Runge-Kutta selbst ist ja bereits 

eine wenn auch komplizierte Abbildung. Das Ziel ist es vielmehr, eine möglichst 

einfache (und damit numerisch schnelle) Abbildung zu finden, welche die Eigenschaften 

eines chaotischen Systems qualitativ reproduziert. Es zeigt sich, dass bereits eine einfache 

quadratische Abbildung dazu ausreicht. 

3.3.1 Quadratische Abbildung 

Fixpunkte 

Als einfachestes Beispiel einer solchen iterativen Abbildungsvorschrift betrachten wir die 

quadratische Abbildung 

f : R ↦→ R : f(x) = a − x 2 , (3.8) 

wobei a > 0 ein frei wählbarer reeller Parameter ist. Mit dieser Abbildung untersuchen 

die durch 

x n+1 = f(x n ) (3.9) 

vorgegebene Sequenz x 0 , x 1 , x 1 , . . . mit dem Startwert x 0 . Im Gegensatz zum gedämpften 

Pendel, welches zweidimensionale Poincaré-Schnitte mit den Koordinaten (φ n , ˙φ n ) 

besitzt, hat man hier eindimensionale “Poincaré-Schnitte” mit der Koordinate x n . Wir 

wollen zunächst die einfach periodischen Lösungen identifizieren, die Fixpunkten (engl. 

fixed point) im Poincaré-Schnitt entsprechen, d.h. wir suchen die Fixpunkte der Gleichung 

f(x) = x . (3.10) 

Dazu ist lediglich eine quadratische Gleichung zu lösen. Die beiden Lösungen x ∗ ±, die wir 

mit einem Stern kennzeichnen wollen, lauten 

x ∗ ± = 1 2 (−1 ± √ 1 + 4a) . (3.11) 

Stabilitätsanalyse 

Zu jeder Fixpunktbestimmung gehört eine Stabilitätsanalyse, denn der beste Fixpunkt 

ist wertlos, wenn er unter dem Einfluss kleiner Abweichungen instabil ist, ähnlich wie ein 

auf der Spitze balancierender Bleistift. 

Eine Stabilitätsanalyse untersucht, wie sich eine infinitesimale Abweichung zu niedrigster 

nichtverschwindender Ordnung im Rahmen einer Taylor-Näherung zeitlich entwickelt, ob 

sie also gegen Null geht (stabiles Verhalten) oder verstärkt wird (instabiles Verhalten). 

In der Regel reicht es aus, die erste Ordnung der Taylor-Reihe zu untersuchen, womit 

man lineare, also lösbare Gleichungssysteme erhält. Wenn die betrachtete Ordnung keine 

Antwort liefert, also Abweichungen weder verstärkt noch dämpft, muss zur jeweils 

nächsthöheren Ordnung übergegangen werden. 


3.3 Chaotische iterative Abbildungen 47 

2 

2 

1 

f(x)=x 

1 

f(f(x))=x 

x* 

0 

x* 

0 

-1 

-1 

-2 

0 0,5 1 1,5 

a 

-2 

0 0,5 1 1,5 

a 

Abbildung 3.9: Fixpunkte der Abbildung f(x) = a − x 2 . Das linke Tableau zeigt die Lage der einfachen 

Fixpunkte f(x ∗ ) = x ∗ als Funktion des Parameters a im Bereich a > − 1 4 , in 

dem die Lösungen reell sind. Stabile Lösungen sind als durchgezogene Linien, instabile 

Lösungen dagegen gestrichelt in roter Farbe dargestellt. Das rechte Tableau zeigt 

die entsprechenden Lösungen der zweifach iterierten Abbildung f(f(x ∗ )) = x ∗ (siehe 

Text). 

Im Fall der quadratischen Abbildungen betrachten wir also nun eine infinitesimale Abweichung 

ɛ vom Fixpunkt x ∗ + bzw. x ∗ −: 

f(x ∗ ± + ɛ) = f(x ∗ 

} {{ 

±) + f ′ (x ∗ 

} 

±)ɛ +O(ɛ 2 ) . (3.12) 

} {{ } 

=x ∗ ± ɛ ′ 

Nach einer Iteration ist also aus der Abweichung ɛ in 1. Ordnung die Abweichung ɛ ′ 

geworden. Offenbar ist der Fixpunkt stabil wenn |ɛ ′ | < |ɛ| ist, wenn also 

|f ′ (x ∗ ±)| < 1 (3.13) 

ist (ein häufiger Anfängerfehler besteht darin, die Betragsstriche zu vergessen). Im Fall 

der quadratischen Abbildung erhalten wir für den Fixpunkt x ∗ − die Ableitung 

f ′ (x ∗ −) = 1 + √ 1 + 4a > 1 , (3.14) 

d.h. dieser Fixpunkt ist immer instabil. Für den anderen Fixpunt erhalten wir entsprechend 

f ′ (x ∗ +) = 1 − √ 1 + 4a < 0 . (3.15) 

Hier ist die Ableitung also stets negativ. Sie ist außerdem vom Betrage kleiner als 1, 

sofern a < 3 4 

ist. Diese Resultate sind grafisch auf der linken Seite von Abb. 3.9 zusammengefasst. 

Bemerkung: Bei Fixpunkten mehrdimensionaler Abbildungen ⃗ f(⃗x) = ⃗x wird die Stabilitätsanalyse 

analog durchgeführt: Ist ⃗ɛ eine infinitesimale Abweichung vom Fixpunkt, so 

gilt in erster Näherung ⃗ f(⃗x ∗ + ⃗ɛ) = x ∗ + J⃗ɛ + O(ɛ 2 ), wobei J die Jacobi-Matrix mit den 

Matrixelementen J ij = ∂f i 

∂x j 

ausgewertet an der Stelle ⃗x = ⃗x ∗ ist. Ob die Abbildung stabil 

oder instabil ist, hängt dabei von der Orientierung von ⃗ɛ ab. Stellt man ⃗ɛ als Linearkombination 

der Eigenvektoren von J dar, so sind die Anteile, deren Eigenwerte vom Betrage 

kleiner als 1 sind, stabil, während die anderen Anteile instabil oder marginal sind. Die 

Stabilitätsanalyse besteht also darin, dass man die Eigenwerte der Jacobimatrix bestimmt. 


48 Chaos 

Mehrfachiteration 

Für a > 3 4 

wird der einzige stabile Fixpunkt der quadratischen Abbildung instabil. Ein 

ähnliches Phänomen hatten wir bereits beim gedämpften getriebenen Pendel beobachtet, 

– auch dort wurde bei Erhöhung der Anregungsamplitude die einfach periodische Lösung 

instabil, wobei es zu einer Periodenverdopplung kam. Im Poincaré-Schnitt führt dies zu 

einem alternierenden Springen zwischen zwei Punkten, d.h. die Dynamik kehrt erst nach 

zwei Schnitten zu ihrem Ausgangspunkt zurück. 

Um herauszufinden, ob die quadratische Abbildung ähnliche phänomenologische Eigenschaften 

besitzt, suchen wir nun nach Fixpunkten der zweifach iterierten Abbildung, also 

nach Lösungen der Gleichung 

f(f(x)) = x , (3.16) 

die, wie man leicht zeigen kann, einem Polynom vierten Grades entspricht: 

Dieses Polynom hat vier Nullstellen, nämlich 

x ∗ 1,2 = 1 2 

x 4 − 2ax 2 + x + a 2 − a = 0 (3.17) 

( 

−1 ± 

√ 

1 + 4a 

) 

, x 

∗ 

3,4 = 1 2 

( 

+1 ± 

√ 

−3 + 4a 

) 

. (3.18) 

Die ersten beiden Lösungen sind mit den Fixpunkten (3.11) identisch, da jede Lösung 

von f(x ∗ ) = x ∗ auch eine Lösung von f(f(x ∗ )) = x ∗ mit gleichen Stabilitätseigenschaften 

sein muss. Hinzu kommen zwei neue Lösungen x ∗ 3,4 , die auf der rechten Seite von 

Abb. 3.9 dargestellt sind. Genau dort, wo der obere Ast der ursprünglichen Parabel instabil 

wird, kommt es zu einer Verzweigung in zwei neue Parabeln, zwischen denen das 

dynamische System hin und her springt. Eine solche Verzweigung wird als Bifurkation 

bezeichnet. Wegen ihrer typischen Form wird sie auch als Heugabel-Bifurkation (engl. 

pitchfork bifurcation) bezeichnet. 

Bemerkung: Es gibt neben dieser sogenannten Heugabel- 

Bifurkation weitere Bifurkationstypen wie z.B. die Sattelpunktsbifurkation, 

die Hopf-Bifurkation, die transkritische Bifukation oder 

die Flip-Bifurkation, auf die hier aber nicht näher eingegangen wird. 

Auch bei den Fixpunkten der zweifach iterierten Abbildung ist nun eine Stabilitätsanalyse 

durchzuführen. Man verfährt dabei genau so wie oben beschrieben mit dem einzigen 

Unterschied, dass nun die Ableitung der zweifach iterierten Abbildung f(f(x)) zu untersuchen 

ist. Eine einfache Rechnung ergibt 

∣ 

d ∣∣∣x 

dx f(f(x)) = ( 1 ± √ 1 + 4a ) ∣ 

2 d ∣∣∣x 

, 

∗ dx f(f(x)) = 4(1 − a) . (3.19) 

∗ 

1,2 3,4 

Die Ableitungen an der Stelle x ∗ 1,2 sind die Quadrate der entsprechenden einfachen Ableitung 

in Gl. (3.14) und (3.15) und somit hat die zweifach iterierte Abbildung für diese 

Fixpunkte wie erwartet die gleichen Stabilitätseigenschaften wie die einfach iterierte Abbildung. 

Die Ableitungen für x ∗ 3,4 zeigen, dass die neuen Lösungen nur für a < 1.25 stabil 

sind. In der Tat werden wir sehen, dass an der Stelle a = 1.25 eine weitere Bifurkation 

stattfindet, die mit einer Periodenvervierfachung einhergeht. 



Grafische Darstellung der Bifurkationen 

Man kann die Bifurkationsfolge sehr einfach auf dem Bildschirm darstellen, indem man 

die Abbildung iteriert, die Werte x n gegen den Parameter a aufträgt und dabei a sehr 

langsam im Vergleich zur Stabilisierungszeitskala, also adiabatisch erhöht. Dies leistet 

der folgende kurze einfache Code: 

#include "standard" 

#include "xwindows" 

int main (void) 

{ 

double a1=0.7, a2=2.0, a=a1, x=0.5; // Parameterbereich, Startwert 

const int F = 500; 

// Fenstergroesse 

XWindow W; W.Open(F,F,"Logistische Abbildung"); 

while (a

50 Chaos 

Abbildung 3.10: Abstand ∆a n = a ∞−a n der n-ten Bifurkationsposition a n zum abgeschätzten Grenzwert 

a ∞ als Funktion von n. Die Datenpunkte liegen auf einer Geraden womit das 

exponentielle Verhalten bestätigt wird. Die Steigung der Regressionsgeraden (rot) ist 

m = −1.54. 

Sofort fällt auf, dass die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Werten sehr schnell 

abnehmen, und zwar in etwa um einen konstanten Faktor. Das legt nahe, dass die Folge 

a 1 , a 2 , a 3 , . . . exponentiell gegen einen bestimmten Grenzwert a ∞ strebt. Diesen Grenzwert 

kann man näherungsweise ermitteln, indem man ∆a n = a ∞ − a n gegen n aufträgt 

und dabei a ∞ so einstellt, dass man eine Gerade erhält (siehe Abb. 3.10). Auf diese 

Weise kann man den Grenzwert anhand der obigen Daten mit a ∞ = 1.401155189092(1) 

abschätzen. Für die Steigung der Regressionsgerade erhält man m = −1.54. 

Die Tatsache, dass die Datenpunkte mit hoher Genauigkeit im log-lin-Plot auf einer 

Geraden liegen, legt nahe, dass die Bifurkationspunkte a n für große n in der Tat einem 

Exponentialgesetz folgen: 

a n ≃ a ∞ − ce mn = a ∞ − cδ −n , (3.20) 

wobei δ = e −m ≈ 4.65 ist. Die Zahl δ wird in der Literatur als Feigenbaum-Konstante 

bezeichnet. 

Bestimmung durch Differenzenquotienten 

Die oben beschriebene Abschätzung liefert drei Konstanten, nämlich den Grenzwert a ∞ , 

die Amplitude c und die Feigenbaumkonstante δ. Setzt man allerdings die exponentielle 

Gesetzmäßigkeit (3.20) voraus, so kann man die Feigenbaumkonstante auch allein 

abschätzen. Dazu betrachtet man zunächst Differenzen der Form 

lim (a n+1 − a n ) = cδ −n−1 (1 − δ) , (3.21) 

n→∞ 



in denen der Offset a ∞ herausfällt. Weiterhin kann man die Amplitude c eliminieren, 

indem man aus diesen Differenzen für aufeinanderfolgende n einen Quotienten bildet: 

a n − a n−1 

lim 

= 

n→∞ a n+1 − a n 

δ(1 − δ) 

1 − δ 

= δ . (3.22) 

Die Feigenbaumkonstante δ lässt sich also abschätzen, indem man diese Quotienten gegen 

n aufträgt und die Daten für n → ∞ extrapoliert. Die Feigenbaumkonstante ist 

also nichts anderes als das asymptotische Verhältnis der Längen aufeinanderfolgender 

Parameterintervalle unterschiedlicher Periode. 

Universalität der Feigenbaumkonstante 

Entdeckt wurde die Feigenbaumkonstante nicht etwa von Mitchell Feigenbaum, sondern 

1977 von dem Marburger Theoretiker Siegfried Großmann (den viele von Ihnen von seinem 

Mathematischen Einführungskurs für die Physik kennen) und Stefan Thomae von 

der Uni Duisburg-Essen. Die wirkliche Bedeutung dieser Zahl wurde allerdings erst von 

dem amerikanischen Chaosforscher Mitchell Feigenbaum erkannt. Man erhält diese Zahl 

nämlich nicht nur für die quadratische Abbildung, sondern für jede eindimensionale nichtlineare 

Abbildung mit genau einem quadratischen (d.h. durch eine Parabel approximierbaren) 

Maximum. Der Wert der Feigenbaumkonstante ist also weitgehend unabhängig 

von der Wahl der Abbildung. Dieses Phänomen wird in der Physik mit dem Begriff der 

Universalität umschrieben. Die Feigenbaumkonstante ist heute mit hoher Genauigkeit 

bekannt: 

δ = 4.66920160910299067185320382... (3.23) 

Es wird bisweilen sogar behauptet, dass δ für die Chaosforschung eine ähnlich wichtige 

Rolle spiele wie π in der Geometrie. 

Bemerkung: Die beiden anderen Konstanten a ∞ und c sind dagegen nichtuniversell, d.h. 

sie nehmen für jede Abbildung andere Werte an. 

Verwandte Abbildungen 

In diesem Kapitel haben wir bislang die quadratische Abbildung x n+1 = a − x 2 n untersucht. 

Durch Umskalierung mittels x n = a˜x n erhält man die Abbildung 

˜x n+1 = 1 − a˜x 2 n , (3.24) 

die ebenfalls in zahlreichen Lehrbüchern untersucht wird. Eine andere populäre quadratische 

Abbildung ist die sogenannte logistische Abbildung, die ursprünglich ein demografisches 

Modell eingeführt wurde und in ihrer dimensionslosen Form durch 

˜x n+1 = r˜x n (1 − ˜x n ) (3.25) 

gegeben ist, wobei r der Kontrollparameter ist. Durch eine einfache lineare Transformation 

˜x n = xn r 

+ 1 2 geht diese Gleichung in (3.24) über, wobei a = r 2 ( r 2 

− 1) ist. 


52 Chaos 

Abbildung 3.11: Mandelbrotmenge (Apfelmännchen) in der komplexen Ebene. Die farbliche Abstufung 

außerhalb des schwarzen Konvergenzbereichs visualisiert, wie schnell die iterierte 

quadratische Abbildung divergiert [Quelle: Wikimedia]. 

Nichtquadratische Abbildungen 

Die vielleicht einfachste eindimensionale nichtquadratische Abbildung mit chaotischen 

Eigenschaften lautet 

x n+1 = a − |x| µ (3.26) 

mit einem frei wählbaren Exponenten µ. Diese Gleichung geht für µ = 2 in die zuvor 

betrachtete quadratische Gleichung über. Für µ ≠ 2 erhält man eine ähnliche chaotische 

Phänomenologie, jedoch mit einer anderen Feigenbaumkonstante, die jezt von µ abhängig 

ist, da das Maximum der Funktion nicht mehr durch eine Parabel approximierbar ist. 

3.3.3 Mandelbrotmenge 

Die Mandelbrotmenge ist die Menge der komplexen Zahlen 

c ∈ C, für welche die durch die Abbildung 

z n+1 = c + z 2 n (3.27) 

iterierte Folge von komplexen Zahlen konvergent ist. Man 

erhält das sogenannte Apfelmännchen, das einen fraktalen 

Rand besitzt. Die Abbildung ist mit der oben untersuchten 

quadratischen Abbildung bis auf Vorzeichenwechsel z n = 

−x n identisch. Die Mandelbrotmenge ist also gewissermaßen 

die Erweiterung des Feigenbaum-Problems auf die komplexe 

Ebene (siehe nebenstehende Abbildung). 



3.4 Aufgaben 

Aufgabe 3.1 

(Integration einer chaotischen Differentialgleichung) 

(a) Schreiben Sie ein Programm zur Integration der in der Vorlesung behandelten Differentialgleichung 

des chaotischen Pendels 

¨φ + r ˙φ + sin φ = a cos(ω D t). 

mit einem Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung (oder höher). 

(b) Iterieren Sie die Differentialgleichung für r = 1/4 und ω D = 2/3 und plotten Sie 

den Poincaré-Schnitt, d.h. die Punkte (φ(t j ), ˙φ(t j )) für t j = 2πj/ω D und j ∈ N für 

die Amplitude a = 0.7. 

(c) Starten Sie nun das Programm mit a = 0 und erhöhen Sie während der Iteration die 

Amplitude a adiabatisch (d.h. extrem langsam im Vergleich zur Pendeldynamik, 

indem Sie a bei jedem Iterationsschritt um einen sehr kleinen Wert erhöhen), bis Sie 

den Wert a = 2 erreichen. Tragen Sie währenddessen die Punkte (x, y) = (a, φ(t j )) 

grafisch auf. In dieser Darstellung sollte der Wechsel von chaotischem und nichtchaotischem 

Verhalten als Funktion von a erkennbar werden. 

Aufgabe 3.2 

(Doppelpendel) 

Gegeben sei ein reibungsfreies Doppelpendel mit gleichen Massen m 1 = m 2 = m und 

gleichen Längen l 1 = l 2 = l. Der Einfachheit halber können Sie den dimensionslosen Fall 

m = 1, l = 1 betrachten. 

(a) Geben Sie die Lagrangefunktion L(φ 1 , ˙φ 1 , φ 2 , ˙φ 2 ) an, stellen Sie die entsprechenden 

Bewegungsgleichungen auf und lösen Sie diese Gleichungen nach ¨φ 1 und ¨φ 2 auf. 

(b) Überführen Sie dieses System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen zweiter 

Ordnung in ein System von vier Differentialgleichungen erster Ordnung und 

schreiben Sie ein Programm zur Integration mit Runge-Kutta 4. Ordnung. 

(c) Integrieren Sie diese Differentialgleichungen mit den Anfangsbedingungen 

φ 1 (0) = π , φ 2 (0) = π/2 , ˙φ1 (0) = ˙φ 2 (0) = 0 

mit der Schrittweite h = 0.01 und plotten Sie die Lösung von φ 1 (t) und φ 2 (t) als 

zwei Kurven in einer Abbildung im Bereich von t = 0 bis t = 50. 

(d) Chaotisches Verhalten äußert sich in einer exponentiellen Verstärkung von kleinen 

Abweichungen in den Anfangsbedingungen. Um dies zu überprüfen, verändern Sie 

nun die Anfangsbedingung φ 1 (0) = π + 0.001 und vergleichen das Ergebnis mit 

(c). Schätzen Sie grob die Zeit ab, zu der die Trajektorien beginnen, erheblich 

voneinander abzuweichen. 


54 Chaos 

(e) Erstellen Sie mit den Anfangsbedingungen aus (c) drei Poincaré-Schnitte, die durch 

die Nulldurchgänge von φ 1 getriggert werden, d.h. immer wenn das obere Pendel 

durch die Ruhelage geht, wird ein Punkt in der ( ˙φ 1 , φ 2 )-Ebene, in der ( ˙φ 1 , ˙φ 2 )- 

Ebene bzw. in der (φ 2 , ˙φ 2 )-Ebene geplottet (dazu ist eine längere Laufzeit erforderlich). 

Aufgabe 3.3 (Lorenz-Attraktor) 

Gegeben sei das Differentialgleichungssystem erster Ordnung 

ẋ = a(y − x) 

ẏ = x(b − z) − y 

ż = xy − cz 

wobei a, b, c Parameter sind. Simulieren Sie dieses DGL-System für die Parameter 

a = 10 , b = 28 , c = 8/3 

mit Hilfe eines Runge-Kutta-Verfahrens vierter Ordnung und stellen Sie die Trajektorie 

in der xz- oder yz-Ebene grafisch dar. Starten Sie mit zwei geringfügig verschiedenen 

Anfangsbedingungen und überzeugen Sie sich, dass die dazugehörigen Trajektorien 

auseinanderlaufen (Die Gesamtlaufzeit sollte dabei mindestens so gross sein, dass der 

chaotische Charakter des Lorenz-Systems sichtbar wird). 

Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Lorenz-Attraktor. 

Edward N. Lorenz hat übrigens mit der Lorentz-Transformation nichts zu tun! 

Aufgabe 3.4 

(Abschätzung der Feigenbaum-Konstanten) 

Die Iteration der Abbildung x n+1 = a − x 2 n konvergiert für a < 3/4 gegen einen einzigen 

Fixpunkt, ab a 1 = 3/4 kommt es zur Periodenverdopplung, ab a 2 ≈ 1.25 zur Periodenvervierfachung 

usw., bis bei a ∞ ein nichtperiodisches (chaotisches) Verhalten einsetzt. 

Bestimmen Sie die ersten Bifurkationspunkte a 1 , a 2 , a 3 . . . so weit wie Sie können mit 

einem numerischen Suchverfahren und berechnen Sie die Quotienten 

δ n = 

a n+1 − a n 

a n+2 − a n+1 

. 

Diese Quotienten sollten für n → ∞ gegen die sogenannte Feigenbaum-Konstante δ konvergieren. 

Schätzen Sie δ und a ∞ ab. 

Aufgabe 3.5 

(Synchronisation zweier chaotischer Abbildungen) 

(a) Betrachten Sie wie in der Vorlesung besprochen zwei identische quadratische Abbildungen 

x n+1 = a − x 2 n 



y n+1 = a − y 2 n 

mit 0 ≤ a < 2 bei infinitesimal unterschiedlichen Anfangsbedingungen y 0 = x 0 + ɛ. 

Überzeugen Sie sich, dass die beiden Abbildungen für a = 1.8 auseinanderlaufen 

und eine chaotische Dynamik entfalten. Wenn Sie die Möglichkeit einer grafischen 

Darstellung haben, wird es hilfreich sein, wenn Sie dazu y n gegen x n auftragen. 

(b) Koppeln Sie nun die beiden Abbildungen durch einen Kopplungsparameter c, indem 

Sie die modifizierten Abbildungen 

x n+1 = a − ((1 − c)x n + c y n ) 2 

y n+1 = a − ((1 − c)y n + c x n ) 2 

iterieren, wobei 0 ≤ c ≤ 1 ist. Iterieren Sie diese Abbildungen für a = 1.8 mit infinitesimal 

verschiedenen Anfangsbedingungen, indem Sie den Parameter c von Null 

aus langsam hochfahren. Dabei werden Sie sehen, dass das gekoppelte System zwischen 

chaotischen und periodischen Verhaltensweisen wechselt. Bei welchem Wert 

von c tritt vollständige Synchronisierung (x n = y n für n → ∞) ein? 


4 Zufallszahlen 

Tübinger Studenten beim Billardspiel, frühes 19. Jhdt. 

Viele Vorgänge in der Vielteilchenphysik sind durch eine hohe Komplexität gekennzeichnet, 

die nicht mehr vollständig im Detail beschreibbar ist. Dies trifft vor allem auf chaotische 

Systeme zu, welche die Eigenschaft besitzen, dass sehr kleine Variationen der Anfangsbedingung 

zu sehr großen Änderungen des Zustands zu einem späteren Zeitpunkt 

führen können. Ein einfaches Beispiel ist ein Billardspiel. Nur drei bis vier aufeinander 

folgende Stöße der Kugeln sind durch den Spieler zu beeinflussen, doch schon nach wenigen 

weiteren Stößen wird das Verhalten unkontrollierbar. Die Dynamik verstärkt dabei 

kleine Variationen exponentiell, so dass selbst Quantenfluktuationen nach hinreichend 

vielen Stößen makroskopische Auswirkungen haben können. Dies äußert sich in einem 

(scheinbar) zufälligen Verhalten des Systems. Dennoch folgt auch eine solche komplexe 

Dynamik bestimmten Gesetzmäßigkeiten, – diese zu beschreiben ist das Ziel der Thermodynamik 

und der statistischen Physik. 

Die moderne statistische Physik hat einen enormen Schub durch die Entwicklung schneller 

Rechner erhalten, denn damit erhält man die Möglichkeit, komplexe Vielteilchensysteme 

direkt zu simulieren, sie also gewissermaßen auf dem Rechner zu rekonstruieren. Um 

solche stochastischen (d.h. zufällige) Prozesse simulieren zu können, benötigt man Zufallszahlen. 

Zufallszahlen kann man mit geeigneter Hardware, z.B. mit einer rauschenden 

Diode oder einem radioaktiven Präparat, erzeugen. Es ist jedoch gar nicht so einfach, 

einen qualitativ guten Hardware-Zufallszahlengenerator zu bauen (in einem unserer studentischen 

Projekte wurde ein solcher Generator konstruiert). Praktischer und schneller 

ist es, Zufallszahlen mit geeigneten Algorithmen zu erzeugen. Solche Pseudo-Zufallszahlen 

sind jedoch nicht wirklich zufällig, da ein Rechner eine deterministische Maschine ist. Es 

gibt daher – je nach Algorithmus – Zufallsgeneratoren unterschiedlicher Qualität. 

4.1 Definition 

4.1.1 Ganzzahlige Zufallszahlen 

Standardbeispiel für einen ganzzahligen Zufallszahlengenerator ist ein Würfel, dessen 

Wertebereich die Zahlen von 1 bis 6 ist. Etwas allgemeiner wollen wir annehmen, dass 



unser Generator ganzzahlige Werte zwischen r min und r max liefert, dass also Zufallszahlen 

r ∈ {r min , r min + 1, . . . r max } (4.1) 

durch den Aufruf einer bereits existierenden Funktion rndint(r min , r max ) erzeugt werden. 

Wiederholter Aufruf dieser Funktion liefert eine Sequenz von Zufallszahlen: 

r 1 := rndint(r min , r max ) 

r 2 := rndint(r min , r max ) 

. . . 

Ein idealer Zufallszahlengenerator sollte folgende Eigenschaften bestitzen: 

(a) Gleichverteilung: 

Erzeugt man eine große Anzahl von Zufallszahlen, so kann man durch Ermittlung 

der relativen Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit P (r) für ein bestimmtes Ergebnis r 

abschätzen. Von einem Standard-Zufallszahlengenerator wird erwartet, dass die 

Ergebnisse gleichverteilt sind, dass also P (r) auf der Menge der erzeugten Zufallszahlen 

konstant ist: 

{ 

1 

P (r) = 

r max−r min +1 

falls r ∈ {r min , r min + 1, . . . , r max } 

(4.2) 

0 sonst 

Diese Verteilung ist – wie jede Wahrscheinlichkeitsverteilung – dadurch normiert, 

dass die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist: 

r∑ 

max 

r=r min 

P (r) = 1 (4.3) 

(b) Korrelationsfreiheit: 

Eine zweite wichtige Forderung, die ein Zufallszahlengenerator zu erfüllen hat, ist 

die Korrelationsfreiheit. Unter Korrelationen versteht man statistische Abhängigkeiten 

zwischen verschiedenen, in der Regel aufeinanderfolgenden Zufallszahlen. Bei 

der Simulation eines Würfels ist es beispielsweise unerwünscht, dass nach einer 6 

mit erhöhter Wahrscheinlichkeit eine weitere 6 folgt. 

Korrelationen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zufallszahlen können mit Hilfe 

der kombinierten Verteilungsfunktion P (r i , r i+1 ) ermittelt werden, welche die 

Wahrschenlichkeit angibt, bei zwei aufeinanderfolgenden Funktionsaufrufen die Werte 

r i und r i+1 zu erhalten. Bei einem Würfel wäre diese Verteilung also durch 36 

verschiedene Wahrscheinlichkeiten gegeben, deren Summe gleich 1 ist. Aufeinanderfolgende 

Zufallszahlen sind genau dann unkorreliert, wenn diese Wahrscheinlichkeitsverteilung 

faktorisiert, d.h. P (r i , r i+1 ) = P (r i )P (r i+1 ) ist. Analog sind n 

aufeinanderfolgende Zufallszahlen r i , r i+1 , . . .,r i+n−1 genau dann unkorreliert, wenn 

die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung faktorisiert: 

P (r i , r i+1 , . . . , r i+n−1 ) = 

n−1 

∏ 

k=0 

P (r i+k ) . (4.4) 


4.1 Definition 59 

4.1.2 Fließkomma-Zufallszahlen 

In vielen Anwendungen möchte man reelle Zufallszahlen in einem bestimmten Intervall 

r ∈ [r min , r max ] ⊂ R erzeugen. In einem Rechner werden reelle Zahlen durch sogenannte 

Fließkommazahlen (floating point types) approximiert. 1 

Da es in einem Intervall unendlich viele reelle Zahlen gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, eine 

bestimmte Zufallszahl r zu erzeugen, gleich Null. Für kontinuierliche Zufallsgrößen definiert 

man deshalb eine Wahrscheinlichkeitsdichte P (r) dadurch, dass P (r)dr die Wahrscheinlichkeit 

angibt, die erzeugte Zufallszahl in einem infinitesimalen Intervall [r, r + dr] 

zu finden. 

Von der Wahrscheinlichkeitsdichte eines standardisierten Zufallszahlengenerators wird in 

der Regel gefordert, dass sie auf dem erzeugten Wertebereich konstant ist: 

P (r) = 

{ 

1 

r max−r min 

falls r min ≤ r ≤ r max 

0 sonst 

. (4.5) 

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist ausserdem normiert durch 

∫ rmax 

r min 

P (r) dr = 1 . (4.6) 

Ein Kriterium für Korrelationsfreiheit von n aufeinanderfolgenden Zufallszahlen ist wie 

im diskreten Fall die Faktorisierung der Wahrscheinlichkeitsdichte 

P (r i , r i+1 , . . . , r i+n−1 ) = 

n−1 

∏ 

k=0 

P (r i+k ) . (4.7) 

4.1.3 Korrelationsfunktionen 

Zur Untersuchung eines Zufallszahlengenerators auf mögliche Korrelationen eignen sich 

sogenannte Korrelationsfunktionen. Korrelationsfunktionen sind statistische Mittelwerte 

von Produkten der zu untersuchenden Größen, so ist beispielsweise eine Zweipunktkorrelationsfunktion 

zweier Zufallszahlen r i und r j durch 

〈r i r j 〉 = ∑ r i 

∑ 

r j 

r i r j P (r i , r j ) (4.8) 

gegeben. Dabei bezeichnen die spitzen Klammern 〈. . .〉 das Ensemblemittel, d.h. das 

arithmetische Mittel des Arguments über viele statistisch unabhängige Realisierungen. 2 

Das Ensemblemittel kann man also bilden, indem man ein Programm sehr oft mit unabhängigen 

Sequenzen von Zufallszahlen laufen lässt und anschließend die Ergebnisse 

mittelt. 

1 In den meisten Fällen approximieren Fließkommazahlen die Eigenschaften reeller Zahlen sehr gut. Man 

sollte sich trotzdem stets vergegenwärtigen, dass der Rechner solche Zahlen ’gequantelt’ darstellt, weil 

nur endlich viele Nachkommastellen berücksichtigt werden. In seltenen Fällen, z.B. beim Gebrauch 

stark nichtlinearer Funktionen, kann es dazu kommen, dass diese Quantelung sichtbar wird und 

erhebliche Fehler verursacht. Wir werden weiter unten auf dieses Problem zurückkommen. 

2 In der Literatur wird auch häufig ein hochgestellter Balken, z.B. r i, als Notation für die Mittelwertbildung 

benutzt. 



Faktorisiert nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. P (r i , r j ) = P (r i )P (r j ), so folgt 

daraus, dass auch die Mittelwerte faktorisieren, also 〈r i r j 〉 gleich dem Produkt 〈r i 〉〈r j 〉 ist. 

Verallgemeinert für n-Punkt-Korrelationsfunktionen bedeutet dies, dass eine notwendige 

Bedingung für Korrelationsfreiheit darin besteht, dass Produktbildung und Mittelwertbildung 

in Korrelationsfunktionen miteinander vertauschen: 

〈 

n∏ 

r ik 〉 = 

k=1 

n∏ 

〈r ik 〉 . (4.9) 

Oftmals subtrahiert man das Produkt der Mittelwerte und erhält so den sogenannten 

zusammenhängenden Anteil (connected part) der Korrelationsfunktion, z.B. für zwei Zufallszahlen 

ist 

〈r i r j 〉 conn := 〈r i r j 〉 − 〈r i 〉〈r j 〉 (4.10) 

Der zusammenhängende Anteil ist positiv für gleichsinnige Korrelationen, negativ für 

Antikorrelationen und Null wenn die Zufallsgrößen unkorreliert sind. 

k=1 

4.2 Pseudozufallszahlen 

Pseudozufallszahlen sind von deterministischen Algorithmen erzeugte Zahlensequenzen, 

die scheinbar zufällig aussehen. Pseudozufallszahlengeneratoren iterieren in der Regel 

eine chaotische Abbildung und haben folgende Eigenschaften: 

• Bei identischen Anfangsbedingungen des Generators ist die erzeugte Sequenz von 

Zufallszahlen stets gleich. 3 

• Die Sequenz wiederholt sich nach endlich vielen Aufrufen, d.h. jeder Zufallszahlengenerator 

ist durch eine Periode (oder sogar mehrere Perioden) gekennzeichnet. 

Diese Periode sollte länger als die Laufzeit der Anwendung sein. 

• Da ein deterministischer Algorithmus zugrunde liegt, sind die erzeugten Zufallszahlen 

zumindest schwach korreliert. Das Ziel bei der Konstruktion eines Pseudozufallszahlengenerators 

ist es, diese unerwünschten Korrelationen so gut wie möglich 

zu unterdrücken. Es gibt also ‘gute’ und ‘weniger gute’ Generatoren. 

Ein standardisierter Zufallszahlengenerator sollte auf dem Wertebereich gleichverteilt und 

möglichst korrelationsarm sein. Außerdem sollte er extrem schnell sein, also auf einem 

einfachen Algorithmus beruhen, denn z.B. bei Monte Carlo Simulationen stellt sich heraus, 

dass die meiste Rechenzeit für die Erzeugung von Zufallszahlen verbraucht wird. 

Für die Konstruktion eines Zufallszahlengenerators gibt es allerdings kein Patentrezept. 

Während man die Gleichverteilung für einen gegebenen Algorithmus in der Regel beweisen 

kann, ist die konkrete Berechnung der Korrelationen häufig unmöglich, so dass man 

auf empirische Vergleiche angewiesen ist. Viele Forscher bevorzugen einen bestimmten 

Generator, doch ist es in der Praxis ratsam, ein neues Programm mit unterschiedlichen 

3 Die Reprodzierbarkeit wird häufig dadurch unterdrückt, dass man die Anfangsbedingung von Mausbewegungen 

und Systemzeit abhängig macht. Sie kann aber auch bei der Fehlersuche nützlich sein, 

wenn beispielsweise Ihre Simulation nach mehreren Stunden einwandfreier Funktion abstürzt und Sie 

den Fehler eingrenzen wollen. 


4.2 Pseudozufallszahlen 61 

Abbildung 4.1: Vorzeichenbehaftete ganze Zahlen (integers) auf einem 32-bit-Rechner 

Generatoren zu testen und zu überprüfen, ob man zu statistisch unterschiedlichen Ergebnissen 

gelangt, ob sich also möglicherweise versteckte Korrelationen auf das Ergebnis 

auswirken. 

4.2.1 Algorithmische Implementierung 

Unabhängig davon, ob ein Zufallszahlengenerator ganze Zahlen oder Fließkommazahlen 

zurückgeben soll, werden die Zufallszahlen intern stets als ganze Zahlen in dem vom 

Prozessor zur Verfügung gestellten Wertebereich erzeugt. Dazu muss man wissen, dass 

ein Computer jegliche Art von Daten intern als Dualzahlen mit einer festen Anzahl von 

Stellen (bits) darstellt. Ältere Prozessoren haben eine Breite von N = 32 bit, neuere die 

doppelte Breite von N = 64 bit. Es ist üblich, die bits von 0 bis N − 1 durchzunummerieren, 

wobei das niedrigste bit mit der Nummer 0 ganz rechts und das höchste ganz 

links dargestellt wird. 

Man unterscheidet vorzeichenbehaftete und positive ganze Zahlen, die beispielsweise in 

C++ ihre Entsprechung in den Datentypen int und unsigned int finden. Positive ganze 

Zahlen nutzen alle N bits für die Darstellung als Dualzahl, während vorzeichenbehaftete 

ganze Zahlen das höchste Bit als Vorzeichenbit benutzen (siehe Abb. 4.1). Die entsprechenden 

Wertebereiche sind also: 

{−2 N−1 , . . . , 2 N−1 − 1} für vorzeichenbehaftete ganze Zahlen 

{0, . . . , 2 N − 1} für positive ganze Zahlen 

(4.11) 

Generatoren für Pseudozufallszahlen basieren in der Regel auf einer iterativen Abbildung, 

die aus den bereits erzeugten Zufallszahlen eine neue Zufallszahl erzeugt. Im einfachsten 

Fall ist diese Iteration einstufig, d.h. das Funktionsergebnis hängt nur von der jeweils 

zuletzt erzeugten Zufallszahl ab: 

Eine solche einstufige Iteration hat folgende Eigenschaften: 

r i = f(r i−1 ) . (4.12) 

• Die Periode des Generators ist 2 N oder kürzer, wobei N die Anzahl der bits des 

integer-Wertebereichs ist. 

• Möglicherweise wird nur eine Teilmenge des Wertebereichs durch die Iteration erreicht. 

• Die erreichten Werte sind wegen der Einstufigkeit per Definition gleichverteilt, da 

jeder Wert innerhalb einer Periode genau einmal erreicht wird. 



4.2.2 Ein (zu) einfacher Zufallszahlengenerator 

Einen einfachen (jedoch für die Praxis untauglichen) Zufallszahlengenerator erhält man 

bereits mit einer linearen Iteration: 

r i = (a r i−1 + c) mod m , (4.13) 

wobei ’x mod y’ den Rest von x bei der Division durch y bezeichnet. Dabei sind a, c, m 

ganzzahlige Konstanten. Wie für jeden Zufallszahlengenerator spielt die Wahl der Konstanten 

eine entscheidende Rolle. Hierfür gibt es in der Regel kein systematisches Verfahren, 

vielmehr setzten sich bestimmte empirisch ermittelte Werte in der Literatur durch, 

die der Definition eines Generators durchaus eine Aura von Magie verleiht. Für obige 

Abbildung ist 

a = 106 , c = 1283 , m = 6075 (4.14) 

eine mögliche Wahl. In C++ entspräche das folgendem Quellcode: 

//======================================================= 

// Ein (zu) einfacher Zufallszahlengenerator 

//======================================================= 

int r=1234; // Globale Variable mit Startwert 

//------------ erzeuge Pseudozufallszahl ---------------- 

int rndint (void) 

{ 

const int a=106, c=1283, m=6075; 

r = (a*r+c) % m; 

return r; 

} 

Wiederholter Aufruf dieser Funktion erzeugt die Sequenz 

1234,4512,5705,4588,1611,1949,1327,2220,5753,3601,264,4967,5335..., 

die auf den ersten Blick durchaus zufällig aussieht. Diese Sequenz lässt sich auch leicht 

mit Mathematica R○ erzeugen: 

f[r_] := Mod[a*r+c, m]; 

a=106; c=1283; m=6075; 

r0=1234; 

sequence = NestList[f,r0,m+1]; 

Wegen der Restbildung in der Funktion f kann dieser Zufallszahlengenerator nur Zahlen 

zwischen 0 und 6074 erzeugen. Man kann mit einem geeigneten Hilfsprogramm leicht 

überprüfen, dass der Generator nach einer Periode von 6075 Aufrufen die gleiche Sequenz 

reproduziert. Ausserdem ist der Mittelwert 〈r〉 = 3037. Demzufolge wird also jeder Wert 

zwischen 0 und 6074 erreicht und tritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. 

Der Generator weist jedoch erhebliche Korrelationen auf, wie im Buch von Kinzel/Reents 

demonstriert wird. 


4.2 Pseudozufallszahlen 63 

Abbildung 4.2: Schematische Darstellung eines verbesserten Zufallszahlengenerators mit zweistufiger 

Iteration. 

4.2.3 Verbesserte Zufallszahlengeneratoren 

Der obige Zufallszahlengenerator kann auf zweierlei Weise verbessert werden: 

• Man kann zu einer mehrstufigen Iteration übergehen, d.h. die Funktion f hängt 

von mehreren bereits erzeugten Zufallszahlen ab. 

• Die Iterationstiefe kann erhöht werden, d.h. nicht die unmittelbar zuvor erzeugten 

sondern weiter zurückliegende Zufallszahlen werden als Argumente von f benutzt. 

Als Beispiel wollen wir eine zweistufige Iteration der Form 

r i := f(r i−t , r i−s ) (4.15) 

betrachten, wobei s, t ∈ N die sogenanten delays der Abbildung sind. Eine solche Iteration 

ist in Abb. 4.2 schematisch dargestellt. Offensichtlich bestimmen dabei die mit 

der geschweiften Klammer gekennzeichnenten Zahlen vollständig die zukünftige Sequenz 

und werden deshalb als Zustand des Generators bezeichnet. Die Anzahl der möglichen 

Zustände in diesem Bereich liefert eine obere Schranke für die Periode des Generators, 

bei einem 32-bit Rechner ist die Periode also ≤ 2 32t . Bereits für t = 2 ist diese Zahl aber 

so groß, dass bei einer Frequenz von 10 6 Aufrufen pro Sekunde die obere Schranke für 

die Periode bei 600.000 Jahren liegt. Deshalb ist es nicht immer sinnvoll, besonders große 

delays zu verwenden. 

4.2.4 Zufallszahlengenerator von G. Marsaglia und A. Zaman 

Ein brauchbarer Zufallszahlengenerator, der nach diesem Prinzip arbeitet, ist der substractwith-borrow-Generator 

von Marsaglia und Zaman [4]. Er ist definiert durch die Iteration 

r i := (r i−s − r i−t − c i−1 ) mod m , (4.16) 

wobei c i je nach dem Vorzeichen der Klammer zwischen 0 und 1 hin und her schaltet: 

{ 1 falls ri−s − r 

c i := 

i−t − c i−1 > 0 

0 andernfalls. 

(4.17) 

Dabei sind c t sowie r 1 , r 2 , . . . , r t frei initialisierbar und legen den Anfangszustand des 

Generators fest. 



Die Vorteile dieses Generators sind seine Geschwindigkeit und die Beweisbarkeit seiner 

Periode. Marsaglia und Zaman konnten zeigen, dass man für die Iteration 

r i := (r i−2 − r i−3 − c i−1 ) mod (2 32 − 18) (4.18) 

eine Periode von ungefähr 2 92 erhält. Der so definierte Generator hat allerdings noch den 

Schönheitsfehler, dass er nicht den kompletten Wertebereich einer 32-bit Zahl abdeckt, 

da bei der Restbildung die letzten 18 Zahlenwerte nicht erreicht werden. Dies kann man 

umgehen, indem man obige Abbildung mit einer zweiten Abbildung 

r i = (69069 r i−1 + 1013904243) mod 2 32 (4.19) 

kombiniert, wobei die Modulo-Operation auf 32-bit Rechnern automatisch stattfindet. 

Auf diese Weise wird der komplette Wertebereich abgedeckt und die Periode ist bei 10 6 

Aufrufen pro Sekunde in der Größenordnung von 10 24 Jahren, also deutlich länger als 

die Lebensdauer des Universums. 

4.2.5 Zufallszahlengenerator von R. M. Ziff 

Ein sehr erfolgreicher Zufallszahlengenerator wurde von Robert M. Ziff [5] entwickelt. Er 

arbeitet mit vier gekoppelten Schieberegistern, ist sehr schnell und bietet den Vorteil, 

dass sowohl die Periode als auch Drei- und Vierpunktkorrelationsfunktionen abgeschätzt 

werden können. Ein für C++ optimierter Quellcode lautet: 

const int Random_A = 471, Random_B = 1586, Random_C = 6988; 

const int Random_D = 9689, Random_M = 16383; 

const unsigned int Random_Max = 2147483648U; 

int Random_nd, Random_ra[Random_M+1]; 

void InitRandom (unsigned int seed=0) 

{ 

srandom(seed); 

Random_nd=random(); 

for (int i=0; i

4.3 Zufallszahlen mit nichtkonstanter Verteilung 65 

4.2.6 ’Echte’ Zufallszahlen 

In der Praxis bewährt es sich, mehrere Zufallszahlengeneratoren zur Verfügung zu haben 

und zu testen, ob diese zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Dies ist in der Regel nicht 

der Fall, da viele Simulationen einen selbstmittelnden Effekt haben, der kurzreichweitige 

Korrelationen zwischen den Zufallszahlen kompensiert. 

Wer dennoch befürchtet, dass die erzeugten Zufallszahlen nicht gut genug sind, kann sich 

‘echte’ Zufallszahlen von 

http://www.random.org/ 

herunterladen. Wie Sie nachlesen können, waren die dort erzeugten Zufallszahlen sogar 

am 11. September 2001 absolut unkorreliert. 

4.3 Zufallszahlen mit nichtkonstanter Verteilung 

Generatoren für reelle Zufallszahlen wie z.B. der Ziff’sche Generator rnd() und die 

Mathematica R○ -Funktion Random[] sind in der Regel so konstruiert, dass sie gleichverteilte 

Zufallszahlen auf dem Intervall [0, 1] liefern. In der Praxis stellt sich aber oft das 

Problem, dass Zufallszahlen mit einer nicht-konstanten Verteilung benötigt werden. Als 

Beispiel seien Gauß-verteilte Zufallszahlen genannt. 

4.3.1 Transformation der Wahrscheinlichkeitsdichte durch Abbildung 

Eine Möglichkeit, Zufallszahlen mit einer nicht-konstanten Verteilung zu erzeugen, besteht 

darin, die vom Generator gelieferten gleichverteilten Zufallszahlen r i mit Hilfe einer 

deterministischen Funktion f auf eine andere Sequenz z i := f(r i ) abzubilden. Von dieser 

Funktion wollen wir der Einfachheit halber annehmen, dass sie monoton steigend und 

differenzierbar ist. Die Funktion f bildet dann den Wertebereich r i ∈ [0, 1] auf den neuen 

Wertebereich z i ∈ [f(0), f(1)] ab. Ist die Funktion f ausserdem nichtlinear, so wird die 

neue Sequenz {z i } auf diesem Intervall nicht mehr gleichverteilt sein. 

Die Wirkungsweise einer nichtlinearen Funktion ist in Abb. 4.3) dargestellt. Um die 

Transformation von Dichten zu verstehen, ist die r-Achse im Intervall [0, 1] in äquidistanten 

Abständen markiert. Diese Werte werden mit der Abbildung f(r) = exp(r 2 ) auf 

die vertikale Achse im Intervall [1, e] abgebildet. Hier erhält man offenbar eine variierende 

Dichte von Werten, die um so größer ist, je geringer die Steigung der Funktion ist. 

Dieser Sachverhalt lässt sich einfach herleiten, wenn man die infinitesimalen Wahrscheinlichkeiten 

in den Intervallen [r, r + dr] und [s, s + ds] einander gleichsetzt: 

P (r) dr = ˜P (s) ds (4.20) 

Die Schlange auf der rechten Seite soll andeuten, dass sich ˜P auf die Zufallsvariable s 

bezieht und wird in der Literatur häufig weggelassen. Nach ’Division’ durch ds erhält 

man 

P (r) dr 

˜P (s) = = P (r) 

ds ds/dr = P (r) 

f ′ (r) , (4.21) 



Abbildung 4.3: Veranschaulichung der Transformation der Wahrscheinlichkeitsdichte unter der Funktion 

s = f(r) = exp(r 2 ) (siehe Text). 

d.h. die Wahrscheinlichkeitsdichte bezüglich s nimmt tatsächlich mit abnehmender Steigung 

der Kurve zu. 

Beispiel: Gegeben sei die Funktion s = f(r) = exp(r 2 ). Für einen Standard-Generator ist 

P (r) = 1 auf dem Definitionsbereich r ∈ [0, 1]. Damit erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte 

1 

˜P (s) = 

2r exp(r 2 ) = 1 

2s √ ln(s) 

auf dem Definitionsbereich (1, e] (siehe Abbildung 4.3). 

In der Praxis ist nun häufig die umgekehrte Fragestellung gegeben, d.h. es wird eine 

normierte Verteilung ˜P (s) auf einem Intervall [s 1 , s 2 ] vorgegeben und man sucht eine 

geeignete Funktion f(r), mit der man aus der Standardverteilung eines Zufallszahlengenerators 

diese Verteilung erzeugen kann. Dazu integrieren wir Gl. (4.20): 

∫ s 

s 1 

˜P (s ′ ) ds ′ = 

∫ r 

0 

P (r ′ ) dr ′ = r(s) . (4.22) 

Sofern die Integration ausführbar ist, erhält man r(s), also die Umkehrfunktion der gesuchten 

Funktion s(r). Eine analytische Lösung erhält man also nur, wenn es einem 

gelingt, sowohl die Wahrscheinlichkeitsdichte zu integrieren als auch von dem Resultat 

die Umkehrfunktion zu bilden. 

Beispiel: Um Zufallszahlen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ˜P (s) = 1/s auf dem Intervall 

[1, e] zu erzeugen, führt man die Integration 

r(s) = 

∫ s 

aus und bildet die Umkehrfunktion s(r) = exp(r). 

1 

1 

s ′ ds′ = ln(s) 

Bei Wahrscheinlichkeitsdichten mit mehreren Argumenten kann auf ähnliche Weise verfahren 

werden. Ausgangspunkt ist hier die Gleichung 

P (r 1 , r 2 , . . . , r n )dr 1 dr 2 · · · dr n = P (s 1 , s 2 , . . . , s n )ds 1 ds 2 · · · ds n (4.23) 

Die zu Gl. (4.21) analoge Gleichung lautet 

˜P (s) = P (r) 

J , (4.24) 



wobei J = |∂s i /∂r j | die Jacobi-Determinante ist. 

4.3.2 Sampling und Histogramme 

Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung 

bzw. eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichte 

kann man auf einem Rechner 

durch sogenanntes Sampling approximieren. 

Dazu wird die entsprechende Zufallsgröße 

durch wiederholtes Ziehen einer 

Zufallszahl (und ggf. Abbildung durch eine 

Funktion) in großer Anzahl erzeugt und 

“gesampelt”, was bedeutet, dass die relativen 

Häufigkeiten der zu erwartenden Ergebnisse 

bestimmt werden. 

Sampling diskreter Zufallsgrößen: 

As Beispiel betrachten wir zunächst eine diskrete Zufallsgröße r, die Werte aus einer 

diskreten Menge r ∈ Ω mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten P (r) erzeugt. Wenn man 

mit Hilfe dieser Zufallsgröße N unabhängige zufällige Werte erzugt und die Anzahl der 

jeweiligen Ergebnisse zählt, dann wird das Resultat r in diesem Datensatz n r mal auftreten, 

wobei ∑ r∈Ω n r = N ist. Das Resultat r i tritt in diesem Datensatz also mit der 

relativen Häfuigkeit H(r) = n r /N auf. Eine grafische Darstellung von H(r) gegen r als 

Balkendiagramm bezeichnet man als Histogramm. 

Die relative Häufigkeit H(r) approximiert die Wahrscheinlichkeit P (r), mit der dieses Ereignis 

stattfindet, und obwohl Wahrscheinlichkeitstheoretiker darüber viele Seiten schreiben 

können, ist es intuitiv klar, dass für große N diese Abschätzung immer besser wird 

und schließlich im Limes N → ∞ gegen die tatsächliche Wahrscheinlichkeit konvergiert. 

In der realen Welt und insbesondere mit einem realen Computer lässt sich dieser Limes 

allerdings nicht erreichen, und so stellt sich die Frage, wie aussagekräftig ein Histogramm 

ist. 

Beispiel: Histogramm eines Würfels: Um zu testen, ob ein Würfel gleichverteilt ist, würfeln 

wir 6.000.000 mal. Nehmen wir an, dass wir dabei die Ereigniszahlen (event counts) r 1 = 

1.003.405, r 2 = 1.001.785, r 3 = 998.443, r 4 = 998.572, r 5 = 997.815, r 6 = 999.980 erhalten. 

Obwohl diese Ergebnisse eine Gleichverteilung zu bestätigen scheinen, ist es nicht klar, ob 

der Würfel tatsächlich exakt gleichverteilt ist. 

Um diese Frage zu beantworten, kann man sich vorstellen, den Sampling-Vorgang mehrfach 

durchzuführen. Die jeweils erzeugten Histogramme wird dabei geringfügig verschieden 

sein, d.h. die Höhe (bzw. Fläche) der Histogrammbalken fluktuiert. Diese Streuung 

reflektiert die zu erwartende Ungenauigkeit des Histogramms, die man als Fehlerbalken 

darstellen kann und die von Balken zu Balken verschieden ist. 

Man kann aber auch direkt die Streuung vorhersagen, wenn man sich vergegenwärtigt, 

dass der Zufallsprozess des Samplings einer Binomialverteilung folgt, d.h. die Wahrscheinlichkeit 

B dass ein gegebenes Ereignis r mit gegebener Wahrscheinlichkeit P (r) in einem 



Sampling-Vorgang mit N Versuchen genau n r mal auftritt, ist gegeben durch: 

( ) N 

B[n r |P (r)] = P (r) nr [1 − P (r)] 1−nr . (4.25) 

n r 

Diese Binomialverteilung hat den Mittelwert ¯n r = NP (r) und die Varianz 

σ 2 = (∆n r ) 2 = NP (r)[1 − P (r)] . (4.26) 

Wenn P (r) hinreichend klein ist, ist also der zu erwartende relative Fehler der Histogrammbalken 

durch 

∆n r 

≈ √ 1 

(4.27) 

n r nr 

gegeben. Das bedeutet, dass die tatsächliche Wert P (r) mit 68.3% Wahrscheinlichkeit innerhalb 

dieses Fehlerbalkens liegt – denn dies ist gerade die Fläche der Binomialverteilung 

innerhalb ihrer eigenen Standardabweichung. 

In Forschung und Technik ist es heute üblich, sogenannte Konfindenzniveaus (engl: confidence 

levels) zu benutzen, die in Vielfachen der Standardabweichung gemessen und 

deshalb mit 1σ, 2σ, 3σ usw. bezeichnet werden. Die entsprechenden Vertrauenswahrscheinlichkeiten 

sind 

1σ 2σ 3σ 

68.3% 95.4% 99.7% 

Misst man z.B. in einem Sampling die relative Häufigkeit H(r) = n r /N für das Ergebnis 

r, dann liegt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit P (r) mit 99.7% Wahrscheinlichkeit 

(3σ-confidence) im Intervall [P (r) − 3/ √ nr, P (r) + 3/ √ nr]. 

Auch Experimente können eine Fehleranalyse dieser Art erfordern. Dies gilt vor allem 

für Experimente in der Hochenergiephysik, in denen Teilchendetektoren diskrete Events 

liefern. 

Merke: Die Ungenauigkeit eines Histogrammbalkens ist von der Größenordnung 1/ √ n, 

wobei n die Anzahl der Sampling-Events ist, die auf diesen Histogrammbalken entfallen. 

4.3.3 Normalverteilte Zufallszahlen 

Zufallszahlen s ∈ R mit der Wahrscheinlichkeitsdichte 

P (s) = 1 ( ) 

σ √ 2π exp (s − µ)2 

− 

2σ 2 

(4.28) 

heißen normalverteilt. Diese nach ihrem Entdecker benannte Gaußverteilung in Form 

einer Glockenkurve spielt eine zentrale Rolle in der statistischen Physik. 

Die Gaußverteilung ist normiert (d.h. ∫ +∞ 

−∞ 

P (s)ds = 1), hat den Mittelwert 

〈s〉 = 

∫ +∞ 

−∞ 

sP (s) ds = µ (4.29) 



und die Varianz 

〈(s − 〈s〉) 2 〉 = 

∫ +∞ 

−∞ 

(s − µ) 2 P (s) ds = σ 2 . (4.30) 

Die beiden Parameter µ und σ legen also den Mittelwert und die Standardabweichung 

der Verteilung fest. 

Wir wollen nun versuchen, die Standard-Gaußverteilung mit µ = 0 und σ = 1 zu erzeugen 

indem wir eine gleichverteilte Zufallszahl r auf geeignete Weise abbilden. Integriert man 

die Gaußverteilung auf die oben beschriebene Weise, so erhält man 

∫ s 

1 

r(s) = √ e −s′2 /2 ds ′ = 1 ( 

1 + erf(s/ √ ) 

2) , (4.31) 

2π 2 

−∞ 

wobei erf(x) die sogenannte Fehlerfunktion (error function) ist. Allerdings gibt es keinen 

geschlossenen Ausdruck für diese Funktion und sie ist deshalb auch nicht in geschlossener 

Form invertierbar. Mit anderen Worten: Obwohl die gesucht Abbildung s(r) im 

mathematischen Sinne existiert, ist sie nicht mit Hilfe einer Formel ausdrückbar. Das 

oben beschriebene Verfahren ist also in diesem Fall nicht anwendbar. 

4.3.4 Box-Muller Transformation 

Einen Ausweg bietet die sogenannte Box-Muller-Transformation, mit der man zwei Zufallszahlen 

auf einmal erzeugt. Beide sind normalverteilt sind, d.h. 

P (x) dx = 

1 

√ 

2π 

e −x2 /2 dx (4.32) 

P (y) dy = 

1 

√ 

2π 

e −y2 /2 dy . 

Ausserdem sollen die Zufallszahlen unkorreliert sein, die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte 

soll also faktorisieren: 

P (x, y) dxdy = 1 ( 

2π exp − x2 + y 2 ) 

dxdy . (4.33) 

2 

Ansatzpunkt der Box-Muller-Transformation ist ein Wechsel zu Polarkoordinaten 

ρ = x 2 + y 2 , Θ = arctan(y/x) . (4.34) 

Dabei beachte man, das ρ nicht wie sonst üblich der Radius, sondern das Quadrat des 

Radius ist. Gemäß Gl. (4.24) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in den neuen Koordinaten 

durch 

˜P (ρ, Θ) = 1 P (x, y) (4.35) 

J 

gegeben, wobei 

J = 

∣ ∂(ρ, Θ) 

∣∣∣∣ ∂ρ 

∣ ∂(x, y) ∣ = ∂x 

∂Θ 

∂x 

∂ρ 

∂y 

∂Θ 

∂y 

∣ ∣ ∣∣∣ ∣ = 2x 2y ∣∣∣ 

− 

y x = 2 , (4.36) 

x 2 +y 2 x 2 +y 2 

die Jacobi-Matrix der Abbildung ist. Die transformierte Wahrscheinlichkeitsdichte lautet 

also 

˜P (ρ, Θ) = 1 2 P (x, y) = 1 1 

2 2π e−ρ/2 . (4.37) 



Man beachte, dass dieses Ergebnis nur von ρ aber nicht von Θ abhängt. Die beiden 

Zufallszahlen sind also bezüglich Θ auf dem Intervall [0, 2π] mit einer konstanten Wahrscheinlichkeitsdichte 

1 

2π 

gleichverteilt. Bezüglich ρ besteht keine Gleichverteilung, deshalb 

benötigt man hier eine Abbildungsfunktion r → ρ, die nach dem zuvor beschriebenen 

Verfahren ermittelt wird. Dazu wird das Ergebnis in Gl. (4.37) über Θ und ρ integriert 

und die Umkehrfunktion gebildet: 

r(ρ) = 1 2 

∫ ρ 

0 

e −ρ′ /2 dρ ′ = 1 − e −ρ/2 =⇒ ρ(r) = −2 ln(1 − r) (4.38) 

Da r eine gleichverteilte Zufallszahl zwischen 0 und 1 ist, haben r und 1 − r statistisch 

identische Eigenschaften, so dass man auch ρ(r) = −2 ln r setzen kann. Mit dieser Abbildung 

lassen sich Standard-Zufallszahlen r ∈ [0, 1] leicht in den quadrierten Radius ρ 

umrechnen. 4 Anschließend müssen ρ und Θ nur noch in die entsprechenden kartesischen 

Koordinaten x, y umgerechnet werden. Die beiden normalverteilten Zufallszahlen lassen 

sich also beispielsweise mit folgendem Codefragment erzeugen: 

... 

// ***************** Box-Muller-Transformation ******************** 

double q,r,theta,rho,x,y; 

q=rnd(); 

// Erzeuge zwei Zufallszahlen 

r=rnd(); // q und r gleichverteilt in [0,1] 

theta = 2*M_PI*q; 

// Berechne gleichverteilten Winkel 

rho = - 2*log(r); // Benutze Abbildungsfunktion 

x = sqrt(rho)*cos(theta); // erste Gauß-verteilte Zufallszahl 

y = sqrt(rho)*sin(theta); // zweite Gauß-verteilte Zufallszahl 

... 

4 Der Logarithmus von 0 ist nicht definiert und würde zu einer Fehlermeldung führen. Obwohl die 

Wahrscheinlichkeit für den Wert r = 0 für einen idealen Zufallszahlengenerator gleich Null ist, ist es 

nicht ausgeschlossen, dass ein Pseudozufallszahlengenerator wegen der Diskretisierung mit einer sehr 

kleinen Wahrscheinlichkeit diesen Wert liefert. Ein verbesserter Code sollte dieses Problem durch eine 

zusätzliche Abfrage umgehen. 



4.3.5 Verbesserte Box-Muller Transformation 

Das obige Codefragment funktioniert einwandfrei, doch ist es relativ langsam, da zwei 

trigonometrische Funktionen und ein Logarithmus ausgeführt werden müssen. Zur Berechnung 

solcher Funktionen stellen moderne Prozessoren zwar integrierte hocheffiziente 

Hardware zur Verfügung, doch auch in solchen Chips muss eine Sinusfunktion über eine 

Reihendarstellung approximiert werden. 

Die verbesserte Box-Muller Transformation benutzt einen Trick, um Winkelfunktionen 

zu vermeiden. Um Zufallszahlen auf einer Kreisscheibe zu erzeugen, werden zunächst zwei 

gleichverteilte Zufallszahlen x s , y s zwischen −1 und 1 generiert. Anschaulich ausgedrückt 

wird dadurch ein Quadrat [−1, 1] ⊗ [−1, 1] ⊂ R 2 gleichverteilt mit Zufallszahlen belegt. 

Wenn die oben dargestellte Zielscheibe nicht getroffen wird, wenn also x 2 s + y 2 s > 1 ist, 

werden die Zufallszahlen einfach nochmal erzeugt: 

double xs,ys; 

do { 

xs = 2*rnd()-1; // Erzeuge zwei Zufallszahlen in [-1,1] 

ys = 2*rnd()-1; 

} // Wiederhole diesen Vorgang bis das 

while (xs*xs+ys*ys > 1); // Ergebnis im Einheitskreis liegt. 

Knapp ein Viertel der Versuche werden also erfolglos sein, doch die auf diese Weise 

verschwendete Rechenzeit ist immer noch geringer als jene, die für die Berechnung der 

Winkelfunktionen notwendig wäre. Die Zahlen x s und y s sind ausserdem bereits bezüglich 

des Winkels gleichförmig verteilt, doch die Radialverteilung hat noch nicht die gewünschte 

Form. So ist ρ s = x 2 s +ys 2 mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte auf dem Intervall [0, 1] 

verteilt, erzeugen möchte man jedoch die Verteilung 

˜P (ρ) = 

∫ 2π 

0 

dΘ ˜P (ρ, Θ) = 1 2 e−ρ/2 . (4.39) 

Die (x s , y s )-Vektoren müssen also noch auf geeignete Weise in ihrer Länge skaliert werden, 

um diese Verteilung zu erhalten. Dazu wird wiederum ˜P (ρ) integriert und die Umkehrfunktion 

gebildet: 

ρ s = 1 2 

∫ ρ 

0 

e −ρ′ /2 dρ ′ = 1 − e −ρ/2 =⇒ ρ = −2 ln(1 − ρ s ) (4.40) 

wobei wieder 1 − ρ s durch ρ s ersetzt werden darf, da ρ s gleichverteilt auf [0, 1] ist. Wegen 

x/x s = y/y s = √ ρ/ρ s gelangt man zu 

bzw. als Codefragment: 

x = x s 

√ 

−2 ln(ρs )/ρ s , y = y s 

√ 

−2 ln(ρs )/ρ s . (4.41) 

double rhos = xs*xs + ys*ys; 

double b = sqrt(-2*log(rhos)/rhos); 

double x = xs*b; 

double y = ys*b; 

Die verbesserte Box-Muller-Transformation erfordert also immer noch die Auswertung 

eines Logarithmus, vermeidet jedoch die beiden Winkelfunktionen und ist daher etwas 

schneller. 



4.3.6 Umgang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Mathematica R○ 

Für kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichten sieht Mathematica R○ einen eigenen Datentyp 

vor. Zunächst muss dazu der Befehl 


Erzeugen Sie die Summe 

s = 

N∑ 

i=1 

von N reellen Zufallszahlen r i , die gleichförmig über das Intervall r i ∈ [0, 1] verteilt sind. 

Überzeugen Sie sich, dass für große N der Mittelwert 〈s〉 und die Standardabweichung σ 

durch 

〈s〉 = N/2 , σ 2 = 〈s 2 〉 − 〈s〉 2 = N/12 

gegeben sind, wobei 〈. . .〉 die Mittelung über viele statistisch unabhängig erzeugte Summen 

s bezeichnet. 

Führen Sie dann die Summation für fest gewähltes N = 10, 100, 1000 mit unabhängigen 

Zufallszahlen viele Male durch und plotten Sie die gemittelte Häufigkeitsverteilung der 

Summen s in einem Histrogramm. Vergleichen Sie das Resultat mit der Gaußverteilung 

P (s) = 1 [ ] 

−(s − 〈s〉) 

2 

σ √ 2π exp 2σ 2 . 

r i 

Aufgabe 4.9 

(Umrechnung von Wahrscheinlichkeitsdichten) 

Gegeben sei die Wahrscheinlichkeitsdichte 

P (x, y) = 

{ α−1 

2π (x2 + y 2 ) −(α+1)/2 falls x 2 + y 2 > 1 

0 andernfalls 

. (4.42) 

(a) Schreiben Sie ein Programm, das Paare von Zufallszahlen (x, y) generiert, die gemäß 

der Wahrscheinlichkeitsdichte P (x, y) verteilt sind, wobei α > 1 ein reeller 

Parameter ist. 

Hinweis: Die Verfahrensweise ist ähnlich wie bei der Box-Muller-Transformation. 

(b) Erstellen Sie für α = 2 ein Histogramm für N = 10 7 solche Paare im Wertebereich 

(x, y) ∈ [−5, 5] ⊗ [−5, 5] mit der Auflösung ∆x = ∆y = 1/100. Normieren Sie das 

Histogramm auf geeignete Weise, so dass es die Wahrscheinlichkeitsdichte P (x, y) 

approximiert. 

Hinweis: In C++ erfordert dies eine Laufzeit von ca. 10 Sekunden. Mathematica ist 

erheblich langsamer, – hier müssen die Parameter evt. angepasst werden. 

(c) Plotten Sie einen Schnitt bei y = 0 durch das Histogramm und überlagern Sie die 

Kurve der vorgegebenen Verteilung P (x, 0) für α = 2. 

Aufgabe 4.10 

(Populationsdynamik) 

Untersuchen Sie eine Kolonie von Bakterien, die innerhalb einer Sekunde mit jeweils 

gleicher Wahrscheinlichkeit entweder sterben oder sich in jeweils zwei Bakterien teilen. 

Schreiben Sie ein Programm, das diesen Vorgang simuliert, wobei es mit einem einzelnen 

Bakterium startet. Wie groß ist die mittlere Bakterienanzahl und die Überlebenswahrscheinlichkeit 

der Kolonie nach n Zeitschritten? Tragen Sie das Ergebnis grafisch bis 

n = 100 auf. 


5 Zufallsbewegung 

Der einfachste stochastische Prozess ist die zufällige Bewegung (random walk) eines Teilchens. 

Zufallsbewegungen sind in der Natur auf vielfältige Weise realisiert. So bewegt 

sich beispielsweise ein individuelles Molekül in einem Gas auf einer irregulären Trajektorie, 

die sich wegen der komplexen Abfolge von Wechselwirkungen mit anderen Molekülen 

aus (scheinbar) zufälligen Einzelbewegungen zusammensetzt. Der random walk ist also 

für unser Verständnis von Diffusionsprozessen und später auch für diffusionsgetriebener 

chemische Prozesse von grundlegender Bedeutung. 

5.1 Universalität der Gaußverteilung 

Da sich die aktuelle Koordinate eines random walkers aus der Summe aller Einzelbewegungen 

ergibt und diese Einzelbewegungen als unkorreliert angenommen werden, wollen 

wir im Folgenden zunächst die Addition von Zufallsgrößen behandeln. Daran anschließend 

wird dann mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes gezeigt werden, dass die Summe 

vieler Zufallsgrößen unter sehr allgemeinen Voraussetzungen immer normalverteilt ist, 

d.h. die Form einer Gauß-Glocke besitzt. 

5.1.1 Addition von Zufallsgrößen 

Seien r 1 , r 2 zwei gleichverteilte unkorrelierte Zufallszahlen 

zwischen 0 und 1. Dann ist die Summe S = 

r 1 + r 2 dieser beiden Zufallszahlen wiederum eine 

Zufallszahl zwischen 0 und 2. Allerdings ist S nicht 

mehr gleichverteilt, sondern besitzt eine dreiecksförmige 

Wahrscheinlichkeitsdichte. 

P(s) 

1 

0 1 

2 

s 

Wie berechnet man eine solche Verteilung auf systematische Weise? Als Beispiel betrachten 

wir zunächst zwei unkorrelierte Zufallsgrößen X 1 , X 2 mit Wahrscheinlichkeitsdichten 

P 1 (X 1 ), P 2 (X 2 ) und bilden deren Summe S = X 1 + X 2 . Wie man sich überzeugen kann, 

ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße S durch das Faltungsintegral 

P S (S) = [P 1 ∗ P 2 ] (S) 

= 

∫ +∞ 

−∞ 

dX 1 P 1 (X 1 )P 2 (S − X 1 ) (5.1) 

gegeben, womit sich die dreieckige Form der Verteilung P (S) im obigen Beispiel mit 

geeigneten Fallunterscheidungen leicht verifizieren lässt. 

Auf integrierbaren Funktionen sind Faltungsprodukte assoziativ, d.h. 

f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h , (5.2) 



so dass man Faltungsprodukte sehr einfach hintereinanderschalten kann. Betrachtet man 

beispielsweise n unkorrelierte Zufallsgrößen X 1 , . . . , X n mit Wahrscheinlichkeitsdichten 

P i (X i ) und bildet deren Summe S = ∑ n 

i=1 X i, so erhält man durch Hintereinanderausführung 

der Faltungsprodukte den Ausdruck 

P S (S) = [P 1 ∗ P 2 ∗ . . . ∗ P n ] (S) 

(5.3) 

∫ ∫ 

n−1 

∑ 

= . . . dX 1 dX 2 . . . dX n−1 P 1 (X 1 )P 2 (X 2 ) · · · P n−1 (X n−1 )P n (S − X i ) . 

Eine mehrfache Faltung ist also das Mehrfachintegral über ein Produkt von Funktionen 

derart, dass die Summe der Argumente auf der rechten Seite dem Argument auf der 

linken Seite entspricht. 

Beweis: Zum Beweis von Gl. (5.3) wollen wir das Problem auf die folgende noch allgemeinere 

Weise formulieren: Seien X 1, X 2, . . . , X n Zufallsgrößen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte 

P (X 1, X 2, . . . , X n), d.h. die Zufallsgrößen dürfen sogar korreliert sein. Ferner sei 

i=1 

S = F (X 1, X 2, . . . , X n) (5.4) 

eine beliebige Funktion dieser Größen. Offenbar tragen zur Wahrscheinlichkeitsdichte P (S) 

an der Stelle S alle jene Konfigurationen der Zufallsgrößen X 1, . . . , X n bei, welche durch 

diese Funktion auf S abgebildet werden, d.h. 

∫ ∫ ∫ 

( 

) 

P S(S) = dX 1 dX 2 . . . dX n P (X 1, X 2, . . . , X n) δ S − F (X 1, X 2, . . . , X n) , (5.5) 

wobei δ die Dirac’sche Deltafunktion ist. Auf der rechten Seite steht also die Zustandssumme 

gewichtet mit der Wahrscheinlichkeitsdichte der Zustände unter der Nebenbedingung, 

dass die Gl. (5.4) erfüllt ist. 

Dieses Integral lässt sich auswerten sofern Gl. (5.4) nach einer der Zufallsgrößen X i explizit 

auflösbar ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wollen wir annehmen, dass die 

Gleichung nach X n eindeutig auflösbar sei, also in der Form 

X n = G(X 1, X 2, . . . , X n−1, S) (5.6) 

geschrieben werden kann. Als notwendige Bedingung dafür muss die partielle Ableitung 

J(X 1, X 2, . . . , X n) = 

∂F (X1, X2, . . . , Xn) 

∂X n 

(5.7) 

von Null verschieden sein. Wegen δ(ax) = |a| −1 δ(x) ist also 

( 

) 

∣ 

δ S − F (X 1, X 2, . . . , X n) = ∣J(X 1, X 2, . . . , X n) ∣ −1 δ [ X n − G(X 1, X 2, . . . , X n−1, S) ] 

so dass man nun die Integration über X n ausführen kann: 

∫ ∫ ∫ ∣ )∣ ∣∣J ∣∣ 

−1 

P S(S) = dX 1 dX 2 . . . dX n−1 

(X 1, . . . , X n−1, G(X 1, X 2, . . . , X n−1, S) 

( 

) 

× P X 1, . . . , X n−1, G(X 1, X 2, . . . , X n−1, S) (5.8) 

Wir testen diesen sehr allgemeinen Ausdruck anhand zweier Beispiele: 

• Skalierung: Für n = 1 und S = F (X) = aX ist J = a und G(S) = S/a. Man erhält 

in diesem Fall den bekannten Ausdruck P S(S) = |a| −1 P S(S/a) für die Umskalierung 

einer Wahrscheinlichkeitsdichte. 

• Addition zweier Zufallsgrößen: Mit n = 2 und S = F (X 1, X 2) = X 1 + X 2 

erhält man J = 1 und G(X 1, S) = S − X 1, womit man auf das zuvor betrachtete 

Faltungsintegral geführt wird: 

∫ 

P S(S) = dX 1 P (X 1, S − X 1) . (5.9) 


5.1 Universalität der Gaußverteilung 77 

5.1.2 Faltungssatz 

Die bei der Addition von Zufallsgrößen auftretenden Faltungsintegrale für die Wahrscheinlichkeitsdichten 

können mit Hilfe des Faltungssatzes vereinfacht werden. Sei dazu 

̂P i (k) = √ 1 ∫ +∞ 

dX i e ikX i 

P i (X i ) (5.10) 

2π 

−∞ 

die Fouriertransformierte von P i (X i ), die in der Wahrscheinlichkeitstheorie aus als charakteristische 

Funktion bezeichnet wird. Nach dem Faltungssatz ist dann die Fouriertransformierte 

des Faltungsprodukts P S (S) = [P 1 ∗P 2 ] (S) bis auf einen Faktor gleich dem 

gewöhnlichen Produkt der Fouriertransformierten: 

̂P S (k) = √ 2π ̂P 1 (k)̂P 2 (k) (5.11) 

Durch Fouriertransformation lässt sich also ein Faltungsprodukt auf gewöhnliche Multiplikation 

zurückführen. 

Beweis: Die linke Seite von Gl. (5.11) ist gegeben durch 

̂P S(k) = 

= 

∫ 

1 +∞ 

√ dS e ikS P S(S) 

2π 

−∞ 

∫ 

1 +∞ 

∫ +∞ 

√ dS e ikS dX 1 P 1(X 1) P 2(S − X 1) . 

2π 

−∞ 

−∞ 

Vertauscht man nun die Integrale und substituiert S → S + X 1, so erhält man 

̂P S(k) = 

∫ 

1 +∞ 

∫ +∞ 

√ dX 1 dS e ik(S+X1) P 1(X 1) P 2(S) 

2π 

−∞ 

−∞ 

= √ ( ∫ 1 +∞ 

) ( ∫ 

2π √ dX e ikX 1 +∞ 

P 1(X) √ 

2π 2π 

−∞ 

= √ 2π ̂P 1(k)̂P 2(k) . 

−∞ 

) 

dX e ikX P 2(X) 

Der Faltungssatz ist auch auf die Faltung von mehr als zwei Funktionen wie in Gl. (5.3) 

anwendbar und lautet: 

̂ 

] 

̂P S (k) = 

[P 1 ∗ P 2 ∗ . . . ∗ P n = (k) (2π)(n−1)/2 ̂P1 (k)̂P 2 (k) · . . . · ̂P n (k) (5.12) 

Bei identische Verteilungen P 1 = P 2 = . . . = P läuft dies auf eine Potenzierung der 

Fouriertransformierten hinaus: 

̂P S (k) = (2π) (n−1)/2 ( ̂P (k)) n . (5.13) 

5.1.3 Transformierte Wahrscheinlichkeitsdichte eines Standardgenerators 

Um die Anwendung des Faltungssatzes zu demonstrieren, bilden wir zunächst die Fouriertransformierte 

der gleichverteilten Wahrscheinlichkeitsdichte 

P (r) = 

{ 1 falls 0 ≤ r ≤ 1 

0 andernfalls 

(5.14) 



^ 

Re(P(k)) 

0.4 

0.3 

0.2 

^ 

|P(k)| 

0.1 

-10 -5 5 10 

-0.1 

k 

^ 

Im(P(k)) 

-0.2 

-0.3 

Abbildung 5.1: Betrag sowie Real- und Imaginärteil der Fouriertransformierten der Verteilungsfunktion 

eines Standard-Zufallszahlengenerators. 

eines Standard-Zufallszahlengenerators: 

̂P (k) = √ 1 ∫ +∞ 

e ikr P (r) dr = 1 ∫ 1 

√ 

2π 2π 

−∞ 

0 

e ikr dr = i(1 − eik ) 

k √ 2π 

(5.15) 

Die Singularität bei k = 0 ist hebbar, so dass man eine stetige Funktion erhält, die in 

Abb. 5.1 abgebildet ist. Wie man sehen kann, befindet sich das betragsmäßige Maximum 

der Funktion in der Mitte bei k = 0. 

Beispiel: Die folgenden Mathematica R○ -Befehle führen die Faltung von n Standardzufallszahlen 

mit Hilfe des Faltungssatzes aus: 

1. Berechne Fouriertransformierte der Verteilung einer Standard-Zufallszahl 

FT = 

∫ 10 e ikr dr 

√ 2π 

− i(−1+eik ) 

k √ 2π 

2. Bilde n -te Potenz des Ergebnisses und transformiere zurück: 

FTP[n_]:=(2π) n−1 

2 FT n ; P [n_]:=InverseFourierTransform[FTP[n], k, r] 

3. Plotte das Ergebnis für n =2,3,4,5: 

Plot[{P [2], P [3], P [4], P [5]}, {r, −1, 5},PlotRange → {0, 1}]; 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

-1 1 2 3 4 5 

Wie man an diesem Beispiel sehen kann, ist schon die Summe weniger Zufallszahlen an- 


5.1 Universalität der Gaußverteilung 79 

^ 

|P(k)| N 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

-15 -10 -5 5 10 15 

k 

-15 -10 -5 5 10 15 

-2 

-4 

-6 

-8 

-10 

N ln |P(k)| ^ 

Abbildung 5.2: Betrag von (2π) (N−1)/2 |P S(k)| N für N = 2, 4, 8, 16, 32 in linearer und logarithmischer 

Darstellung. Durch die Potenzierung überlebt im Limes großer N nur der Bereich in 

der Nähe des Maximums der Funktion. 

k 

nähernd normalverteilt. Wenn es auf quantitative Genauigkeit nicht ankommt, wird in der 

Praxis die Summenbildung häufig als Trick benutzt, um quasi-normalverteilte Zufallszahlen 

zu erzeugen. Für quantitive Probleme in der Physik ist die Box-Müller-Transformation 

allerdings besser geeignet. 

Mit der fouriertransformierten Wahrscheinlichkeitsdichte des Standardzufallszahlengenerators 

und dem Faltungssatz sind wir nun in der Lage, die Verteilungsfunktion für eine 

Summe von N Zufallszahlen auszurechnen und den Limes N → ∞ zu untersuchen. 

5.1.4 Zentraler Grenzwertsatz 

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass bei Addition sehr vieler Zufallsgrößen die Wahrscheinlichkeitsdichte 

der Summe in der Regel gegen eine Gaußverteilung konvergiert. 

Ausgedrückt in akustischen Metaphern heißt dies, dass sich das Konzert einer großen 

Anzahl unkorrelierter Rauschquellen stets gleich anhört da man stets ein normalverteiltes 

sogenanntes weisses Rauschen erhält. 

Die Voraussetzungen für zentralen Grenzwertsatz sind sehr allgemein. So spielt es beispielsweise 

keine Rolle, wie die jeweiligen Verteilungen der Zufallsgrößen konkret aussehen, 

sofern diese im Unendlichen nur schnell genug abfallen. Der zentrale Grenzwertsatz 

ist damit paradigmatisch für Universalität in der statistischen Physik. Der Begriff der 

Universalität umschreibt die Tatsache, dass mikroskopisch völlig unterschiedliche Systeme 

das gleiche makroskopische Verhalten aufweisen können. 

Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass N gleichartig verteilte Zufallsgrößen 

aufaddiert werden. Gl. (5.12) wird dann zu 

̂ 

P (N) 

S 

(k) = (2π) (N−1)/2 [ ̂P (k)] N (5.16) 

Betrachtet man nun große N, so wird sich der betragsmäßig maximale Bereich der Funktion 

̂P (k) zunehmend durchsetzen. Dieser Sachverhalt ist in Abb. 5.2 dargestellt. Der 

linke Graph zeigt verschiedene Potenzen von | ̂P (k)|, wobei die Kurven bei k = 0 auf den 



gleichen Wert normiert sind. Wie man sehen kann, setzt sich für große N das betragsmäßige 

Maximum der Kurve durch und bildet eine zunehmend δ-förmige Verteilung, 

während die detailreiche Struktur der Kurve für k ≠ 0 mit zunehmendem N immer 

mehr unterdrückt wird. Diese Details sind es aber, welche die rechteckige Struktur der 

ursprünglichen Verteilung codieren. 

Da die Kurve eine bei k = 0 konzentrierte Form annimmt, ist es nützlich, den Logarithmus 

von [ ̂P (k)] N zu betrachten, dessen Betrag im rechten Graphen dargestellt ist. In dieser 

Darstellung bewirkt die Potenzbildung eine Streckung der Kurven um den Faktor N in 

senkrechter Richtung. Wie man sehen kann, erhält man für große N in der Nähe von 

k = 0 annähernd eine nach unten geöffnete Parabel. 

Die Beweisidee für den zentralen Grenzwertsatz beruht darauf, ln[̂P S (k)] durch eine Parabel 

näherungsweise zu beschreiben, also eine Taylorentwicklung zweiter Ordnung 

] [ 

ln[̂PS (k) = ln (2π) (N−1)/2 [ ̂P (k)] N] = a + bk − ck 2 + O(k 3 ) (5.17) 

durchzuführen, wobei a, b und c Koeffizienten sind, die von N abhängen. In dieser Näherung 

ist 

̂P S (k) ≈ exp(a) exp(bk − ck 2 ) (5.18) 

nämlich eine Gaußverteilung, deren Fouriertransformierte wiederum eine Gaußverteilung 

ist. Der lineare Anteil in k kann dabei durch quadratische Ergänzung absorbiert werden. 

Da man von den höheren Ordnungen der Taylorentwicklung zeigen kann, dass deren 

Beiträge für N → ∞ gegen Null skalieren, bleibt in diesem Limes tatsächlich die Normalverteilung 

als Grenzwert übrig. 

Beispiel: Bei der Addition von N Standard-Zufallszahlen S = ∑ N 

i=1 

ri mit ri ∈ [0, 1] ist 

ln 

⇒ 

(N) ̂P 

S 

(k) = N − 1 ln 2π + N ln 

2 

̂P (k) 

≃ − 1 2 ln 2π − ikN 2 − k2 N 

24 + O(k3 ) 

̂P 

(N) 

S 

(k) ≃ 

−∞ 

1 

( 

√ exp − ikN 

2π 2 

− k2 N 

) 

24 

Nach Ausführung der inversen Fouriertransformation erhält man in der Tat die Normalverteilung 

P (N) 

S 

= √ 1 ∫ +∞ 

√ ( 

(N) 

6 

dk ̂P 

S 

(k) = 

2π Nπ exp − 6 ) 

N (r − N/2)2 (5.19) 

Wie man leicht zeigen kann, ist diese Verteilung korrekt normiert. Mittelwert und Varianz 

sind gegeben durch 

〈r〉 = N/2 σ 2 = 〈r 2 〉 − 〈r〉 2 = N/12 (5.20) 

5.2 Die eindimensionale Zufallsbewegung 

Um die grundlegenden Begriffe stochastischer Vielteilchensysteme an einem einfachen 

Beispiel einzuführen, betrachten wir zunächst eine Zufallsbewegung (random walk) eines 

einzigen Teilchens in einer Dimension. Wir wollen annehmen, dass sich das Teilchen auf 


5.2 Die eindimensionale Zufallsbewegung 81 

Abbildung 5.3: Eindimensionale Zufallsbewegung (random walk). Ein Teilchen springt in jedem Zeitschritt 

mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach rechts bzw. nach links. 

einer Kette mit diskreten Plätzen (sites) befindet (siehe Abb. 5.3). Der Zustand, also 

die Konfiguration des Systems, ist vollständig durch die Position x(t) ∈ Z des Teilchens 

charakterisiert. Die Dynamik des Systems sei nun dadurch definiert, dass in jedem Zeitschritt 

das Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach rechts oder nach links springt. 

Die Zeit t ∈ N ist also ganzzahlig und gleich der Anzahl der ausgeführten Sprünge. 

Die Dynamik lässt sich durch eine stochastische Bewegungsgleichung 

x(t + 1) = x(t) + R(t) (5.21) 

beschreiben, wobei R(t) eine bimodal verteilte Zufallsgröße ist, d.h. sie nimmt nur zwei 

mögliche Werte an. R(t) hat folgende Eigenschaften: 

- Wertebereich: R(t) = ±1 

- Mittelwert: 〈R(t)〉 = 0 

- Korrelationsfreiheit: 〈R(t)R(t ′ )〉 = δ t,t ′ 

Diese Dynamik lässt sich beispielsweise in C++ durch die Befehlszeilen 

if (rnd()


und hat die Struktur eines normierten Pascal-Dreiecks. Die Fallunterscheidung ist erforderlich, 

weil sich das Teilchen sich bei dem betrachteten Prozess zu geraden (ungeraden) 

Zeitschritten nur auf geraden (ungeraden) Plätzen aufhalten kann. Für große Zeiten approximiert 

die Binomialverteilung wie erwartet die Gaußsche Normalverteilung. 

5.2.2 Kontinuumlimes 

Zum Verständnis der makroskopischen Eigenschaften eines stochastischen Prozesses ist 

es oft nützlich, einen geeigneten Kontinuumlimes zu betrachten, in dem die diskrete Gitterstruktur 

und die diskreten Zeitschritte nicht mehr sichtbar sind. Dabei geht man zu 

kontinuierlichen Parametern über (hier also zu x, t ∈ R) und beschreibt die Wechselwirkung 

mit benachbarten Plätzen durch geeignete Differentialoperatoren. 

Im Fall der eindimensionalen Zufallsbewegung subtrahieren wir zunächst P t (x) auf beiden 

Seiten der Mastergleichung (5.23): 

P t+1 (x) − P t (x) = 1 ( 

) 

P 

} {{ } 

t (x − 1) − 2P t (x) + P t (x + 1) (5.25) 

2 } {{ } 

≈ ∂/∂ t 

≈ ∂ 2 /∂x 

2 

Ohne hier auf die mathematisch korrekte Durchführung eines Kontinuumlimes eingehen 

zu wollen, sieht man sehr leicht, dass sich auf der linken Seite eine diskretisierte erste 

Ableitung nach der Zeit befindet, während auf der rechten Seite eine diskretisierte zweite 

Ableitung zu sehen ist. Im Kontinuumlimes erhält man also die Differentialgleichung 

∂ 

∂t P t(x) = D ∇ 2 P t (x) , (5.26) 

die als Diffusionsgleichung bzw. Wärmeleitungsgleichung bekannt ist. Dabei ist D = 1/2 

die sogenannte Diffusionskonstante, welche die Geschwindigkeit des Diffusionsprozesses 

bestimmt. Würden x und t physikalische Einheiten tragen, hätte D die gleiche Dimension 

wie x 2 /t. Man beachte ausserdem, dass P t (x) nun eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichte 

ist. Eine partielle Differentialgleichung wie die obige Diffusionsgleichung, welche 

die Zeitentwicklung einer Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt, wird in allgemeineren 

Zusammenhängen auch als Fokker-Planck-Gleichung bezeichnet. 

Bemerkung: Aus der Quantentheorie kennen Sie die zeitabhängige Schrödingergleichung 

eines freien Teilchens 

i∂ tψ(⃗x, t) = ˆp2 

2 

ψ(⃗x, t) = − 

2m 2m ∇2 ψ(⃗x, t) . (5.27) 

Diese Gleichung ist formal äquivalent zur Diffusionsgleichung bis auf den Faktor i auf der 

linken Seite, wobei /2m die Rolle der Diffusionskonstante spielt. Diese Analogie ist sehr 

grundlegend. In vielen Fällen lassen sich nämlich Probleme aus der statistischen Physik 

mit reellen Wahrscheinlichkeiten auf Probleme der Quantentheorie mit komplexen Phasen 

durch analytische Fortsetzung abbilden und umgekehrt. Überspitzt könnte man sagen, dass 

sich Quantentheorie und statistische Physik in formaler Hinsicht nur durch ein i voneinander 

unterscheiden. 

Die Lösung der Diffusionsgleichung (∂ t − D∇ 2 )P t (x) = 0 für ein am Ursprung x = 0 

startendes Teilchen ist wie erwartet eine Normalverteilung: 

P t (x) = 

1 

√ 

4πDt 

e −x2 /(4Dt) 

(5.28) 


5.2 Die eindimensionale Zufallsbewegung 83 

Die Breite (Streuung σ) dieser Gaußglocke wächst wie √ t. Wegen der Normierungsbedingung 

wird ausserdem ein zeitabhängiger Vorfaktor erforderlich. 

5.2.3 Skalierungseigenschaften der Diffusionsgleichung 

Die Diffusionsgleichung (∂ t − D∇ 2 )P t (x) = 0 ist relativ einfach zu lösen, doch nicht 

immer wird man im Kontinuumlimes auf eine solch einfache Gleichung geführt. Oftmals 

erhält man sogar partielle Differentialgleichungen, für die es keine geschlossene Lösung 

gibt. 

In den meisten Fällen kann man dennoch wesentliche Informationen dadurch gewinnen, 

dass man die Skalierungseigenschaften der Differentialgleichung untersucht. Man stellt 

sich dabei die Frage, unter welchen Bedingungen die Differentialgleichung unter Reskalierung 

x → x ′ = Λx (5.29) 

t → t ′ = Λ z t (5.30) 

P t (x) → P ′ t ′(x′ ) = Λ y P t (x) (5.31) 

forminvariant ist, wobei Λ > 0 der Reskalierungsparameter ist, also gewissermaßen ein 

Zoomfaktor, mit dem die Ortskoordinate gedehnt oder gestaucht werden kann. Der Zeitparameter 

und die Wahrscheinlichkeitsdichte werden ebenfalls reskaliert, wobei y und z 

noch zu bestimmende Exponenten sind. Forminvarianz bedeutet, dass die DGL in den 

gestrichenen Größen die gleiche Form wie in den ungestrichenen Größen besitzt, d.h. 

Daraus ergibt sich 

(∂ t ′ − D∂ 2 x ′)P ′ t ′(x′ ) = 0 . (5.32) 

(Λ −z ∂ t − DΛ −2 ∂ 2 x)Λ y P t (x) = 0 . (5.33) 

Offenbar ist die Gleichung nur erfüllbar sofern z = 2 ist. Ist in diesem Fall P t (x) eine 

Lösung der DGL, dann ist auch Λ −y P Λ 2 t(Λx) eine Lösung, es gilt also 

P t (x) = Λ −y P Λ 2 t(Λx) für alle Λ > 0 . (5.34) 

Weil der Reskalierungsparameter Λ frei wählbar ist, darf man eine spezielle Wahl vornehmen. 

Mit Λ = t −1/2 ergibt sich 

P t (x) = t y/2 f(x/ √ t) , (5.35) 

wobei f(ξ) = P 1 (ξ) eine sogenannte Skalenfunktion ist. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte 

muss für alle Zeiten normiert sein, d.h. 

∫ 

∫ +∞ 

1 = dxP t (x) = dx t y/2 f(x/ √ t) = √ ∫ +∞ 

t t y/2 du f(u) ∀t (5.36) 

−∞ 

woraus folgt, dass y = −1 ist. Skaleninvarianz impliziert also, dass die gesuchte Lösung 

die Skalenform 

P t (x) = f(x/√ t) 

√ 

t 

(5.37) 

erfüllt. Ein Vergleich mit der Lösung (5.28) bestätigt, dass dies in der Tat der Fall ist. 

Die Hypothese der Skaleninvarianz führt also eine Funktion mit zwei Parametern t und 

x auf ein Potenzgesetz multipliziert mit einer Funktion von nur einem Parameter x/ √ t 

zurück. 

−∞ 



5.3 Diffusion in höheren Dimensionen 

5.3.1 Entkopplung orthogonaler Freiheitsgrade 

Eine Zufallsbewegung in höherdimensionalen Räumen lässt sich in kartesischen Koordinaten 

additiv aus eindimensionalen Zufallsbewegungen zusammensetzen. In zwei Dimensionen 

könnte z.B. dies durch die Befehlssequenz 

if (rnd()

5.3 Diffusion in höheren Dimensionen 85 

5.3.2 Rückkehrwahrscheinlichkeit 

Wenn Sie morgens Ihre Kaffeemaschine 

anschalten, – wie lange 

wird es dauern, bis Sie den 

Kaffeeduft zum ersten Mal wahrnehmen 

können? Oder: Mit welcher 

Wahrscheinlichkeit findet ein 

Betrunkener wieder nach Hause? 

Fragestellungen dieser Art werden 

in der statistischen Physik 

als first-passage oder first-return- 

Probleme bezeichnet. 

In diesem Buch [13] finden Sie alles zu Rückkehrproblemen. 

Wir wollen hier die Frage stellen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein am Ursprung startendes 

Teilchen, das eine Zufallsbewegung in einer Dimension ausführt, wieder zum Ursprung 

zurückkehrt. Mit dem in Abschnitt 5.2 benutzten Modell wird das Teilchen im 

ersten Zeitschritt nach links bzw. rechts springen und kehrt dann im zweiten Zeitschritt 

mit Wahrscheinlichkeit 1/2 zum Ursprung zurück. Bei zunehmender Zeit nimmt die Rückkehrwahrscheinlichkeit 

R(t) immer weiter ab. Mit einem einfachen Programm kann man 

sich leicht davon überzeugen, dass die Rückkehrwahrscheinlichkeit im Ensemblemittel 

(also gemittelt über viele unabhänge Läufe) algebraisch abnimmt: 

R(t) ∼ t −3/2 . (5.39) 

Der Exponent − 3 2 

wird als Rückkehrexponent (engl. first-passage exponent) bezeichnet. 

Beweis: Dieses Ergebnis kann man verstehen, indem man den Kontiuumlimes betrachtet. 

Man stellt sich dazu vor, dass ein Ensemble von Teilchen am Ursprung startet und 

diejenigen Teilchen, die den Ursprung wieder erreichen, aus dem System entfernt werden. 

Im Kontinuumlimes entspricht das einer Dirichlet-Randbedingung P t(0) = 0 für die 

Wahrscheinlichkeitsdichte. Wegen des Verlusts von Teilchen erwartet man keine konstante 

sondern eine mit der Zeit abnehmende Normierung, die ein Maß dafür ist, welcher Anteil 

von Teilchen den Ursprung noch nicht wieder erreicht hat. 

Mathematisch suchen wir also eine Lösung der Diffusionsgleichung unter der Randbedingungen 

P t(0) = 0. Setzt man den faktorisierenden Ansatz 

P t(x) = g(x)t −α e −x2 /4Dt 

(5.40) 

in die Diffusionsgleichung (∂ t − D∂ 2 x)P t(x) = 0 ein, so wird man auf die Gleichung (2α − 

1)g(x) − 2xg ′ (x) + 2Dtg ′′ (x) = 0 geführt. Diese ist nur dann t-unabhängig wenn g ′′ (x) = 0 

ist. Man erhält mit diesem Ansatz zwei unabhängige Lösungen, nämlich für g(x) = 1 die 

sich sich verbreiternde Gaußglocke in Gl. (5.28) und für g(x) = x die Lösung 

P t(x) = x t −3/2 e −x2 /4Dt 

(5.41) 

Diese Lösung ist bis auf Konstante die Ableitung einer Gaußglocke nach x und hat eine 

Nullstelle bei x = 0. Nur der positive Teil der Lösung für x > 0 ist physikalisch. Das 

Normierungsintegral ist ∫ ∞ 

dx P 

0 t(x) = 2D/ √ t, der Anteil der noch nicht zurückgekehrten 

Teilchen zerfällt also wie t −1/2 . Die Rückkehrrate ist proportional zur Zeitableitung dieser 

Größe, womit man zu Gl. (5.39) gelangt. 



Abbildung 5.4: Links: Experimentell erzeugter DLA-Cluster durch Elektrodeposition in einer Kupfersulfatlösung. 

Rechts: Computersimulation des Wachstums eines DLA-Clusters. Ein 

Teilchen wird auf einem Kreis gleichverteilt platziert (grüner Punkt), startet dort einen 

random walk (rot), bis es den Cluster erreicht und sich dort irreversibel anlagert. 

5.3.3 Diffusionsbegrenztes Wachstum (DLA) 

Diffusionsbegrenztes Wachstum (diffusion-limited aggregation, DLA) ist ein Prozess, bei 

dem Teilchen eine Zufallsbewegung vollführen und sich dabei an einem Aggregat, auch 

Cluster genannt, sukzessive anlagern. Im einfachsten Fall wird dazu ein punktförmiger 

Nukleationskeim am Ursprung des Koordinatensystems bzw. in der Mitte des Bildschirms 

plaziert. Ein diffundierendes Teilchen, das zufällig mit dem Cluster in Kontakt gerät, 

bleibt an diesem irreversibel haften. 

Als theoretisches Modell wurde DLA 1981 von Sander und Witten eingeführt [14]. In 

diesem idealisierten Modell lagern sich aus dem Unendlichen kommende nichtwechselwirkende 

Teilchen durch Diffusion an dem bestehenden Cluster an und erzeugen auf 

diese Weise ein flockenartiges Aggregat. Um einen solchen Cluster in einer Computersimulation 

wachsen zu lassen, startet man den random walk des Teilchens gleichverteilt 

auf einem Kreis, der den aktuellen Cluster vollständig umschließt. Dann lässt man das 

Teilchen diffundieren, bis es einen am Cluster benachbarten Gitterplatz findet, wo es 

aggregiert, also dem Cluster als zugehörig markiert wird. In einem einfachen Programm 

wird man deshalb zunächst ein Feld s[x][y] definieren, welches aussagt, ob ein Gitterplatz 

zum Cluster gehört oder nicht: 

const int L=400; 

bool s[L][L]; 

// Seitenlänge des Bildschirms 

// Array für Clusterzugehörigkeit 

Anfangs werden alle Einträge dieses Arrays auf false gesetzt und ein Nukleationskeim 

durch s[L/2][L/2]=true in der Mitte platziert. Der Diffusionsprozess wird dann beispielsweise 

von folgender Funktion durchgeführt: 

void diffusion (double r=0.9) 

// Diffusion startend auf Kreis 

{ // mit Radius r 

bool attached; 

double phi=rnd()*2*M_PI; 

int x = (int)(L/2+L/2*r*cos(phi)); // Teilchen auf Kreis platzieren 


5.3 Diffusion in höheren Dimensionen 87 

int y = (int)(L/2+L/2*r*sin(phi)); 

do { // gehört Nachbar zum Cluster? 

int xl=(x+L-1)%L, xr=(x+1)%L, yb=(y+L-1)%L, yt=(y+1)%L; 

attached = (s[x][yb] or s[x][yt] or s[xl][y] or s[xr][y]); 

if (attached) s[x][y]=true; // dann diesen Platz markieren 

else switch (rndint(4)) { 

} 

while (not attached); 

} 

case 0: x=xl; break; 

case 1: x=xr; break; 

case 2: y=yb; break; 

case 3: y=yt; break; 

} 

// andernfalls Diffusion ausführen 

Das obige Codefragment startet das diffundierende Teilchen auf einem Kreis mit einem 

Radius, der als Argument der Funktion übergeben wird. Um dieses Programm zu 

optimieren, kann man diesen Kreis so eng wie möglich um den aktuellen Cluster herumlegen. 

Oft passiert es aber auch, dass sich das Teilchen vom Cluster entfernt und wegen 

der sehr schnell abnehmenden Rückkehrwahrscheinlichkeit einer Zufallsbewegung in zwei 

Dimensionen praktisch nicht zurückkehrt, so dass das Programm zu ‘hängen’ scheint. 

Im obigen Codefragment wird dies durch eine endliche Systemgröße mit periodischen 

Randbedingungen vermieden. Andere Programme brechen die Diffusion ab, sobald ein 

bestimmter Stop-Radius überschritten wird. Beide Mechanismen beeinflussen jedoch die 

statistischen Eigenschaften des Clusters, die Systemgröße bzw. der Stopradius sollten 

also deutlich größer als der aktuelle Cluster sein. 

Spitzeneffekt 

Warum bilden sich so schöne Flocken? Um dies zu verstehen, stelle man sich eine dreidimensionale 

Flocke aus Metall vor, die elektrisch geerdet ist. Die Flocke befinde sich 

in einer Metallkugel, deren Radius sehr groß ist und an die eine bestimmte Spannung 

angelegt wird. Im Innern der Kugel bildet sich ein elektrostatisches Feld Φ(⃗r) aus, das 

zwischen Flocke und Kugel der Poisson-Gleichung ∆Φ = 0 genügt. Diese Gleichung ist also 

mit den Dirichlet-Randbedingungen Φ = 0 auf der Oberfläche der Flocke und Φ = U O 

auf der umgebenden Kugel zu lösen, – ein äußerst anspruchsvolles Problem. 

Was hat das mit dem DLA-Problem zu tun? Dazu stellen wir uns die Flocke als ein 

Gebilde vor, das Teilchen vernichtet, also bei Kontakt spurlos verschwinden lässt. Den 

umgebenden Kreis stellen wir uns als radialsymmetrische Teilchenquelle vor, an der ständig 

neue Teilchen mit einer gewissen Rate erzeugt werden. Diese Teilchen diffundieren 

nun im Innern der Kugel und werden irgendwann die Flocke erreichen und dort verschwinden. 

Nach einiger Zeit wird sich ein stationärer Zustand mit konstanter Teilchendichte 

ρ(⃗r) einstellen. Da zwischen Flocke und Kugel die Diffusionsgleichung gilt, muss ∆ρ = 0 

sein. Die Dichte an der Quelle (Kugel) ist konstant und positiv, die Dichte an der Senke 

(Flocke) dagegen gleich Null. Damit hat man formal die gleiche Situation wie im zuvor 

beschriebenen elektrostatischen Problem, nur in zwei statt drei Dimensionen. 

Diese formale Identität zeigt uns, dass die Anlagerungswahrscheinlichkeit im DLA-Problem 

der Normalableitung des Potentials an der Oberläche der Flocke, also der lokalen Feld- 



stärke an der Oberfläche entspricht. Diese Feldstärke ist an den exponierten Positionen 

der Flocke besonders groß, – ein Umstand, der in der Elektrostatik als Spitzeneffekt bekannt 

ist. Die Teilchen werden sich also bevorzugt an den Spitzen der Flocke anlagern, 

was letzten Endes zur Ausbildung einer flockenförmigen Struktur führt. 

Selbstähnlichkeit 

In Abschnitt 5.2.3 wurde gezeigt, dass eine Zufallsbewegung ein skaleninvarianter Prozess 

ist, d.h. die Bewegungsgleichung ist invariant unter Reskalierung gemäß Gl. (5.29)-(5.31). 

Physikalisch hat dies zur Folge, dass in einer Zufallsbewegung zwar eine Beziehung zwischen 

Längen- und Zeitskalen durch r ∼ √ t besteht, jedoch keine typische Längen- bzw. 

Zeitskala als solche ausgezeichnet wird. Mit Ausnahme des elementaren Abstands zwischen 

benachbarten Gitterplätzen und ggf. der Systemgröße gibt es also in einem random 

walk keine ausgezeichnete Länge, bei der sich das physikalische Verhalten signifikant ändern 

würde. Einen solchen Prozess bezeichnet man als skalenfrei (scale-free). 

Da ein DLA-Cluster durch einen skalenfreien Prozess gebildet wird und mit einem (von 

der Gitterauflösung abgesehen) punktförmigen Keim beginnt, ist auch der DLA-Cluster 

selbst eine skalenfreie Struktur. Dieser Sachverhalt ist in Abb. 5.5 anschaulich dargestellt. 

Dort werden drei DLA-Cluster mit 10 5 , 10 6 und 10 7 aggregierten Teilchen gezeigt. 

Die Abbildungen sind reskaliert, so dass die Aggregate in allen drei Bildern visuell den 

gleichen Radius haben. Wie man sehen kann, beeinflusst die Reskalierung zwar etwas 

die mikroskopische Körnigkeit der Pixel, doch bleibt die globale Struktur der Flocke als 

solche durch die Reskalierung qualitativ unverändert. 

Fraktale Dimension 

Ein DLA-Cluster ist ein asymptotisch fraktales Gebilde. Wie bereits in Kap. 3.2 auf 

S. 45 angesprochen, ist ein Fraktal eine in einen metrischen Raum eingebettete Menge 

mit einer im Allgemeinen nicht-ganzzahligen Dimension. Während Linien eindimensional 

und Flächen zweidimensional sind, ist ein DLA-Cluster gewissermaßen ein Zwischending 

5 6 7 

10 Teilchen 10 Teilchen 10 Teilchen 

Abbildung 5.5: Reskalierte DLA-Cluster mit jeweils 10 5 , 10 6 und 10 7 deponierten Teilchen. [Quelle: 

Jon Machta, http://people.umass.edu/machta/images/dla.html] 



– er ist zwar mehr als eine Linie, jeoch auch nicht in der Lage, eine Fläche auszufüllen. 

Es gibt verschiedene Methoden, die fraktale Dimension d f einer gegebenen Menge zu bestimmen. 

Die vielleicht bekannteste Methode ist das box-counting-Verfahren. Dazu wird, 

wie in Abb. 5.6 dargestellt, über die zu untersuchende Menge ein Gitter mit Gitterabstand 

∆x gelegt. Dann werden diejenigen Quadrate gezählt, die mindestens ein Element 

der Menge enthalten, in diesem Fall also von mindestens einem Pixel des DLA-Clusters 

berührt werden. Im Idealfall hängt diese Anzahl n mit ∆x über ein Potenzgesetz 

n ∼ (∆x) −d f 

(5.42) 

zusammen, wobei der Exponent die fraktale Dimension ist. 1 In der Tat bekäme man 

für eine Linie (z.B. für eine Gerade oder einen Kreis) den Wert d f = 1, für eine voll 

ausgefüllte Fläche dagegen d f = 2. 

Für fraktale Strukturen, die auf einem Rechner erzeugt werden, ist das Potenzgesetz 

(5.42) nur in einem bestimmten Bereich gültig. Auf der einen Seite darf ∆x nicht kleiner 

als die Gitterkonstante des DLA-Clusters sein, andererseits darf ∆x aber auch nicht 

größer als der Cluster selbst werden. Eine grobe Abschätzung des Potenzgesetzes in 

dem dazwischenliegenden Bereich mit dem in Abb. 5.6 gezeigten Verfahren führt auf 

d f ≈ 1.65. Literaturwerte bewegen sich in der Nähe von d f ≈ 1.7. Damit besitzt ein 

DLA-Cluster tatsächlich eine fraktale Struktur, – er ist weder eine Line noch eine Fläche, 

sondern ein flockenartiges Gebilde mit nicht-ganzzahliger Dimensionalität. 

Die Untersuchung von DLA ist gegenwärtig ein aktives Forschungsgebiet. Insbesondere 

gibt es zahlreiche Arbeiten, die zu unterschiedlichen Ergebnissen für die fraktale Dimension 

gelangen. Neuere numerische Untersuchungen haben gezeigt, dass die fraktale 

Dimension möglicherweise mit dem relativen Abstand vom Ursprung variiert. Ein umfassendes 

theoretisches Verständnis des DLA-Wachstums fehlt noch. 

5.4 Aufgaben 

Aufgabe 5.11 

Gegeben sei die Summe 

(Zentraler Grenzwertsatz) 

s N = 

N∑ 

i=1 

r −γ 

i 

, 

wobei r i wie üblich gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 0 und 1 sind während γ > 0 ein 

frei wählbarer Exponent ist. Ziel der Aufgabe ist es herauszufinden, für welche γ der zentrale 

Grenzwertsatz gültig ist und wann er versagt. Ausserdem soll im Gültigkeitsbereich 

die zu erwartende Streuung der Gaußverteilung im Limes großer N berechnet werden. 

Gehen Sie dazu in folgenden Schritten vor. 

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe von Mathematica R○ analytisch die Wahrscheinlichkeitsverteilung 

P (y), wobei y i = r −γ 

i 

ist. 

1 Je nach Verfahren gibt es unterschiedliche fraktale Dimensionen. Die hier definierte wird deshalb in 

der Literatur auch häufig als box-counting dimension bezeichnet. 



224 of 256 boxes 737 of 1024 boxes 

10 6 

number of visited boxes 

10 5 

10 4 

10 3 

10 2 

10 1 

2266 of 4096 boxes 

10 0 

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 

∆x 

Abbildung 5.6: Veranschaulichung der boxcounting-Methode zur Bestimmung der fraktalen 

Dimension. 



(b) Berechnen Sie mit Hilfe von Mathematica R○ 

˜P (k) von P (y). 

analytisch die Fourier-Transformierte 

(c) Führen Sie mit Hilfe von Mathematica R○ eine Taylorentwicklung von ln( ˜P (k)) bis 

zur zweiten Ordnung in k durch. Für welche γ ist dies eine Parabel? (Nur dann ist 

der zentrale Grenzwertsatz anwendbar). 

(d) Isolieren Sie im Wertebereich von γ, in dem der zentrale Grenzwertsatz anwendbar 

ist, den quadratischen Anteil der Taylornäherung von ln( ˜P (k)), multiplizieren Sie 

laut Faltungssatz mit N und führen Sie die inverse Fouriertransformation aus. 

(e) Lesen Sie von der resultierenden Gaussverteilung die zu erwartende Streuung σ für 

große N ab. 

(f) Schreiben Sie ein C- oder Java-Programm, welches – ähnlich wie in Aufgabe 1 – 

die Streuung σ numerisch berechnet und verifizieren Sie Ihr analytisches Resultat. 

Wenn Sie möchten, lassen Sie dieses Programm auch einmal für Werte von γ laufen, 

wo der zentrale Grenzwertsatz nicht zutrifft. Sie werden sehen, dass Ihnen die 

Abschätzung für σ in diesem Fall aus dem Ruder läuft, also nicht konvergiert. 

Aufgabe 5.12 

(Levy-Flüge) 

Die Länge der Flugstrecken d, die Vögel oder Insekten zurücklegen, sind oftmals wie ein 

Potenzgesetz verteilt. Schreiben Sie eine Funktion, die unter Verwendung eines Standard- 

Zufallszahlengenerators für reelle Zahlen r ∈ [0, 1] Flugdistanzen gemäß der Verteilung 

{ } 

(α − 1)d 

−α 

falls d > 1 

P (d) = 

0 falls d ≤ 1 

generiert, wobei α > 1 ein reeller Exponent ist. Überprüfen Sie Ihre Funktion, indem Sie 

für α = 2 das erzeugte Histogramm mit P (d) vergleichen. 

Aufgabe 5.13 

(Finanzmärkte) 

Jeden Tag steigt oder fällt der DAX um den Faktor a = 1.03 mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit. 

Schreiben Sie ein Programm, das diesen Vorgang simuliert. Der DAX habe 

einen Anfangsstand von 5000 Punkten. Wie groß ist der Mittelwert und die Standardabweichung 

des DAX nach einem Jahr? Mitteln Sie dazu über viele unabhängige Simulationen. 

Hinweis: Sie können zur Übung das Ergebnis auch analytisch ausrechnen, indem Sie den 

DAX logarithmieren. 

Aufgabe 5.14 

(Brückenmodell) 

Lesen Sie die Originalveröffentlichung 

M.R. Evans, D.P. Foster, C. Godrèche, and D. Mukamel 

Spontaneous Symmetry Breaking in one-dimensional Driven Diffusive Systems 

Physical Review Letters 74, 208 (1995). 

(in der Bibliothek oder prl.aps.org von Rechnern der Domäne uni-wuerzburg.de) 



und schreiben Sie ein Programm, welches das dort beschriebene “Brückenmodell” simuliert. 

Reproduzieren Sie damit qualitativ das in Fig. 3 dieses Papiers dargestellte Springen 

zwischen links- und rechtslaufendem Verkehr (sie dürfen dabei gerne die Parameter variieren). 

Aufgabe 5.15 

(Rückkehrwahrscheinlichkeit des Random Walks) 

Weisen Sie durch numerische Simulation nach, dass die Wahrscheinlichkeit R(t), dass eine 

eindimensionale Zufallsbewegung zum ersten Mal an ihren Ausgangspunkt zurückkehrt, 

als Funktion der Zeit wie R(t) ∼ t −3/2 abnimmt. 

Aufgabe 5.16 

(Erzeugung eines deterministischen Fraktals) 

Betrachten Sie einen eindimensionalen binären zellulären Automaten, der durch die folgende 

deterministische Dynamik definiert ist: 

{ 

1 falls s i−1 (t) ≠ s i+1 (t) 

s i (t + 1) := 

0 sonst 

Starten Sie mit der Konfiguration . . . 000010000 . . ., also mit 

s i (0) = δ i,0 

und generieren Sie mit Hilfe des zellulären Automaten die oben abgebildete fraktale 

Struktur. Berechnen Sie dabei die Gesamtmasse des Clusters 

M(T ) = 

T∑ ∑ 

s i (t) 

t=0 i∈Z 

als Funktion von T . Welcher asymptotischer Gesetzmäßigkeit folgt M(T ) für T → ∞ ? 

Hinweis: Sie können diese Gesetzmäßigkeit analytisch überprüfen, indem Sie die Struktur des 

Fraktals analysieren. 


6 Vielteilchensysteme und 

Reaktions-Diffusionsprozesse 

In diesem Kapitel wollen wir Vielteilchensysteme 

untersuchen, in denen der 

Teilchentransport durch Diffusion realisiert 

ist. Die freie Weglänge der Teilchen 

wird dabei als extrem klein angenommen, 

so dass ballistische Effekte vernachlässigt 

werden können und die Teilchenbewegung 

effektiv durch einen random walk beschrieben 

werden kann. Man spricht auch oft 

davon, dass man im überdämpften Limes 

arbeitet. 

Reaktions-Diffusionsmodelle werden in der Regel durch Reaktionsgleichungen für verschiedene 

Teilchensorten beschrieben, wie man sie aus der Chemie kennt. Der Einfachheit 

halber werden wir die Teilchensorten mit Großbuchstaben A, B, C, ... bezeichnet. Die 

Reaktionsgleichung AB → C würde beispielsweise eine Reaktion beschreiben, wie sie in 

der Abbildung dargestellt ist. Dabei wird angenommen, dass nur Teilchen in unmittelbarem 

Kontakt miteinander reagieren können. Damit also eine Reaktion stattfinden kann, 

müssen die Reaktionspartner erst durch Diffusion zueinander finden. 

6.1 Molekularfeldnäherung 

6.1.1 Massenwirkungsgesetz 

In der Chemie werden zahlreiche Prozesse zufriedenstellend durch das sogenannte Massenwirkungsgesetz 

beschrieben. Das Massenwirkungsgesetz besagt, dass die Änderung 

der Konzentration einer Substanz X i proportional zur effektiven Reaktionsrate multipliziert 

mit dem Produkt der Konzentrationen der beteiligten Reaktionspartner ist. 1 Je 

nachdem, ob dabei Teilchen verbraucht oder erzeugt werden, kommt es zu Gewinn- und 

Verlusttermen: 

d 

dt X i = ∑ k n X n1 X n2 − ∑ k m X m1 X m2 

(6.1) 

n 

m 

} {{ } } {{ } 

Gewinne 

Verluste 

Dabei sind die k i die effektiven Reaktionsraten. Für die Reaktion AB → C mit Rate k 

1 Das Massenwirkungsgesetz im engeren Sinne geht zusätzlich vom Gleichgewicht eines reversiblen Prozesses 

aus, d.h. die linke Seite von Gl. (6.1) wird gleich Null gesetzt. 


94 Vielteilchensysteme und Reaktions-Diffusionsprozesse 

Abbildung 6.1: Periodischer Farbumschlag in der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion [6] 

wäre beispielsweise 

d 

dt [A] = d d 

[B] = −k[A][B] , 

dt 

[C] = +k[A][B] . (6.2) 

dt 

Die Terme auf der rechten Seite von Gl. (6.1) sind immer dann quadratisch in den X i , 

wenn zwei Teilchensorten für eine Reaktion erforderlich sind. Dies ist in realistischen 

chemischen Reaktionen fast immer der Fall. Spontane Reaktionen einzelner Teilchen ohne 

Reaktionspartner wie z.B. bei einem radioaktiven Zerfall entsprächen linearen Termen. 

Sind dagegen für eine Reaktion drei Teilchensorten erforderlich (wie z.B. bei katalytischen 

Reaktionen) erhielte man kubische Ausdrücke. 

6.1.2 Chemische Oszillationen 

Welchen Anwendungsbereich hat das Massenwirkungsgesetz und wann versagt es? Auf 

den ersten Blick scheint es einen recht eingeschränkten Anwendungsbereich zu haben, da 

jegliche räumliche Information vernachlässigt wird. Das Massenwirkungsgesetz ist also 

beschränkt auf Systeme mit guter diffusiver Durchmischung, deren Konzentrationsfelder 

als homogen angenommen werden können. Unter diesen Voraussetzungen erwartet man, 

dass das durch partielle Differentialgleichungen erster Ordnung beschriebene System relaxiert 

und schließlich einen stationären Zustand erreicht. 

Trotzdem können auch solche Systeme, für die das Massenwirkungsgesetz gültig ist, überraschende 

Eigenschaften haben, denn nicht immer relaxiert das System direkt in ein chemisches 

Gleichgewicht, so sind z.B. chemische Oszillationen möglich. Das bekannteste 

Beispiel ist die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion [6], die zu einem periodischen Farbumschlag 

einer Lösung führt (siehe Abb. 6.1). Diese Oszillationen können über viele Stunden 

stabil sein, bis sich die Substanzen verbraucht haben, denn natürlich ist auch hier kein 

perpetuum mobile möglich. 

Theoretische Untersuchungen haben gezeigt, dass man für chemische Oszillationen mindestens 

drei Substanzen braucht. Ein mögliches Modellsystem [7] ist durch die Raten- 


6.1 Molekularfeldnäherung 95 

Abbildung 6.2: Belousov-Zhabotinsky-Reaktion in einer flachen Petri-Schale [6] 

gleichungen 

Ẋ = k 1 AY − k 2 XY + k 3 AX − 2k 4 X 2 

Ẏ = −k 1 AY − k 2 XY + 1 2 fk 5BZ (6.3) 

Ż = 2k 3 AY − k 5 BZ 

gegeben. Dabei sind A,B die Konzentrationen von Hilfssubstanzen und f eine numerische 

Konstante. Offenbar sind diese Gleichungen von der in Gl. (6.1) angegebenen allgemeinen 

Form des Massenwirkungsgesetzes. 

6.1.3 Raumzeitliche Strukturbildung 

Die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion ist noch spektakulärer, wenn man sie nicht in einem 

Becherglas, sondern in einer flachen Petrischale durchführt. Es bilden sich dann nicht nur 

zeitliche, sondern auch räumliche Oszillationen in Form von wandernden Spiralen (siehe 

Abb. 6.2). Je nach Versuchsbedingungen können solche Spiralen auch instabil werden 

und aufbrechen. 

In der Theorie beschreibt man solche musterbildenden Systeme durch Ratengleichungen, 

die mit Diffusionstermen erweitert werden, also die allgemeine Form 

d 

dt X i 

= ∑ k n X n1 X n2 − ∑ k m X m1 X m2 + D i ∇ 2 X i (6.4) 

n 

m 

} {{ } } {{ } 

Gewinne Verluste Diffusion 

besitzen, wobei D i die entsprechenden Diffusionskonstanten sind. Ob die Diffusionsterme 

relevant sind, also beispielsweise zu Musterbildung führen, kann man durch lineare 

Störungstheorie um die homogene Lösung nachweisen. In Übereinstimmung mit dem Experiment 

hängt dies entscheidend von der räumlichen Dimension des Systems ab. Grundsätzlich 

sind räumliche Effekte in niedrigdimensionalen Systemen ausgeprägter, da hier 

die diffusive Durchmischung geringer ist. Die Untersuchung von Musterbildung (pattern 

formation) im Rahmen solcher um Diffusionsterme erweiterter Ratengleichungen hat zur 

Entstehung zahlreicher Forschungsgruppen im Bereich der Physik komplexer Systeme 

geführt. 



Abbildung 6.3: Computersimulation eines spiral breakup. [M. Bär, PTB Braunschweig] 

6.2 Gittermodelle 

Da ein Computer kontinuierliche Größen ohnehin nur mit einer diskretisierten Darstellung 

approximieren kann, bietet es sich an, die Teilchenpositionen in einem Reaktions- 

Diffusionsmodell von vornherein als diskretisierte Größen anzunehmen. Dadurch wird ein 

Gitter eingeführt, auf dem sich die Teilchen bewegen können. Je nach Modelldefinition 

können dabei Gitterplätze frei bzw. von einem oder auch mehreren Teilchen besetzt sein. 

6.2.1 Gittergeometrien 

Die Geometrie des Gitters wird definiert durch 

- seine Dimension d, 

- die mikroskopische Anordnung der Gitterplätze, und 

- eine Relation, die angibt, welche Gitterplätze benachbart sind. 

In bildlichen Darstellungen werden die Gitterplätze (sites, nodes) in der Regel durch 

Punkte dargestellt, während als benachbart deklarierte Plätze durch Linien (links, bonds) 

verbunden werden. 

Eindimensionale Gittermodelle wie in Abb. 6.4 sind in der Regel als lineare Kette realisiert, 

deren Gitterplätze von 0 bis L − 1 durchnumeriert sind, wobei L die Länge der 

Kette ist. Da ein numerisch simuliertes Gittermodell immer endlich ist, müssen zudem 

die Randbedingungen spezifiziert werden. Die wichtigsten Typen sind 

- Dirichlet-Randbedingungen (geschlossene Enden) durch Fixierung des Zustands der 

Randplätze, z.B. indem die Randplätze stets als unbesetzt angenommen werden. 

Abbildung 6.4: Eindimensionale Kette mit L sites und periodischen Randbedingungen. 


6.2 Gittermodelle 97 

Abbildung 6.5: Verschiedene Gittertypen in zwei Dimensionen. 

- von-Neumann’sche Randbedingungen (offene Enden) bei denen die Randplätze keine 

linken bzw. rechten Nachbarn haben. 

- periodische Randbedingungen bei denen die Gitterplätze an gegenüberliegenden 

Ränder als benachbart gelten. 

Als Faustregel gilt, dass periodische Randbedingungen die wenigsten Probleme bereiten, 

da sie die Translationsinvarianz des Systems nicht zerstören. Oft ist man nämlich am 

Limes unendlich großer Systeme interessiert und möchte sogenannte finite-size-Effekte 

nach Möglichkeit gering halten. Es zeigt sich dabei, dass periodische Randbedingungen 

am wenigsten störend wirken. Wir werden deshalb im Folgenden stets periodische Randbedingungen 

betrachten. 

Bemerkung: Ist x ∈ {0, 1, . . . , L−1} eine räumliche Koordinate, so können die Positionen 

der linken bzw. rechten Nachbarn x l , x r durch geeignete Modulo-Operationen bestimmt 

werden. In C++ ist 

xr = (x+1)%L; 

xl = (x+L-1)%L; 

wobei L die Länge der Kette ist. Die Addition der Konstanten L in der zweiten Zuweisung 

ist notwendig, um zu verhindern, dass die Modulo-Operation ein negatives Argument erhält, 

was in C++ zu einem negativen Ergebnis führen würde. 

In Mathematica R○ arbeitet man dagegen mit der Zählung x ∈ {1, 2, . . . , L} und die Nachbarn 

sind gegeben durch 

xl = Mod[x-2,L]+1; 

Allerdings ist Mathematica R○ 

xr = Mod[x,L]+1; 

wegen der vergleichsweise geringeren Geschwindigkeit nur 

bedingt zur Simulation von Reaktions-Diffusionmodellen auf einem Gitter geeignet. 

In zwei Dimensionen gibt es eine große Vielfalt verschiedener Gittergeometrien. Die wichtigsten 

Typen sind das Quadratgitter (square lattice), das Dreiecksgitter (triangular lattice), 

und das Honigwabengitter (honeycomb lattice), siehe Abb. 6.5. Das Quadratgitter 

ist besonders beliebt, da es sich auf einem Rechner bequem als zweidimensionales Array 

realsieren lässt. Periodische Randbedingungen werden in diesem Fall dadurch implementiert, 

dass man die Gitterplätze an gegenüberliegenden Gitterplätzen sowohl in x- als 

auch in y-Richtung identifiziert. Wie in Abb. 6.6 dargestellt, erhält man dadurch die 

Topologie eines Torus, weshalb man auch von torodialen Randbedingungen spricht. 



Abbildung 6.6: Periodische Randbedingungen in zwei Dimensionen entsprechen einem Torus. 

6.2.2 Charakterisierung des Zustandsraums 

Während die Gitterstruktur als solche zeitlich konstant ist, können sich die Teilchen von 

Gitterplatz zu Gitterplatz bewegen. Ein bestimmtes Arrangement von Teilchen bezeichnet 

man als Konfiguration oder auch (Mikro-)Zustand des Systems. Die Menge aller 

möglichen Zustände wird als Zustandsraum Ω bezeichnet. Die Anzahl möglicher Zustände 

|Ω| ist in der Regel sehr hoch und wächst exponentiell mit der Systemgröße. Durch 

Anwendung der dynamischen Regeln springt das System gewissermaßen durch seinen 

Zustandsraum. Wenn es dabei im Prinzip jeden Zustand erreichen kann, bezeichnet man 

das System als Ergodizität. 

Beispiel: Als Beispiel wollen wir eine eindimensionale Kette mit nur 20 Gitterplätzen 

betrachten, auf denen 10 Teilchen diffundieren, wobei jeder Gitterplatz jeweils leer oder 

einfach besetzt sein darf. Da die Teilchen auf ( 20 

10) 

mögliche Weisen arrangiert werden 

können, hat dieses System bereits 184756 verschiedene Zustände. 

Der Zustand des System, also die aktuelle Konfiguration der Teilchen, wird in der Regel 

im Kurzzeitspeicher (random access memory, RAM) 2 des Rechners, also in globalen oder 

lokalen Variablen abgelegt. Hier gibt es mehrere Möglichkeiten. Die beiden wichtigsten 

sind: 

(a) Besetzungszahlorientierte Speicherung: Für jeden Gitterplatz wird der lokale 

Zustand, also dessen momentane Belegung mit Teilchen, in einem Array abgespeichert. 

(b) Listenbasierte Speicherung: Der Rechner führt eine Liste, ggf. eine dynamisch 

erzeugte Liste mit variabler Länge, in der die Teilchen mit ihren entsprechenden 

Koordinaten aufgelistet sind. 

Bei dem ersten Verfahren benötigt man Schleifen, die über das gesamte Gitter iterieren. 

Diese Methode eignet sich deshalb vor allem bei hohen Teilchendichten. Beim listenbasierten 

Verfahren iteriert man dagegen über eine Liste der Teilchen und hat deshalb einen 

Geschwindigkeitsvorteil bei geringen Teilchendichten. 

2 Die Speicherung von Daten auf der Festplatte ist sehr viel zeitaufwändiger und sollte nur zum Herausschreiben 

von Mittelwerten und ggf. nur periodischen Sicherung des Systemzustands genutzt werden. 


6.2 Gittermodelle 99 

Bei Systemen, in denen sowohl hohe als auch niedrige Teilchendichten vorkommen können, 

eignet sich ein Hybridverfahren, bei dem man sowohl ein Array für die Besetzungszahlen 

als auch eine Liste für die Teilchenpositionen verwendet. 

6.2.3 Dynamiken 

Anders als bei einer Zufallsbewegung eines Teilchens finden in einem Vielteilchensystem 

eine große Anzahl von mikroskopischen Prozessen pro Zeiteinheit statt. In einer 

Computersimulation müssen also bestimmte Annahmen gemacht werden, in welcher Reihenfolge 

diese Prozesse abgearbeitet werden. Es gibt dafür eine Anzahl verschiedener 

Update-Schemata. Die wichtigsten sind: 

1. Parallele Dynamik (parallel updates): In einem Zeitschritt t → t + 1 werden 

alle Plätze des Gitters gleichzeitig aktualisiert. Für diffundierende Teilchen darf 

man sich eine solche Dynamik als synchrones Hüpfen vorstellen. Parallele Dynamiken 

sind in der Regel sehr effizient und eignen sich hervorragend zum Einsatz auf 

Parallelrechnern. Ein Einzelrechner wird die Gitterplätze zwar nacheinander aktualisieren, 

doch die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle. In Modellen mit paralleler 

Dynamik kommutieren also die lokalen updates. 

Beispiel: Wir wollen parallele Dynamik am Beispiel des Koagulationsprozesses auf 

einer eindimensionalen Kette diskutieren. In diesem Prozess diffundieren Teilchen mit 

Wahrscheinlichkeit p nach rechts und 1 − p nach links. Wenn zwei Teilchen auf einem 

Gitterplatz kollidieren, verschmelzen sie zu einem Teilchen, führen also die Reaktion 

2A → A aus. Der Zustand der Kette ist in einem eindimensionalen Array bool s[L] 

gespeichert. Folgende Codesequenz bildet eine gegebene Konfiguration s[i] auf eine 

neue Konfiguration u[i] ab, die dann ggf. nach s[i] zurückkopiert werden muss. Beachten 

Sie, dass man die lokale Aktualisierung nicht direkt nach s[i] schreiben darf, 

da sonst die lokalen Updates nicht kommutieren würden. 

void parallel_dynamics (bool s[], bool u[], double p) { 

for (int i=0; i


3. Sequentielle Dynamik (sequential updates). Kommutieren die lokalen updates 

nicht, kann man eine bestimmte Reihenfolge der Aktualisierungen als Teil der Modelldefinition 

vereinbaren. Man könnte z.B. vereinbaren, eine lineare Kette von links 

nach rechts zu aktualisieren. Damit ist allerdings das Risiko verbunden, dass man 

die Spiegelsymmetrie des Systems verletzt, also eine Vorzugsrichtung auszeichnet, 

ohne dies zu beabsichtigen. Sequentielle Dynamiken sind daher für Anfänger nicht 

zu empfehlen und werden deshalb im Rahmen dieser Vorlesung nicht weiter behandelt. 

Beispiel: Folgende Codesequenz demonstriert, was bei sequentiellen Updates passieren 

kann. Die Kette wird hier von links nach rechts aktualisiert. 

void ordered_sequential_dynamics (bool s[], double p) { 

for (int i=0; i

6.3 Zelluläre Automaten 101 

lokale Dynamik 

t 

t+1 

nichtlokale Dynamik 

Abbildung 6.7: Illustration lokale und globaler updates in einem zellulären Automaten 

diese unregelmäßigen Aktualisierungen oftmals eher dem physikalischen Vorbild und können 

mit mathematischen Methoden leichter behandelt werden. 

6.3 Zelluläre Automaten 

Modelle mit paralleler Dynamik, deren Zustände Reihe für Reihe konstruiert werden können, 

bezeichnet man auch als zelluläre Automaten. Die ‘Zellen’ sind dabei nichts anderes 

als die Gitterplätze und die Reihen werden mit einem zeitlichen Index t durchnumeriert. 

Die dynamischen Regeln erfüllen die sogenannte Markov-Eigenschaft, d.h. die jeweils neu 

konstruierte Reihe zur Zeit t + 1 hängt nur vom Zustand der Zellen in der vorherigen 

Reihe zum Zeitpunkt t ab. Als Anfangszustand muss also nur eine Reihe (z.B. bei t = 0) 

spezifiziert werden. 

Man unterscheidet deterministische und stochastische zelluläre Automaten, je nachdem, 

ob bei der Konstruktion der nächsten Reihe Zufallszahlen involviert sind oder nicht. Ferner 

unterscheidet man räumlich lokale und nichtlokale Dynamiken. Bei räumlich lokalen 

updates hängt der Zustand einer Zelle zum Zeitpunkt t+1 nur von ihrem eigenen Zustand 

und dem der benachbarten Zellen zum Zeitpunkt t ab (siehe Abb. 6.7). 

Beispiel: Als Beispiel betrachteten wir einen deterministischen zellulären Automaten mit 

zwei Zuständen per Zelle, dessen lokale Dynamik durch die update-Vorschrift 

{ 

1 falls s i−1(t) ≠ s i+1(t) 

s i(t + 1) := 

0 sonst 

gegeben ist. Startet man den Prozess mit nur einem Teilchen am Ursprung, so ergibt sich 

dabei das in Abb. 6.8 dargestellte fraktale Gebilde, das als Sierpinski-Fraktal (Sierpinski- 

Abbildung 6.8: Deterministischer zellulärer Automat: Sierpinski-Fraktal 



r(t) 

t 1 t t t t t t t t t t t 

2 3 4 5 6 

7 8 9 10 

11t12 

13 

t 

Abbildung 6.9: Unkorrelierte Sprungzeitpunkte einer thermisch induzierten Zufallsbewegung. 

gasket) bekannt ist. Die deterministische Konstruktion spiegelt sich in einer hochsymmetrischen 

Strukturierung wieder. 

6.4 Systeme mit thermisch induzierten Übergängen 

Während bei zellulären Automaten mit paralleler Dynamik die Zeit eine diskrete Größe 

ist, ist die Zeit in Experimenten eine kontinuierliche Größe. Die Sprünge von einem Zustand 

in einen anderen sind dabei oft thermisch induziert. Deponiert man beispielsweise 

in MBE-Experimenten (MBE=molecular beam epitaxy) ein Atom auf der Oberfläche eines 

Festkörpers, so wird es bei geeigneter Temperatur auf der Oberfläche diffundieren, 

also eine Zufallsbewegung ausführen. Dabei springt es von einem lokalen Potentialminimum 

zum nächsten, sobald die durch Phononen (Gitterschwingungen) bereitgestellte 

Energie dafür ausreicht. 3 

Die Zeitpunkte von thermisch induzierten Übergängen sind unkorreliert und gleichen 

dem Knattern eines Geigerzählers bei der Messung eines radioaktiven Zerfalls: 

• Da die Übergänge als zeitlich punktförmig angenommen werden, ist die Wahrscheinlichkeit 

gleichzeitig stattfindender Übergänge gleich Null, so dass die Zeitpunkte 

geordnet werden können (siehe Abb. 6.9). 

• Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem infinitesimalen Zeitintervall [t, t + dt] ein 

Übergang stattfindet, ist w dt, wobei w die Reaktionsrate ist. 

Wie sind die Zeitintervalle τ = t i+1 − t i zwischen zwei aufeinanderfolgenden Übergängen 

statistisch verteilt? Um diese Frage zu beantworten, teilt man das Zeitintervall in 

infinitesimale Teilintervalle der Breite dt auf: 

dt 

t i 

t i+1 t i+2 

In jedem der infinitesimalen Teilintervalle ist die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang 

gleich w dt. Die Wartezeitverteilung, also die Wahrscheinlichkeit P w (τ)dt, ein Zeitintervall 

τ zu beobachten, ist demnach gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten 1 − w dt, in 

den dazwischenliegenden infinitesimalen Teilintervallen keinen Übergang festzustellen, 

3 Oberflächendiffusion wird also durch thermische Fluktuationen des Festkörpers vermittelt und sollte 

nicht mit dem quantenmechanischen Tunneleffekt verwechselt werden. 


6.5 Fluktuationseffekte im Koagulationsprozess 103 

multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit w dt, im letzten Teilintervall zum Zeitpunkt t i+1 

einen Übergang festzustellen: 

P w (τ) dt = wdt (1 − wdt) τ/dt . (6.5) 

Mit der Grenzwertdarstellung der Exponentialfunktion e −x = lim n→∞ (1 − x/n) n erhält 

man im Limes dt → 0 bzw. n = τ/dt → ∞: 

P w (τ) = w(1 − wτ/n) n → w e −wτ . (6.6) 

Diese Wartezeitverteilung ist korrekt normiert und wird als Poisson-Verteilung bezeichnet. 

Bemerkung: In Lehrbüchern wird die Poisson-Verteilung durch 

P (k; λ) = e−λ λ k 

definiert und gibt die Wahrscheinlichkeit an, in einem gegebenen Intervall k Ereignisse zu 

beobachten, wobei λ die mittlere Anzahl der zu erwartenden Ereignisse ist. Die Poisson- 

Verteilung hat die besondere Eigenschaft, dass Mittelwert 〈k〉 und Varianz σ 2 k ≡ 〈k 2 〉−〈k〉 2 

identisch und gleich λ sind. Poisson-verteilte Ereignisse bezeichnet man in der Experimentalphysik 

auch häufig als shot noise. 

In Gl. (6.6) fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, in einem Intervall τ mit mittlerer 

Ereignisanzahl λ = wτ kein Ereignis zu finden, diese Wahrscheinlichkeit ist P (0; λ) = 

e −λ . Diese Wahrscheinlichkeit wird mit der Wahrscheinlichkeit wdt multipliziert, dass im 

unmittelbar darauf folgenden infinitesimalen Zeitintervall ein Ereignis stattfindet. Auf diese 

Weise bekommt man die Verteilung der Zeiten zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen. 

k! 

6.5 Fluktuationseffekte im Koagulationsprozess 

In den folgenden Abschnitten wollen wir ein konkretes Vielteilchensystem betrachten, 

bei dem das Massenwirkungsgesetz, also die Molekularfeldtheorie, falsche Vorhersagen 

macht. Es handelt sich um einen Reaktionsprozess mit nur einer Sorte diffundierender 

Teilchen A, die immer dann, wenn sie paarweise aufeinandertreffen, miteinander verschmelzen, 

also die Reaktion 2A → A ausführen. Diesen Verschmelzungsprozess bezeichnet 

man als Koagulation. Die Molekularfeldgleichung für diesen Prozess lautet 

˙ρ(t) = −w ρ 2 (t) , (6.7) 

wobei ρ(t) die Teilchendichte und w die Koagulationsrate ist. Offenbar zerfällt die Dichte 

asymptotisch wie 

ρ(t) ∼ 1/t (6.8) 

also mit einem Exponenten α = −1. Wir werden jedoch sehen, dass jedoch in eindimensionalen 

Systemen diese Vorhersage falsch ist und man de facto einen sehr viel langsameren 

Zerfall beobachtet. 



6.5.1 Experimenteller Hintergrund 

Hintergrund ist ein Lumineszenzexperiment mit 

einer kristallinen Substanz namens Tetramethylammoniummangantrichlorid, 

kurz TMMC. 

Dieses Material besteht aus Manganchlorid- 

Ketten. Wie in der Abbildung (a) zu sehen ist, 

befinden sich dabei die Manganionen in der Mitte, 

während die Chlorionen in Dreiergruppen arrangiert 

sind. Die Ketten sind parallel angeordnet 

und räumlich durch Tetramethylammoniumionen 

getrennt (siehe Querschnitt in Abb. (b)). 

Durch Einstrahlung von Laserlicht lassen sich 

nun die Manganionen elektronisch anregen, man 

spricht bei solchen angeregten Zuständen von sogenannten 

Exzitonen. 

Benachbarte Mn 2+ -Ionen können miteinander dadurch wechselwirken, dass ein Exziton 

von einem Platz zum nächsten springt. Solche Sprünge sind thermisch aktiviert durch die 

Wechselwirkung mit Phononen (Gitterschwingungen) und folgen deshalb effektiv einem 

random walk. Kommt es dabei zu einer Fusion zweier Exzitonen, so entsteht zunächst ein 

doppelt angeregter Zustand. Dieser ist jedoch nicht stabil und zerfällt unter Abstrahlung 

eines Phonons zu einem einfach angeregten Zustand. Im Teilchenbild bedeutet dies, dass 

zwei Teilchen zu einem Teilchen plus Wärme reagieren (siehe Abb. 6.11). Da die Wärme 

im Material absorbiert wird, erhält man also einen Koagulationsprozess 2A → A. Durch 

die großen Abstände zwischen den Ketten können diese als Ensemble eindimensionaler 

Systeme aufgefasst werden. 

Mit einer sehr viel geringeren Rate zerfallen die Exzitonen auch spontan, wobei sie Licht 

emittieren. Die gemessene Intensität dieses Lichtes ist also ein Maß für die momentane 

Anzahl der Exzitonen. Bestrahlt man das Material mit einem kurzen Laserpuls, kommt 

es zu einem Nachleuchten (Lumineszenz), das mit hoher Genauigkeit gemessen werden 

LASER 

EXZITON 

PHONON 

Abbildung 6.10: TMMC: Durch Einstrahlung eines Laserpulses werden Exzitonen auf den Mn 2+ -Ionen 

angeregt. Diese Exzitonen springen thermisch induziert mit gleicher Wahrscheinlichkeit 

nach links und nach rechts. Sprünge zwischen den Ketten sind stark unterdrückt. 



t 

PHONON 

PHOTON 

t 

Abbildung 6.11: Oben: Koagulation 2A → A unter Abstrahlung von Wärme. Unten: Lumineszenz 

durch spontanen Zerfall einzelner Exzitonen 

Abbildung 6.12: Messergebnisse für die reziproke Intensität als Funktion der Zeit in einer doppeltlogarithmischen 

Darstellung. 



kann. Auf diese Weise kann man ρ(t), d.h. die Dichte der Exzitonen, als Funktion der 

Zeit messen. 

Die von Kroon, Fleurent und Sprik [8] gemessenen Daten sind in Abb. 6.12 in doppeltlogarithmischer 

Darstellung (’log-log’) aufgetragen. Dabei ist zu beachten, dass die Ordinate 

den Kehrwert der Intensität wiedergibt, also proportional zu ρ −1 (t) ist. Wie man 

erkennen kann, ergeben sich je nach Pulsintensität parallel verschobene Geraden mit der 

Steigung 1/2. Folglich zerfällt die Dichte algebraisch (d.h. nach einem Potenzgesetz) wie 

ρ(t) ∼ t −1/2 , (6.9) 

widerspricht also dem Meanfield-Resultat in Gl. (6.8). Die experimentellen Daten zeigen 

auch, dass das Potenzgesetz nur in einem bestimmten Bereich (gelb markiert) gültig ist. 

Für sehr große Dichten von Exzitonen ist die abgegebene Wärme bei der Koagulation 

noch so groß, dass sie nicht vernachlässigt werden kann, sondern die Diffusionsrate effektiv 

erhöht, womit es zu Abweichungen kommt. Für kleine Dichten finden dagegen Koagulationsprozesse 

so selten statt, dass die spontane Teilchenvernichtung durch Lumineszenz 

trotz ihrer kleinen Rate relevant wird und so die Teilchendichten weiter herabsetzt, womit 

die Geraden nach oben abbiegen. 

6.5.2 Simulation 

Das im Experiment beobachtete 1/ √ t-Verhalten kann mit Hilfe einer einfachen Computersimulation 

bestätigt werden. In C++ definiert man dazu eine Kette mit der Länge 

const int L=100000 in der Form eines Arrays int s[L], wobei s i = 0, 1 die Präsenz 

eines Exzitons auf Gitterplatz i angibt. Mit zufällig-sequentiellen Updates selektiert man 

zuerst ein zufälliges Paar benachbarter Plätze. Wenn nur ein Platz besetzt ist, wird das 

betreffende Exziton zum Nachbarplatz verschoben, wodurch die Teilchen diffundieren. 

Sind beide Plätze besetzt, so springt eines der beiden Teilchen und koaguliert mit dem 

Nachbarn. Ein Zeitschritt (sweep) entspricht einer L-fachen Wiederholung. Diese Dynamik 

lässt sich mit folgendem Codefragment realisieren: 

void Koagulationsprozess (void) { 

int i,links,rechts; 

for (i=1; i


t 

Abbildung 6.13: Raumzeit-Plot eines Koagulationsprozesses mit einem anfangs voll besetzten Gitters. 

bis die Trajektorien sich vereinigen. 

Mit dem Codefragment ist es sehr einfach, die Dichte ρ(t) als Funktion der Zeit zu 

messen. Das Resultat ist in Abb. 6.14 auf der linken Seite zu sehen. Die Simulation 

reproduziert in der Tat den experimentell beobachteten Zerfall ρ(t) ∼ t −1/2 , während die 

Meanfield-Lösung ρ(t) ∼ 1/t eindeutig ausgeschlossen werden kann. 

Bemerkung: Damit die gemessene Größe nicht zu sehr fluktuiert, ist ein Mittelungsverfahren 

erforderlich. Neben dem bereits besprochenen Ensemblemittel, bei dem man über 

viele statistisch unabhängige Abläufe (runs) eines genügend großen Systems mittelt, kann 

man hier auch das räumliche Mittel benutzen, also einfach ein extrem großes System in nur 

einem Ablauf simulieren. Die in Abb. 6.14 gezeigten Daten wurden beispielsweise durch Simulation 

eines einzigen runs eines Systems mit 500.000 Gitterplätzen erzeugt. Da man sich 

ein solches extrem großes System zu endlichen Zeiten in unkorrelierte Teilsysteme zerlegt 

denken kann, sind die beiden Mittelungsprozeduren äquivalent. 

6.5.3 Interpretation 

Warum zerfällt die Teilchendichte im eindimensionalen Koagulationsprozess so viel langsamer 

(ρ ∼ 1/ √ t) als es die Meanfield-Gleichung vorhersagt (ρ ∼ 1/t)? Warum also 

versagt die Meanfield-Approximation? 

Anschaulich argumentiert sind die Voraussetzungen für die Meanfield-Approximation, 

nämlich eine homogene korrelationsfreie Mischung von Teilchen, nicht mehr gegeben, 

vielmehr kommt es zu Korrelationen zwischen den Teilchen. Der Koagulationsprozess 

bestraft nämlich Teilchen, die sich in der Nähe von anderen Teilchen befinden, indem 

er sie durch Koagulation entfernt und damit die Teilchendichte reduziert. Damit werden 

effektiv Antikorrelationen erzeugt, d.h. die Teilchen halten untereinander mehr Abstand, 

als dies in einer unkorrelierten (d.h. Poisson-verteilten) Anordnung der Fall wäre. Diese 

Antikorrelationen wiederum bremsen den Prozess ab, und zwar so stark, dass sich der 



10 0 

0.6 

1×10 -4 

ρ(t) 

10 -1 

ρ(t) t 1/2 

0.5 

0.4 

Steigung -1/2 

0.3 

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 

t 

c(r) = 

8×10 -5 

6×10 -5 

4×10 -5 

t = 2000 

10 -2 

Steigung -1 

2×10 -5 

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 

t 

0 

0 50 100 150 200 250 300 

r 

Abbildung 6.14: Links: Teilchendichte als Funktion der Zeit eines Koagulationsprozesses auf einer eindimensionalen 

Kette mit 500.000 Plätzen in doppelt-logarithmischer Darstellung. Die 

Hilfslinien markieren die Steigungen -1/2 und -1. Der eingeschobene Graph zeigt die 

selben Daten multipliziert mit t 1/2 . Rechts: Zweipunktkorrelationsfunktion eines Koagulationsprozesses 

nach 2000 Zeitschritten gemittelt über eine Kette mit 5.000.000 

Plätzen. 

Exponent des Zerfallsgesetzes dramatisch ändert. Wie wir sehen, ist dieser Effekt von 

der räumlichen Dimension des Systems abhängig und in niedrigdimensionalen Systemen 

besonders ausgeprägt. 

Um diese anschauliche Deutung zu verifizieren, wollen wir numerisch feststellen, ob die 

Teilchen tatsächlich antikorreliert sind. Dazu messen wir die Dichte-Zweipunktfunktion 

c(r) = 〈s i s i+r 〉, wobei der Wert des Index i wegen der räumlichen Translationsinvarianz 

keine Rolle spielt. Per Defintion ist diese Korrelationsfunktion stets positiv. Bestimmt 

man diese Zweipunktfunktion zu einem gegebenen Zeitpunkt t, so wird man für sehr 

große Abstände r erwarten, dass die Wahrscheinlichkeit, an diesen Punkten Teilchen zu 

finden, unkorreliert ist, also faktorisiert: 

lim c(r) = lim 〈s is i+r 〉 = lim 〈s i 〉〈s i+r 〉 = (〈s i 〉) 2 = ρ(t) 2 (6.10) 

r→∞ r→∞ r→∞ 

Bei großen Abständen wird man also eine Konstante erwarten, die gleich dem Quadrat der 

mittleren Dichte ist. Für kleine Abstände r wird die Zweipunktfunktion jedoch von diesem 

Wert abweichen. Abweichungen nach oben bezeichnet man als (positive) Korrelationen, 

Abweichungen nach unten als Antikorrelationen. 

Bemerkung: Um Korrelationen und Antikorrelationen am Vorzeichen unterscheiden zu 

können, zieht man häufig die asymptotische Konstante ab und definiert so den sogenannten 

zusammenhängenden Anteil (connected part) der Korrelationsfunktion 

〈s is i+r〉 conn. = 〈s is i+r〉 − 〈s i〉〈s i+r〉. 

Die Bezeichnung ’zusammenhängend’ bezieht sich dabei auf die entsprechende Struktur 

von Feynman-Graphen in Feldtheorien. 

Der rechte Graph in Abb. 6.14 zeigt die Zweipunktkorrelationsfunktion nach einer Simulation 

von 2000 Zeitschritten mit räumlicher Mittelung über 5 × 10 5 Gitterplätze. Trotz 

etwa 10-minütiger Rechenzeit sind die Fluktuationen noch erheblich. Dennoch bestätigt 



das Ergebnis die Existenz von Antikorrelationen für kleine r und den crossover zu einem 

konstanten Wert. Man kann aus den Daten schließen, dass die Korrelationslänge nach 

2000 Zeitschritten in der Größenordnung von knapp 100 Gitterplätzen liegt. 

6.5.4 Exakte Lösung 

Erst 1995 gelang es, das Koagulationsmodell in einer Dimension mit zufällig-sequentieller 

Dynamik exakt zu lösen [9]. Zur Lösung gelangt man durch Betrachtung der Verteilungsfunktion 

für leere Intervalle (empty-interval distribution functions) I l , welche die 

Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein zufällig auf der Kette ausgewähltes Intervall von 

l aufeinanderfolgenden Gitterplätzen keine Teilchen enthält. Man kann zeigen, dass die 

Master-Gleichung des Prozesses in dieser Basis als 

∂ t I l (t) = I l−1 (t) − I l (t) 

} {{ } 

Gewinne 

− I l (t) + I l+1 (t) 

} {{ } 

Verluste 

(6.11) 

geschrieben werden kann, wobei I 0 (t) ≡ 1. Die Teilchendichte ist dann einfach durch 

ρ(t) = 1 − I 1 (t) gegeben. Geht man nun in den Kontinuumlimes über, erhält man die 

Differentialgleichungen 

(∂ t − ∂l 2 ) I(l, t) = 0 , I(0, t) = 1 , (6.12) 

wobei ρ(t) = ∂ l I(l, t)| l=0 

ist. Diese Gleichung hat die Form einer Diffusionsgleichung (5.26). 

Deren Lösung impliziert, dass ρ(t) asymptotisch wie t −1/2 zerfällt, womit die experimentelle 

und numerische Beobachtung bewiesen ist. Für endliche Zeiten gibt es allerdings 

kleine Abweichungen, die auch deutlich in den numerischen Daten zu sehen sind. 

6.5.5 Dimensionsabhängigkeit 

Die skizzierte exakte Lösung ist nur in einer räumlichen Dimension korrekt. In höheren 

Dimensionen erhält man dagegen 

⎧ 

⎨ t −1/2 für d = 1 

ρ(t) ∼ log(t)/t für d = 2 

(6.13) 

⎩ 

1/t für d > 2 . 

Offenbar ist die Meanfield-Approximation in d > 2 Dimensionen korrekt, während d = 2 

ein Grenzfall ist, für den man Meanfield-Verhalten kombiniert mit einer logarithmischen 

Korrektur erhält. Diese Grenzdimension bezeichnet man als obere kritische Dimension d c . 

Diese Situation ist paradigmatisch für Reaktions-Diffusionsprozesse: Während in niedrigen 

Dimensionen Korrelationseffekte einen erheblichen Einfluss haben und sogar die 

Exponenten verändern können, ist in genügend hohen Dimensionen die diffusive Durchmischung 

so gut, dass die Teilchen tatsächlich weitgehend unkorreliert und homogen 

verteilt sind, womit die Voraussetzungen für die Meanfield-Näherung erfüllt sind. 

6.6 Aufgaben 

Aufgabe 6.17 

(Straßenverkehr) 



Die Bewegung von Fahrzeugen auf einem einspurigen Kreis läßt sich auf stark vereinfachte 

Weise durch einen zellulären Automaten beschreiben. Dazu wird der Kreis in N 

Abschnitte unterteilt. In jedem dieser Abschnitte befindet sich maximal eines von M ≤ N 

Fahrzeugen. Während des Zeitschritts t → t + 1 rücken diejenigen Fahrzeuge, die einen 

freien Abschnitt vor sich haben, mit der Wahrscheinlichkeit p um jeweils einen Abschnitt 

vor. Simulieren Sie diesen Prozess für p = 1 2 

und bestimmen Sie das sogenannte Fundamentaldiagramm, 

indem Sie für hinreichend große N den zeitlich gemittelten Strom der 

Fahrzeuge 〈j〉 bestimmen und als Funktion der Fahrzeugdichte ρ = M/N auftragen. 

Aufgabe 6.18 

(Mastergleichung) 

Stellen Sie für den Koagulations-Dekoagulationsprozess 

- Koagulation AA → ∅A und AA → A∅ mit Rate λ 

- Dekoagulation ∅A → AA und A∅ → AA mit Rate µ 

- Diffusion ∅A ↔ A∅ mit Rate D 

mit zufällig-sequentieller Dynamik auf einer eindimensionalen Kette mit 3 Plätzen und 

periodischen Randbedingungen die Mastergleichung auf. Bestimmen Sie mit Hilfe von 

Mathematica für λ = D = 1 und µ = 0.5 durch numerische Diagonalisierung des 

Liouville-Operators die Relaxationszeiten des Systems. 

Aufgabe 6.19 

(Finite-size Scaling) 

Der eindimensionale Koagulationsprozess 2A → A ist asymptotisch invariant unter Reskalierung 

• der Länge ⃗r → Λ⃗r 

• der Zeit t → Λ z t 

• der Teilchendichte ρ → Λ χ ρ 

mit dem Dichteexponenten χ = −1 und dem dynamischen Exponenten z = 2. Ziel der 

Aufgabe ist es, den Koagulationsprozess mit endlicher Systemgröße L und periodischen 

Randbedingungen zu simulieren und dabei die Teilchendichte ρ(L, t) über viele Abläufe 

gemittelt zu bestimmen. Wie Sie sehen werden, geht dabei das anfängliche algebraische 

Zerfallsgesetz ρ(t) ∼ t −1/2 wegen der endlichen Systemgröße nach einer gewissen Zeit in 

ein anderes Verhalten über. Solche finite-size-Effekte skalieren mit den Systemparametern 

und lassen sich deshalb gut kontrollieren. 

(a) Drücken Sie ρ(L, t) unter Ausnutzung der Skaleninvarianz durch eine Funktion mit 

nur einem Argument aus, indem Sie Λ := 1/L setzen und annehmen, dass L wie 

eine Länge skaliert. 

(b) Simulieren Sie den eindimensionalen Koagulationssprozess für die folgenden Systemgrößen 

L bis zur Zeit t max = L 2 : 



L t max 

16 256 

32 1024 

64 4096 

128 16384 (optional) 

256 65536 (optional) 

und messen Sie die Teilchendichte ρ(L, t) gemittelt über hinreichend viele unabhängige 

Simulationsabläufe, so dass Sie einigermassen glatte Kurven erhalten (Achtung: 

Die Simulationszeiten für L = 128, 256 können lang werden). 

(c) Führen Sie wie in der Vorlesung besprochen einen Datenkollaps dieser Kurven in 

doppellogarithmischer Darstellung gemäß der in (a) ermittelten Skalenform durch. 

(d) Wie groß muss Ihr System mindestens sein, damit bei einer (auf Ihrem Computer 

nicht realisierbaren) Simulationszeit von 10 20 Zeitschritten noch keine finitesize-Effekte 

sichtbar werden, also noch keine nennenswerten Abweichungen vom 

Potenzgesetz ρ(t) ∼ t −1/2 zu erwarten sind ? 

(e) Wie und warum unterscheiden sich die beobachteten finite-size-Effekte von denen 

der in der Vorlesung untersuchten kritischen gerichteten Perkolation? 


7 Phasenübergänge in 

Reaktions-Diffusionsprozessen 

Der Begriff des Phasenübergangs beschreibt kollektive Phänomene in Vielteilchensystemen, 

die mit einer abrupten Veränderung der Eigenschaften des Systems bei nur geringen 

Veränderungen der Außenbedingungen einhergehen. Man spricht dabei von unterschiedlichen 

Phasen, die am Phasenübergang ineinander übergehen. Beispielsweise geht reines 

Wasser bei Normaldruck am Siedepunkt bei 100 ◦ C von der flüssigen in die gasförmige 

Phase über. Ebenso verlieren Permanentmagnete bei einer bestimmten kritischen 

Temperatur ihr Magnetfeld. Auch in der Kosmologie gibt es Phasenübergänge. So rekombinierten 

etwa 500000 Jahre nach dem Urknall die bis dahin freien Ladungsträger 

zu elektrisch neutralen Atomen, das Universum wurde schlagartig durchsichtig und das 

damals emittierte Licht gibt es noch heute in Form des Mikrowellenhintergrunds. 

Phasenübergänge werden durch einen oder mehrere Kontrollparameter (z.B. Temperatur) 

gesteuert, wobei der Phasenübergang bei bestimmten kritischen Werten des Kontrollparameters 

stattfindet. Die unterschiedlichen Phasen werden durch einen sogenannten 

Ordnungsparameter (z.B. Aggregatszustand oder Magnetfeld) charakterisiert. Zur Darstellung 

von Phasenübergängen benutzt man Phasendiagramme, wobei die jeweilge Art 

der Phase über die Kontrollparameter aufgetragen wird. Phasenübergänge finden an den 

Grenzen dieser Phasen statt. Ist der Ordnungsparameter stetig im Phasenübergang, so 

spricht man von einem kontinuierlichen Phasenübergang oder auch von einem Phasenübergang 

zweiter Ordnung 1 . Ist der Ordnungsparameter allerdings unstetig, zeigt also 

einen endlichen Sprung, so spricht man von einem diskontinuierlichen Phasenübergang 

bzw. einem Phasenübergang erster Ordnung. 

Während Phasenübergänge erster Ordnung in der Natur häufiger anzutreffen sind, befasst 

sich die Mehrzahl der Veröffentlichungen mit Phasenübergängen zweiter Ordnung. Während 

nämlich diskontinuierliche Phasenübergänge stark von den jeweiligen System- oder 

Modelleigenschaften abhängen, können kontinuierliche Phasenübergänge in sehr verschiedenen 

Systemen in ihren langreichweitigen Eigenschaften identisch sein. Solche universellen 

Eigenschaften erlauben es, Äquivalenzklassen von Phasenübergängen zu identifizieren 

und wecken damit das Interesse der theoretischen Physik. Ziel ist es dabei, alle möglichen 

Universalitätsklassen unter gegebenen Rahmenbedingungen zu klassifizieren. Dabei stellt 

sich heraus, dass die jeweilige Universalitätsklasse im wesentlichen durch die Symmetrien 

des Systems festgelegt wird und durch einen Satz sogenannter kritischer Exponenten gekennzeichnet 

werden kann. Mit Universalitätsklassen verhält es sich also ähnlich wie bei 

1 Die sog. Ehrenfest-Klassifikation von Phasenübergängen erster, zweiter, dritter Ordnung usw., abhängig 

davon ob die erste zweite oder höhere partielle Ableitung eines thermodynamischen Potentials 

unstetig ist, hat sich als unzureichend herausgestellt, da sie auf Molekularfeldtheorien beruht und 

thermische Fluktuationen nicht berücksichtigt, die jedoch am kritischen Punkt nicht vernachlässigbar 

sind. 


114 Phasenübergänge in Reaktions-Diffusionsprozessen 

Elementarteilchen, die durch wenige Parameter und ihre Symmetriegruppe vollständig 

charakterisiert werden können. 

Das klassische Standardbeispiel eines Phasenübergangs zweiter Ordnung ist der Magnetisierungsübergang 

in Ferromagneten. Dazu benötigt man aber Grundlagen in der statistischen 

Physik des thermodynamischen Gleichgewichts. Viel einfacher ist dagegen das 

folgende Modellsystem, das in der Literatur als gerichtete Perkolation bekannt ist. 

7.1 Gerichtete Perkolation 

Der Ausdruck Perkolation (lat. per=durch und colare=fließen,leiten) bezeichnet das Hindurchleiten 

einer Flüssigkeit durch ein poröses Medium und wird oft im Zusammenhang 

mit Filtrierungsprozessen verwendet. Ein Filter ist ein poröses Material aus Zellstoff, Papier, 

Sand oder Aktivkohle, mit dem man Schwebeteilchen und andere Verunreinigungen 

zurückhalten kann. Das zurückgehaltene Material sammelt sich in den Poren des Filters 

an, so dass dieser nach einiger Zeit verstopft und ausgetauscht werden muss. Es ist deshalb 

von Interesse, den Übergang vom durchlässigen (perkolierenden) in den verstopften 

(nicht perkolierenden) Zustand zu verstehen. 

Mit dieser Motivation hat man verschiedene Modelle für Perkolation entworfen. In solchen 

Modellen werden die Poren durch die Plätze (sites) eines Gitters repräsentiert. 

Benachbarte Gitterplätze sind dabei durch Kanäle (bonds) miteinander verbunden. Um 

die Unregelmäßigkeit eines echten Filtermaterials nachzubilden, wird dabei angenommen, 

dass diese Kanäle mit der Wahrscheinlichkeit p durchlässig und andernfalls undurchlässig 

sind. Man stellt sich dann die Frage, wie sich der Parameter p, der die mikroskopische 

Durchlässigkeit bestimmt, auf die makroskopische Durchlässigkeit des Materials auswirkt. 

Es zeigt sich dabei, dass es in einem genügend großen System zu einem Phasenübergang 

von einem makroskopisch durchlässigen in einen verstopften Zustand kommt. Dieser 

Phasenübergang tritt bei einer wohldefinierten kritische Schwelle p c auf. Wie wir 

sehen werden, sind die langreichweitigen Eigenschaften eines solchen Perkolationsmodells 

universell, d.h. sie sind durch Symmetrien bestimmt, hängen jedoch nicht von den 

mikroskopischen Details des Modells ab. Die Situation ist ähnlich wie bei einer Zufallsbewegung, 

die in der Regel asymptotisch durch eine Normalverteilung beschrieben wird, 

unabhängig von der Art der Sprünge. 

7.1.1 Isotrope vs. gerichtete Perkolation 

Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Versionen von Perkolationsmodellen. In isotroper 

Perkolation kann sich das Medium (Wasser) durch offene Kanäle in alle Richtungen 

ausbreiten, während in gerichteter Perkolation das Medium nur entlang einer vorgegebenen 

räumlichen Richtung fließen kann. In einem porösen Medium könnte eine solche 

gerichtete Ausbreitung beispielsweise durch ein Gravitationsfeld hervorgerufen werden. 

Wie man in Abbildung 7.1 sehen kann, erhält man unterschiedliche Cluster. 

Die Vorzugsrichtung hat eine strikte Ordnung des Clusters nach Ursache und Wirkung 


7.1 Gerichtete Perkolation 115 

Isotrope Perkolation 

Gerichtete Perkolation 

Abbildung 7.1: Ungerichtete (isotrope) und gerichtete Perkolation. Die Abbildung zeigt ein endliches 

Gitter mit einer bestimmten Konfiguration von durchlässigen und undurchlässigen 

Kanälen. In der Mitte wird nun eine Flüssigkeit injiziert. Links: Im isotropen Fall 

perkoliert das Wasser durch die offenen Kanäle in jede beliebige Richtung und erzeugt 

dabei einen Cluster benetzter Poren. Rechts: Bei gerichteter Perkolation kann das 

Wasser nur entlang einer Vorzugsrichtung perkolieren, was zu einem kleineren länglichen 

Cluster führt. Diese Vorzugsrichtung kann als zeitliche Dimension interpretiert 

werden. 

zur Folge, so dass die ausgezeichnete Koordinate als Zeit interpretiert werden kann. So 

kann man beispielsweise in einem gerichteten Perkolationsprozess, in dem die Kanäle mit 

Wahrscheinlichkeit p geöffnet sind, die horizontalen Reihen mit einem zeitlichen Index 

t markieren (siehe Abb. 7.2). Ist also die Konfiguration benetzter Zellen zum Zeitpunkt 

t bekannt, kann man die nächste Konfiguration zum Zeitpunkt t + 1 durch einfache 

probabilistische Regeln bestimmen. 

7.1.2 Interpretation als Reaktions-Diffusionsprozess 

Interpretiert man nun benetzte (=aktive) Gitterplätze als Teilchen A und unbenetzte 

(=inaktive) Gitterplätze als Leerstellen ∅, so können diese probabilistischen Regeln als 

lokale Dynamik eines Reaktions-Diffusionsprozesses interpretiert werden. Sind z.B. beide 

Kanäle eines aktiven Platzes blockiert, so endet die Trajektorie des Teilchens, was 

einer spontanen Teilchenvernichtung A → ∅ entspricht. Ist nur einer der beiden Kanäle 

durchlässig, springt das Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links und nach 

rechts, führt also effektiv einen Diffusionsprozess aus. Wenn beide Kanäle offen sind, 

kommt es zu einer Teilchenvermehrung A → 2A. Diese wird aber begrenzt durch die 

Tatsache, dass es pro Gitterplatz nur zwei Zustände (benetzt und unbenetzt) gibt, dass 

sich also an jedem Gitterplatz höchstens ein Teilchen befinden darf. Dies kann man 

in einem Reaktions-Diffusionsmodellen dadurch berücksichtigen, dass zwei Teilchen instantan 

zu einem verschmelzen. Eine solche Verschmelzung 2A → A bezeichnet man 

als Koaleszenz. Zusammenfassend wird also gerichtete Perkolation durch das effektive 

Reaktions-Diffusionsschema 

• spontane Teilchenvernichtung A → ∅ 

• Vermehrung 

A → 2A 



t 

Startpunkt 

t N(t) 

0 1 

1 1 

2 2 

3 1 

4 2 

5 2 

6 3 

7 3 

Abbildung 7.2: Gerichtete Perkolation interpretiert als ein stochastischer zeitlicher Prozess. Der abgebildete 

Cluster startet mit nur einem benetzten Platz am Ursprung und entwickelt sich 

dann als Sequenz von Konfigurationen benetzter Plätze entlang horizontaler Reihen, 

die mit dem zeitlichen Index t durchnummeriert sind. Eine interessante Größe ist die 

Anzahl N(t) benetzter Gitterplätze zur Zeit t. 

• Koaleszenz 

2A → A 

in Kombination mit Diffusion ∅A ↔ A∅, wie in Abb. 7.3 zu sehen ist. Wie wir sehen 

werden, zeigt jeder Prozess, der dem Geist dieses Reaktions-Diffusionsschemas folgt, einen 

Phasenübergang, der zur Universalitätklasse der gerichteten Perkolation gehört. 

7.1.3 Algorithmische Implementierung 

Mit der dynamischen Interpretation ist es sehr einfach, gerichtete Perkolation auf einem 

Rechner zu simulieren. Um einen Zeitschritt von t nach t + 1 auszuführen, iteriert man 

über die aktiven (benetzten) Gitterplätze entlang der Reihe t und aktiviert die nächsten 

Nachbarn in der Reihe t + 1 unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p. Ein 

nicht-optimierter Code zur Erzeugung der Cluster ist oft weniger als eine Seite lang. Das 

folgende Programm berechnet beispielsweise den Mittelwert der Teilchenanzahl N(t) und 

schreibt das Ergebnis in eine Datei namens N.dat: 

const int T=1000; // number of updates 

const int R=10000; // number of independent runs 

const double p=0.6447001; // percolation probability 

int main (void) { 

int s[T][T],N[T],i,t,r; 

// array of sites, N(t), indices 

for (t=0; t


for (i=0; i


100 

 

10 

1 

p=0.7 

p=0.65 

p=0.64 

p=0.6447 

p=0.6 

0,1 

1 10 100 1000 

t 

Abbildung 7.5: Mittlere Teilchenanzahl 〈N(t)〉 als Funktion der Zeit t für verschiedene Perkolationswahrscheinlichkeiten 

p. 

Darstellung als Gerade, was einem Potenzgesetz entspricht. In der Tat findet man, 

dass 〈N(t)〉 am kritischen Punkt für große t wie t θ ansteigt, wobei θ ≈ 0.302 nichts 

anderes als die Steigung der Geraden im log-log plot ist. Dieses Potenzgesetz ist vor 

allem für große t mit hoher Genauigkeit erfülllt, während es für kleinere Werte von 

t, insbesondere während der ersten Zeitschritte, zu Abweichungen kommt. Diese sogenannten 

Transienten werden durch die diskrete Struktur des Gitters verursacht 

und hängen damit von nicht-universellen Details des Modells ab. 

Ein asymptotisches Potenzgesetz wird oft mit Hilfe des Symbols ∼ ausgedrückt 2 , das 

so viel wie ‘asymptotisch proportional’ bedeutet und deshalb transiente Abweichungen 

sowie die Proportionalitätskonstante mit Absicht ignoriert. Im obigen Fall schreibt man 

also 

〈N(t)〉 ∼ t θ . (7.1) 

Der Exponent θ ≈ 0.302 ist ein sogenannter kritischer Exponent, der in allen Realisierungen 

von DP den gleichen Wert besitzt. Diese Universalität und die extrem einfache 

Modelldefinition sind wohl die Hauptgründe dafür, warum DP eine so starke Faszination 

ausstrahlt. 

Die unterschiedlichen Eigenschaften von 〈N(t)〉 unterhalb und oberhalb der kritischen 

Schwelle können als Kriterium zur iterativen Approximation des kritischen Punktes herangezogen 

werden. Dazu bestimmt man zunächst eine unter- und eine überkritische 

Schranke bei einer Simulationszeit von einigen Minuten, z.B. 0.64 

oben diskutierten Modell. Dieses Intervall wird dann halbiert und eine Simulation am 

Halbierungspunkt (z.B. p = 0.645) durchgeführt. Wenn die entsprechende Kurve in einem 

doppelt-logarithmischen Graphen nach unten (oben) abweicht, wird das Teilungsverfahren 

iterativ im oberen (unteren) Intervall fortgesetzt. Zur Bestimmung solcher Abweichungen 

ist übrigens das menschliche Auge sehr gut geeignet. Ist keine Krümmung zu 

erkennen, so ist die Simulationszeit entsprechend zu erhöhen. Sind dagegen die Fluktuationen 

zu stark, muss die Anzahl der Läufe, über die gemittelt wird, erhöht werden. Das 

Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis der Rechenaufwand zu groß wird. Die Fehlergrenzen 

der Abschätzung sind durch das jeweils letzte Intervall festgelegt. Der Exponent 

2 Mathematiker benutzen dieses Symbol für ‘asymptotisch gleich’ statt ‘asymptotisch proportional’. 



Infektion: 

Heilung: 

Abbildung 7.6: Gerichtete Perkolation als epidemischer Prozess (siehe Text). 

ergibt sich aus der Steigung der Geraden. 

Bemerkung: Um die Fehlergrenzen für den kritischen Exponenten, also für die Steigung 

der Geraden, zu bestimmen, darf man sich NIE auf den χ 2 -Fehler einer Standardregression 

verlassen. Für die in Abb. 7.5 gezeigten Daten würde eine lineare Regression mit xmgrace 

das Resultat θ = 0.3017(2) ergeben, der beste Literaturwert θ = 0.313686(8) liegt jedoch 

weitab dieser Fehlergrenzen. Eine zuverlässige Abschätzung des Fehlers erhält man durch 

Vergleich der Steigungen in der höchsten Dekade gemessen an der unteren und oberen 

Schranke von p c. Als Faustregel gilt, dass der relative Fehler eines Exponenten mindestens 

10× höher als der relative Fehler der kritischen Schwelle ist. 

Es sollte betont werden, dass das beschriebene Verfahren voraussetzt, dass der Phasenübergang 

asymptotisch durch ein sauberes Potenzgesetz beschrieben wird. Für DP ist 

das in der Tat der Fall. In anderen Modellklassen ist das allerdings nicht selbstverständlich, 

so können zum Beispiel logarithmische Korrekturen überlagert sein, so dass die 

tatsächliche kritische Kurve leicht gekrümmt ist. Da man mit dem oben beschriebenen 

Verfahren aber nach einer Geraden sucht, ist man möglicherweise der Versuchung erlegen, 

diese Krümmung durch Veränderung des Kontrollparameters zu ’kompensieren’, was zu 

schwer einschätzbaren systematischen Fehlern führt. 3 

7.1.4 Epidemische Prozesse 

Die gerichtete Perkolation wird auch oft als einfaches Modell für die Ausbreitung von Epidemien 

herangezogen. Dabei befinden sich auf den Gitterplätzen Individuen, die entweder 

gesund (∅) oder infiziert (A) sind. Der Prozess A → 2A entspricht dabei der Ansteckung 

des nächsten Nachbarn, während Individuen durch den Prozess A → ∅ wieder gesund 

werden (siehe Abb. 7.6). Bei großer Ansteckungsrate kann sich die Infektion über die gesamte 

Population ausbreiten, während sie bei kleiner Ansteckungsrate räumlich begrenzt 

bleibt. Der Phasenübergang in einem solchen Modell gehört zur Universalitätsklasse der 

gerichteten Perkolation. 

Während Forscher, die oft mit zellulären Automaten arbeiten, das oben besprochene 

bond-Perkolationsmodell mit paralleler Dynamik bevorzugen, favorisieren Epidemiker 

3 Einen solchen Fehler konnten wir in der Testphase des CIP-Pools mit zwei Wochen Rechenzeit auf 

allen 80 CPU’s aufdecken, Details dazu finden Sie in [10]. 



und auch Mathematiker eine andere Realisierung der gerichteten Perkolation, die als 

Kontaktprozess bekannt ist. Der Kontaktprozess ist auf einem d-dimensionalen Gitter 

definiert, dessen Plätze entweder aktiv (s i (t) = 1) oder inaktiv (s i (t) = 0) sind. Im 

Gegensatz zum obigen Modell benutzt der Kontaktprozess eine zufällig-sequentielle Dynamik, 

d.h. die elementaren Prozesse (Ansteckung und Gesundung) treten spontan mit 

gewissen Raten auf. Obwohl sich der Kontaktprozess in mikroskopischer Hinsicht erheblich 

von dem oben eingeführten bond-DP-Modell unterscheidet, zeigt er ebenfalls 

einen Phasenübergang mit asymptotisch identischen Eigenschaften. Wie wir sehen werden, 

gehören also die Phasenübergänge in beiden Modellen zur Universalitätsklasse der 

gerichteten Perkolation. 

Auf einem Rechner kann der d+1-dimensionale Kontaktprozess folgendermaßen implementiert 

werden. Für jeden Aktualisierungsversuch wird zunächst ein Gitterplatz zufällig 

ausgewählt. Je nachdem, ob dieser Platz besetzt (infiziert) ist und in Abhängigkeit von 

der Anzahl der besetzten Nachplätze n i (t) = ∑ j∈ s j(t) wird diesem Platz ein neuer 

Zustand s i (t + dt) = 0, 1 mit bestimmten Übergangsraten w[s i (t) → s i (t + dt), n i (t)] 

zugewiesen. Diese Übergangsraten sind definiert durch: 

w[0 → 1, n] = λn/2d , (7.2) 

w[1 → 0, n] = 1 . (7.3) 

Dabei spielt der Parameter λ die gleiche Rolle wie die Öffnungswahrscheinlichkeit p im 

bond-DP-Modell. Wie zuvor hängt die kritische Schwelle λ c von der Dimension d ab. Die 

zur Zeit beste Abschätzung wird mit λ c = 3.29785(8) [11] angegeben. 

Um von Raten (Wahrscheinlichkeiten pro Zeiteinheit) zu den im Programmcode benötigten 

Übergangswahrscheinlichkeiten zu gelangen, muss man die Raten geeignet normieren, 

so dass sie alle kleiner oder gleich 1 sind. Am einfachsten ist es, die Raten durch die Summe 

aller Raten, also in diesem Fall durch 1 + λ, zu dividieren. Jeder Update entspricht 

dann einem Zeitinkrement von 1/(1 + λ). 

In einer räumlichen Dimension kann der Kontaktprozess mit folgendem Programmfragment 

realisiert werden. Zunächst definiert man sich die Systemgröße, das Gitter und 

eine Zeitvariable, die wegen der zufällig-sequentiellen Updates eine Fließkommazahl sein 

muss. 

const int L=128; 

int s[L]; 

double t; 

// Systemgröße 

// die eindimensionale Kette 

// Physikalische Zeit 

Der Updateschritt folgt dann der in Abb. 7.7 dargestellten Dynamik: Ein Platz auf der 

Kette wird zufällig ausgewählt. Wenn dieser besetzt ist, wird das Teilchen mit Wahrscheinlichkeit 

1/(1 + λ) entfernt, andernfalls wird an einem der beiden Nachbarplätze ein 

t 

t+dt 

Infektion 

Selbstheilung 

λ/2 λ/2 1 

Abbildung 7.7: Dynamik des 1+1-dimensionalen Kontaktprozesses. 



Teilchen erzeugt, sofern dieser Platz noch frei ist: 

void Update (double lambda) 

{ 

int i = rndint(L); 

if (s[i]) 

// wenn dort ein Teilchen ist 

{ 

if (rnd() λ c ) eines sehr großen Systems mit einem 

anfangs voll besetzten Gitter wird sich diese Dichte auf einen stationären Wert ρ stat > 0 

einpendeln. Nähert man sich dem kritischen Punkt, an dem der Phasenübergang stattfindet, 

so geht diese Dichte gegen Null und folgt dabei einem Potenzgesetz 

i 

ρ stat ∼ (p − p c ) β , (7.5) 

wobei β ein kritischer Exponent ist. Für p > p c ist der sich einstellende stationäre Zustand 

durch eine bestimmte Korrelationslänge ξ ⊥ und eine Korrelationszeit ξ ‖ charakterisiert. 

Diese beiden Korrelationsskalen sind im Allgemeinen verschieden und sind in Abb. 7.8 

anschaulich dargestellt. 

Nahe am kritischen Punkt divergieren die beiden Korrelationsskalen algebraisch (d.h. als 

Potenzgesetz) 

ξ ⊥ ∼ (p − p c ) −ν ⊥ 

, ξ ‖ ∼ (p − p c ) −ν ‖ 

(7.6) 

wobei ν ⊥ und ν ‖ zwei weitere Exponenten sind. Deren Verhältnis 

z = ν ‖ /ν ⊥ (7.7) 

wird als dynamischer Exponent bezeichnet, da er beschreibt, wie die zeitliche Korrelationsskala 

ξ ‖ ∼ ξ⊥ z als Funktion der räumlichen Korrelationslänge am kritischen Punkt 

wächst. In einem diffusionsartigen Prozess wie z.B. einem random walk ist z = 2, während 

an einem Phasenübergang wie dem der gerichteten Perkolation im Allgemeinen z < 2 ist. 



ξ 

ξ 

ξ || 

ξ || 

Abbildung 7.8: Korrelationsskalen ξ ⊥ und ξ ‖ . 

Exponent d = 1 d = 2 d = 3 d > 4 

β 0.276486(8) 0.584(4) 0.81(1) 1 

ν ⊥ 1.096854(4) 0.734(4) 0.581(5) 1/2 

ν ‖ 1.733847(6) 1.295(6) 1.105(5) 1 

1.580745(10) 1.76(3) 1.90(1) 2 

δ = β/ν ‖ 0.159464(6) 0.451 0.73 1 

θ 0.313686(8) 0.230 0.12 0 

Tabelle 7.1: Werte der kritischen Exponenten in der gerichteten Perkolation. 

Man geht davon aus, dass die drei Exponenten (β, ν ⊥ , ν ‖ ) eine gegebene Universalitätsklasse 

vollständig charakterisieren und nur von der Dimension des Systems abhängen 

(siehe Tabelle 7.1). Alle anderen universellen Exponenten können durch einfache Formeln, 

sogennanten Skalenrelationen auf diese drei Standardexponenten zurückgeführt 

werden. Als Beispiel betrachten wir einen DP-Prozess, der mit einem einzigen aktiven 

Gitterplatz startet und einen Cluster erzeugt. Die mittlere Anzahl der aktiven Gitterplätze 

zum Zeitpunkt t, 

N(t) = 〈 ∑ s i (t)〉 (7.8) 

i 

wächst am kritischen Punkt wie 

N(t) ∼ t θ . (7.9) 

Dabei kann θ durch die sogenannte verallgemeinerte Hyperskalenrelation ausgedrückt 

werden: 

θ = dν ⊥ − 2β 

ν ‖ 

. (7.10) 

7.2 Phänomenologische Skalentheorie 

Wir haben bereits an verschiedenen Beispielen gesehen, dass fraktale Strukturen durch 

Potenzgesetze charakterisiert werden. Solche Systeme bezeichnet man als skalenfrei (scale 

free), d.h. abgesehen von der makroskopischen Systemgröße und der mikroskopischen 

Gitterkonstante gibt es keine ausgezeichnete typische Länge im System. Ebenso gibt es 

abgesehen von der gesamten Simulationszeit und der mikroskopischen Update-Zeit keine 


7.2 Phänomenologische Skalentheorie 123 

weitere typische Zeitskala im System. Beispiele sind DLA-Cluster, Sierpinski-Fraktale, der 

Annihilations- und Koagulationsprozess, sowie die gerichtete Perkolation am kritischen 

Punkt. Skalenfreiheit verbietet beispielsweise einen exponentiellen Zerfall einer Korrelationsfunktion, 

denn das Argument der Exponentialfunktion muss immer dimensionslos 

sein, also von der Form exp(r/r 0 ) sein, wobei r 0 aber eine ausgezeichnete Länge wäre, 

die es in einem skalenfreien System nicht gibt. 

Skaleninvariante Systeme können sehr erfolgreich durch eine phänomenologische Skalentheorie 

beschrieben werden. ‘Phänomenologisch’ bedeutet dabei, dass die Gültigkeit der 

Theorie bis auf wenige exakt lösbare Fälle nicht streng bewiesen werden kann, sondern 

vielmehr postuliert und dann numerisch verifiziert wird. 

7.2.1 Skaleninvarianz 

Ausgangspunkt der phänomenologischen Skalentheorie für Phasenübergänge wie den in 

der gerichteten Perkolation ist die Annahme, dass die makroskopischen (d.h. langreichweitigen) 

Eigenschaften eines Systems nahe am Phasenübergang unter einer Skalentransformation 

invariant ist. Konkret bedeuted dies, dass eine Reskalierung der Zeit-, Längen,- 

und Kontrollparameter 

∆ → a ∆, ⃗x → a −ν ⊥ 

⃗x, t → a −ν ‖ 

t, (7.11) 

zu einer Änderung des Ordnungsparameters (der Teilchendichte) 

ρ → a β ρ (7.12) 

führt, wobei a > 0 ein Skalenfaktor (Zoomfaktor) und ∆ = p − p c der Abstand vom 

kritischen Punkt ist. Es stellt sich heraus, dass eine solche postulierte Skaleninvarianz 

die Form von Funktionen stark einschränkt. Als Beispiel betrachteten wir den Zerfall der 

Dichte aktiver Gitterplätze ρ(t) bei einem anfangs voll besetzten Gitter am kritischen 

Punkt. Das obige Postulat führt hier auf die Gleichung 

a β ρ(t) = ρ(a −ν ‖ 

t) . (7.13) 

Da der Zoomparameter a frei wählbar ist, darf man eine spezielle Wahl vornehmen. Wählt 

man a derart dass t a −ν ‖ 

= 1 ist, erhält man ρ(t) = t −β/ν ‖ρ(1), also einen algebraischen 

Zerfall von der Form 

ρ(t) ∼ t −δ , δ = β/ν ‖ . (7.14) 

In einem endlichen System mit N = L d Gitterplätzen nahe am kritschen Punkt hängt 

die Dichte ρ(t, ∆, L) von drei Parametern ab. Eine analoge Rechnung führt hier auf die 

Bestimmungsgleichung 

a β ρ(t) = ρ(a −ν ‖ 

t, a∆, a −ν ⊥ 

L) , (7.15) 

denn L ist eine Länge und skaliert demzufolge wie ⃗x. Man erhält dann 

ρ(t, ∆, L) ∼ t −β/ν ‖ 

f(∆ t 1/ν ‖ 

, t d/z /L) . (7.16) 

Dabei hängt die Funktion f nur von zwei skaleninvarianten Quotienten ab. Die Funktion 

f ist universell, d.h. (bis auf Proportionalitätskonstanten) identisch für alle Modelle in 

der gleichen Universalitätsklasse, und wird deshalb auch als universelle Skalenfunktion 

bezeichnet. 



Bemerkung: Eine Funktion g(x 1, . . . , x n) mit der Eigenschaft g(x 1, . . . , x n) = af(ax 1, . . . , ax n) 

heisst homogen. Dementsprechend wird eine Funktion, die eine Bestimmungsgleichung von 

der Form (7.13) und (7.15) erfüllt, in der also die Skalenfaktoren mit individuellen Potenzen 

versehen sind, als verallgemeinerte homogene Funktion bezeichnet. Dabei kann durch 

spezielle Wahl des Skalenparameters einer der Funktionsparameter auf einen konstanten 

Wert gesetzt werden. Die Funktion g lässt sich damit ausdrücken als ein Potenzgesetz 

multipliziert mit einer Skalenfunktion, die von nur n − 1 skaleninvarianten Quotienten der 

Parameter abhängt. 

7.2.2 Universalität 

Wie bereits mehrfach erwähnt, ist die sogenannte Universalität von Phasenübergängen 

ein grundlegender Begriff. Mit diesem Begriff umschreibt man die Annahme, dass das 

kritische Verhalten von Systemen mit kontinuierlichen Phasenübergängen einer endlichen 

Anzahl möglicher Universalitätsklassen zugeordnet werden kann. 

Bemerkung: Für die Experten: Universalitätsklassen sind bestimmten Feldtheorien zugeordnet. 

Diese Feldtheorien werden durch die Symmetrien des Systems und die relevanten 

Terme im Wirkungsfunktional charakterisiert. Die mikroskopischen Details des Modells 

wie z.B. die konkrete Gitterstruktur führen dagegen zu Termen höherer Ordnung, die im 

feldtheoretischen Sinne irrelevant sind, also unter Reskalierung gegen Null gehen. Die Irrelevanz 

fast aller Terme mit Ausnahme einiger weniger relevanter Terme ist die Ursache für 

Universalität. 

Die gerichtete Perkolation ist die wichtigste Klasse im Bereich der statistischen Physik 

fernab vom Gleichgewicht. Sie tritt in unzähligen Modellen auf und ist in unzähligen 

Publikationen untersucht worden. Die extreme Robustheit dieser Klasse führten Janssen 

und Grassberger auf die sogenannte DP-Vermutung (DP conjecture). Diese besagt, dass 

ein System zur Universalitätsklasse der gerichteten Perkolation gehören sollte, sobald die 

folgenden Bedingungen erfüllt sind: 

1. Das Modell besitzt einen kontinuierlichen Phasenübergang von einer fluktuierenden 

aktiven Phase in einen absorbierenden fluktuationsfreien Zustand. 

2. Der Phasenübergang wird durch einen nicht-negativen einkomponentigen Ordnungsparameter 

charakterisiert (in der Regel die Dichte der aktiven Gitterplätze) 

3. Die Dynamik ist kurzreichweitig, Wechselwirkungen finden also nur lokal statt. 

4. Das System hat keine unkonventionellen Eigenschaften wie z.B. zusätzliche Symmetrien 

oder eingefrorene Unordnung 4 . 

Obwohl diese Vermutung nicht streng bewiesen ist, sind bislang keine Gegenbeispiele 

bekannt. Vielmehr scheint die gerichtete Perkolation sogar in Fällen zu existieren, bei 

denen eine oder mehrere dieser vier Bedinungen verletzt sind. 

4 Die Untersuchung von Systemen mit eingefrorener Unordnung (engl. quenched disorder) ist ein aktuelles 

Forschungsgebiet und geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus. 


7.3 Andere stochastische Prozesse 125 

7.3 Andere stochastische Prozesse 

Die oben skizzierte phänomenologische Theorie der Skaleninvarianz ist nicht nur auf 

Reaktions-Diffusionsprozesse beschränkt, sondern in sehr vielen weiteren Fällen anwendbar. 

Als Beispiele wollen wir Wachstumsprozesse und das sogannte Wählermodell betrachten. 

7.3.1 Wachstumsprozesse 

Unter einem Wachstumsprozess versteht man ein 

vereinfachtes Modell für Oberflächenwachstum durch 

Deposition einzelner Atome bzw. Moleküle. Im Experiment 

gibt es verschiedene Realisierungsmöglichkeiten. 

In Würzburg wird vor allem Molekularstrahlepitaxie 

(MBE) betrieben, wobei Teilchen in einer 

thermischen Quelle (Ofen) freigesetzt und danach gezielt 

auf einer Probe deponiert werden. Dieses Verfahren 

wird vor allem für die Herstellung von dünnen 

Schichten im Monolagenbereich und Nanostrukturen 

eingesetzt. 

MBE-Experiment, EP III 

Arbeitsgruppe Prof. Brunner 

Je nachdem, ob das Material des Substrats und der aufzubringenden Strukturen gleich 

oder verschieden sind, spricht man von Homo- bzw. Heteroepitaxie. Alternativ kann man 

eine Oberfläche in eine gasförmige Umgebung bringen, wobei sich allein durch die thermische 

Dynamik des Gases Teilchen auf der Oberfläche absetzen. Neben der Deposition von 

Teilchen ist bei genügend hohen Temperaturen auch der umgekehrte Prozess, nämlich 

die Verdamfung (Desorption) von Teilchen möglich. Beide Prozesse, spontane Deposition 

und Desorption, konkurrieren miteinander, wodurch es zu interessanten Effekten kommt. 

Im einfachsten Fall modelliert man die zu deponierenden Atome bzw. Moleküle durch 

würfelförmige Teilchen. Die Konfiguration eines solchen solid-on-solid (SOS)-Modells 

wird durch eine Grenzfläche (interface) vollständig beschrieben. Sofern man die Bildung 

von Überhängen verbietet, wird die Grenzfläche eindeutig durch eine Höhenfunktion 

h(⃗r) beschrieben, welche die Höhe der Grenzfläche am (zweidimensionalen) Ort ⃗r auf der 

Oberfläche in Bezug auf ein willkürlich festgelegtes Höhenniveau angibt (siehe Abb. 7.9). 

Abbildung 7.9: Modellierung eines Wachstumsprozesses durch stoachstische Deposition und Verdampfung 

würfelförmiger Teilchen. Die Konfiguration wird dabei durch eine Grenzfläche 

beschrieben. 



Das einfachste Wachstumsmodell dieser Art ist die zufällige Deposition (random deposition): 

Teilchen ‘regnen’ zufällig von oben herab und stapeln sich auf der Oberfläche. 

Ein solches Programm für das Wachstum einer eindimensionalen Oberfläche ist denkbar 

einfach: 

int main (void) 

{ 

InitRandom(); 

XWindow W; W.Open(L,Y); 

for (int i=0; i=h[i] and h[(i+L-1)%L]>=h[i]) h[i]++; 

Dabei wurden periodische Randbedingungen angenommen. Wie man in Abb. 7.10 sehen 

kann, ergeben sich erheblich glattere Oberflächen. 

Die mikroskopische Beschaffenheit einer wachsenden Oberfläche wird experimentell vor 

allem durch Streuung von Röntgenstrahlen analysiert. Eine wichtige experimentell messbare 

Größe ist die Rauigkeit (engl. roughness) w der Oberfläche, die als Standardabweichung 

der Höhen definiert ist: 

( 

2 

w 2 = (h − h) 2 = h 2 − h 2 = 1 ∑ 

h(⃗r) 2 1 ∑ 

− h(⃗r)) 

(7.18) 

N 

N 

( 

2 

w 2 = 〈(h − 〈h〉) 2 〉 = 〈h 2 〉 − 〈h〉 2 = 1 ∑ 

h(⃗r) 2 1 ∑ 

− h(⃗r)) 

(7.19) 

N 

N 

⃗r 

⃗r 

⃗r 

⃗r 


7.3 Andere stochastische Prozesse 127 

Abbildung 7.10: Grenzfläche eines eindimensionalen solid-on-solid (SOS) und eines restricted-solidon-solid 

(RSOS)-Modells nach etwa 600 Zeitschritten. 

Dabei wird über alle N = L d Gitterplätze der Oberfläche summiert. Die Rauigkeit ist 

sehr viel interessanter als die (linear wachsende) Höhe, da sie den Einfluss der Oberflächenspannung 

quantitativ widergibt. Eine einfache Simulation zeigt, dass die Rauigkeit 

in den beiden betrachteten Modellen wie 

{ t 

1/2 

für das SOS-Modell 

w(t) ∼ 

t 1/3 für das RSOS-Modell 

(7.20) 

ansteigt. Im Fall des SOS-Modells ist dieses Ergebnis einfach zu verstehen, denn hier 

gibt es keine Wechselwirkung zwischen benachbarten Plätzen, vielmehr wächst jede Säule 

unabhängig durch stochastische Deposition. Das Histogramm der Höhen, auch Höhenprofil 

genannt, ist deshalb wie bei einem random walk Gauß-verteilt mit einer Breite von 

√ 

h ∼ 

√ 

t. Wegen der fehlenden Wechselwirkung spielt die Systemgröße dabei keine Rolle. 

Im Fall des RSOS-Modells wechselwirken benachbarte Plätze durch die Restriktion. Das 

obige Potenzgesetz ist deshalb nur gültig für eine unendlich große Oberfläche. Ist das 

System dagegen endlich, gibt es eine maximale Rauigkeit, die nicht überschritten werden 

kann. Die Kurve für w(t) saturiert also nach gewisser Zeit. 

Es zeigt sich, dass auch für Wachstumsprozesse das im vorangegangenen Abschnitt diskutierte 

Konzept der dynamischen Skaleninvarianz erfolgreich angewandt werden kann. 

Dabei muss die Höhe, aufgefasst als kontinuierlicher Freiheitsgrad, geeignet mitskaliert 

werden. Es sei an dieser Stelle nur erwähnt, dass beispielsweise die Rauigkeit in einem 

endlichen System mit Seitenlänge L einer Skalenform 

w(L, t) = L α f(t/L z ) (7.21) 

genügt, wobei α der sogeannte Rauigkeitsexponent ist. Dynamisches Scaling ist also ein 

sehr allgemeines Konzept, das auf eine Vielzahl unterschiedlicher Systeme angewandt 

werden kann. Auch hier lassen sich Wachstumsprozesse je nach ihren Symmetrieeigenschaften 

verschiedenen Universalitätsklassen zuordnen. Als Einführung in die Theorie der 

Wachstumsprozesse eignet sich das Buch von Barabasi und Stanley [16] an. 



Abbildung 7.11: 



7.3.2 Voter Modell 

7.4 Aufgaben 


8 Fourier-Transformation 

Jean B. J. Fourier (1768-1830) 

8.1 Fourier-Transformation – kurz gefasst 

Die Fourier-Transformation ist eine lineare invertierbare Transformation, die physikalisch 

einer Spektralzerlegung entspricht. Eine Fourier-Transformation ist in verschiedenen Situationen 

sinnvoll, insbesondere dann wenn 

• das betrachtete System einem linearen Superpositionsprinzip gehorcht, 

• es abgesehen von Rand- und Anfangsbedingungen translationsinvariant ist. 

Ein Beispiel ist die Wellengleichung 

∂ 2 t φ(⃗x, t) − c 2 ∇ 2 φ(⃗x, t) = 0 . (8.1) 

Diese Differentialgleichung ist linear, d.h. die Summe zweier Lösungen ist wiederum eine 

Lösung. Außerdem ist sie translationsinvariant in Raum und Zeit, da weder t noch ⃗x in 

der Gleichung explizit auftreten. Hier bietet sich also sowohl in den räumlichen als auch 

in den zeitlichen Freiheitsgraden eine Fourier-Transformation an. 

Anschaulich ist eine Fourier-Transformation eine Entwicklung nach ebenen Wellen. Dabei 

spielt sowohl die Amplitude als auch die Phasenlage jedes Wellenanteils eine Rolle. 

Die Phasenlage wird in der Physik durch eine komplexe Phase ausgedrückt. Eine reelle 

Darstellung als “Cosinus- und Sinus-Transformierte” ist in der Physik eher ungebräuchlich. 

Die ebenen Wellen, nach denen entwickelt wird, müssen mit den Randbedingungen des 

betrachteten Systems kompatibel sein, wodurch es zu einer Auswahl, also zu einer Einschränkung 

des Funktionenraums kommen kann. Beispielsweise müssen in einem Resonator 

die ebenen Wellen am Rand einen Knoten besitzen, womit nur bestimmte Wellenzahlen 

möglich sind. Je nach Art der Randbedingungen unterscheidet man in der Theorie 

deshalb kontinuierliche Fourier-Transformationen, Fourier-Reihen und diskrete Fourier- 

Transformationen. Ohne auf mathematische Details einzugehen, wollen wir diese drei 

Typen hier kurz zusammenfassen. 



8.1.1 Kontinuierliche Fouriertransformationen 

Funktionen, die auf einem unbeschränkten Zahlenkörper (also in der Regel R oder C) 

definiert sind, werden mit Hilfe einer kontinuierlichen Fourier-Transformation spektral 

zerlegt. Sei beispielsweise f(x) : R → R eine reelle Funktion auf einem (unbeschränkten) 

eindimensionalen Zahlenstrahl, dann ist 

˜f(k) = √ 1 ∫ +∞ 

dx e ikx f(x) (8.2) 

2π 

−∞ 

die Fourier-Transformierte von f(x). Mit Hilfe der Identität 

∫ +∞ 

−∞ 

dk e ik(x−x 0) = 2π δ(x − x 0 ) (8.3) 

kann man leicht überprüfen, dass die Umkehrtransformation durch 

f(x) = √ 1 ∫ +∞ 

dk e −ikx ˜f(k) (8.4) 

2π 

−∞ 

gegeben ist. Die mathematischen Voraussetzungen, die für eine kontinuierliche Fourier- 

Transformation erfüllt sein müssen, finden Sie in einschlägigen Lehrbüchern oder im 

Internet [2]. 

Der Vorfaktor 1/ √ 2π rührt daher, dass Physiker gerne e ikx anstatt e 2πikx benutzen. 

Außerdem gibt es verschiedene Konventionen, die sich nur dadurch unterscheiden, wie 

der Vorfaktor auf Hin- und Rücktransformation verteilt ist. Physiker bevorzugen die oben 

eingeführte symmetrische Verteilung. 

Auch die Sprache Mathematica R○ 

fs[k_] = FourierTransform[f[x],x,k]; 

f[x_] = InverseFourierTransform[fs[k],k,x]; 

hält sich an diese Konvention. Der Befehl lauten 

Dabei ist das erste Argument die zu transformierende Funktion, das zweite deren ursprüngliche 

unabhängige Variable, in der transformiert werden sollen, und das dritte 

Argument die neue unabhängige Variable der Fourier-Transformierten. 

Überzeugen Sie sich, dass die Fourier-Transformierte einer rellen Funktion im Allgemeinen 

komplexwertig ist. Wie man leicht nachrechnen kann, gilt für eine solche Fourier- 

Transformierte ˜f(k) = ˜f ∗ (−k). An dieser Eigenschaft erkennt man also, dass die ursprüngliche 

Funktion reell war. 

Eine Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, kann sukzessive in jeder Variable 

einzeln Fourier-transformiert werden, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt. Die 

Fourier-Transformierte einer Funktion mit zwei Variablen ist beispielsweise 

˜f(k x , k y ) = √ 1 ∫ +∞ 

dx 1 ∫ +∞ 

√ dy e i(kxx+kyy) f(x, y) (8.5) 

2π 2π 

−∞ 

mit entsprechender Umkehrtransformation. In Mathematica R○ schreibt man dafür 

−∞ 

FT = FourierTransform[f[x,y],{x,y},{kx,ky}]; 


8.1 Fourier-Transformation – kurz gefasst 133 

Fourier-Transformationen in d Dimensionen kann man mit Hilfe des euklidischen Skalarprodukts 

elegant darstellen als 

∫ ∫ ∫ 

˜f( ⃗ 1 

+∞ 

k) = 

(2π) d/2 · · · d d x e i⃗k·⃗x f(⃗x) , (8.6) 

wobei man statt des Vielfachintegrals in der Regel nur ein Integralzeichen hinschreibt. 

−∞ 

8.1.2 Fourier-Reihen 

Im vorherigen Abschnitt haben wir kontinuierliche Fouriertransformationen von Funktionen 

auf einer unbeschränkten Urbildmenge betrachtet, also von Funktionen, die auf 

ganz R bzw. C definiert sind. Was aber passiert, wenn die zu transformierende Funktion 

auf einer beschränkten Urbildmenge, also beispielsweise auf einem endlichen Intervall 

I = [a, b] ⊂ R definiert ist? 

Um eine solche Funktion Fourier-transformieren zu können, muss sie auf geeignete Weise 

ergänzt werden, so dass sie auf dem gesamten Zahlenkörper erklärt ist, beispielsweise 

muss die Funktion außerhalb des Intervalls [a, b] auf sinnvolle Weise definiert werden. 

Eine Möglichkeit wäre, die Funktion außerhalb des Intervalls gleich Null zu setzen. Eine 

andere Möglichkeit, mit der wir uns in diesem Abschnitt befassen wollen, besteht darin, 

die Funktion periodisch fortzusetzen. Eine Funktion f(x) mit der Periode ∆x (im obigen 

Beispiel ∆x = b − a) mit der Definitionseigenschaft 

führt bei Fourier-Transformation wegen 

f(x + ∆x) = f(x) ∀x ∈ R (8.7) 

˜f(k) = √ 1 ∫ +∞ 

dx e ikx f(x) = 1 ∫ +∞ 

√ dx e ikx f(x + ∆x) = e −ik ∆x ˜f(k) (8.8) 

2π 2π 

−∞ 

−∞ 

auf die Bedingungsgleichung e −ik ∆x = 1 ist, d.h. k ∆x muss ein Vielfaches von 2π sein: 

Als Faustregel gilt also: 

k n 

= 2πn 

∆x 

, n ∈ Z. (8.9) 

Funktionen auf einem beschränkten Intervall, die periodisch 

fortgesetzt werden, besitzen ein diskretes Spektrum. 

Als Beispiel betrachten wir die Funktion f(x) = cos 4 (x) auf [0, 2π], die sich auf natürliche 

Weise periodisch fortsetzen lässt. Mit dem Befehl 

FourierTransform[Cos[x]^4, x, k] 

liefert Mathematica R○ die Fourier-Transformierte 

˜f(k) = 1 √ ( 

) 

π 

δ(k − 4) + 4δ(k − 2) + 6δ(k) + 4δ(k + 2) + δ(k + 4) , (8.10) 

8 2 



Abbildung 8.1: Approximation einer Rechteckschwingung durch eine Fourier-Reihe. 

die in der Tat aus fünf äquidistanten δ-peaks besteht. Im Allgemeinen können sogar 

unendlich viele äquidistante δ-peaks auftreten. Wendet man nun auf eine solche Funktion 

die inverse Fourier-Transformation an, so erhält man eine Summe von oszillierenden 

Termen. Im obigen Beispiel besteht diese Summe aus 5 Termen, sie kann aber auch 

unendlich viele Summanden haben. Man spricht dann von einer Fourier-Reihe. 

Bei einer Fourier-Reihe reicht es aus, die Koeffizienten 

c n = 

∫ 

1 b 

√ dx e iknx f(x) (8.11) 

b − a 

a 

der Entwicklung anzugeben, wobei k n 

nimmt dann die Gestalt einer Reihe 

an. 

f(x) = 

= 2πn 

∆x 

1 

√ 

b − a 

+∞ ∑ 

n=−∞ 

ist. Die inverse Fourier-Transformation 

e −iknx c n (8.12) 

Als Beispiel betrachten wir eine Rechteckschwingung, die als Klang von elektronischen 

Geräten wie z.B. von Digitalweckern erzeugt wird: 

f(x) = 

{ +1 falls 0 < x ≤ 

1 

2 

−1 falls 1 2 < x ≤ 1. (8.13) 

Die Koeffizienten sind dann 

c n = 

{ 0 falls n gerade 

falls n ungerade. 

2i 

nπ 

und man erhält die Fourier-Reihe 

f(x) = 2i ∞∑ exp[2πi(2m + 1)x] 

π 

2m + 1 

m=−∞ 

= 4 π 

∞∑ 

m=0 

sin[2π(2m + 1)x] 

2m + 1 

(8.14) 

. (8.15) 

Bricht man diese Reihe nach M Gliedern ab, so erhält man eine Approximation der 

Rechteckschwingung. Abb. 8.1 zeigt diese Approximation für M = 0, . . . , 4. 



f(x) ˜f(k) Datenmenge 

kontinuierlich, nicht periodisch kontinuierlich, nicht periodisch überabzählbar unendlich 

kontinuierlich, periodisch diskret, nicht periodisch abzählbar unendlich 

diskret, nicht periodisch kontinuierlich, periodisch abzählbar unendlich 

diskret, periodisch diskret, periodisch endlich 

Tabelle 8.1: Vier unterschiedliche Typen von Fourier-Transformationen 

Bemerkung: Für unendliche Fourier-Reihen kennt Mathematica R○ keine eigenen Befehle, 

sondern man muss die betreffenden Integrale und Summen per Hand eingeben. Nicht immer 

sind die Ergebnisse dabei sofort transparent. Wertet man z.B. mit Mathematica R○ die Reihe 

in Gl. (8.15) aus, so erhält man das Ergebnis 

f(x) = 2i [ 

] 

arctanh(e 2πix ) − arctanh(e −2πix ) . (8.16) 

π 

Man muss schon genau hinsehen um zu erkennen, dass diese Formel tatsächlich eine periodische 

Rechteckschwingung wie in Gl. (8.13) reproduziert. 

8.1.3 Diskrete Fourier-Transformationen 

Ist die zu transformierende Funktion diskret und periodisch, so ist auch die Fourier- 

Transformierte der Funktion diskret und periodisch. In diesem Fall liegt sowohl die 

Funktion als auch die Fourier-Transformierte in Form einer endlichen Menge von Koeffizienten 

{a 0 , . . . , a N−1 } bzw. {ã 0 , . . . , ã N−1 }vor. Die diskrete Fourier-Transformation 

ist also der einzige Typus, der auf einem Rechner numerisch realisiert werden kann. Die 

Transformationsformeln lauten 

ã k = 

a n = 

N−1 

1 ∑ ( 2πikn 

) 

√ a n exp 

N N 

n=0 

N−1 

1 ∑ 

√ 

N 

k=0 

( 

ã k exp 

− 2πikn 

N 

Diese linearen Transformationen lassen sich in Matrixschreibweise 

) 

k = 0, . . . , N − 1 (8.17) 

n = 0, . . . , N − 1 . (8.18) 

ã k = F kn a n , a n = F −1 

nk ãk (8.19) 

darstellen, wobei die Matrizen durch 

F kn = √ 1 ( 2πikn 

) 

exp , F −1 

N N 

nk = √ 1 ( 

exp − 2πikn ) 

N N 

(8.20) 

gegeben sind. Es gilt F kn F −1 

nk 

= δ ′ kk ′. Zum Beweis benötigt man die fundamentale Relation 

N−1 

∑ 

n=0 

( 2πikn 

) { N falls k ein Vielfaches von N ist, 

exp = 

N 0 andernfalls. 

(8.21) 

Die obige Definition diskreter Fourier-Transformationen eignet sich für alle Programmiersprachen, 

bei denen Vektoren (Arrays) von 0 bis N − 1 indiziert werden, also beispielsweise 

C/C++. Dagegen benutzt Mathematica R○ die schwer nachvollziehbare Konvention 



der Indizierung von 1 bis N. In diesem Fall sehen die Transformationsformeln etwas 

komplizierter aus, unterscheiden sich aber nur durch eine Verschiebung in den Indices: 

ã k = 

a n = 

1 

√ 

N 

1 

√ 

N 

N ∑ 

n=1 

∑ 

N 

k=1 

( 

a n exp 2πi 

( 

ã k exp −2πi 

(k − 1)(n − 1) 

) 

N 

(k − 1)(n − 1) 

) 

N 

k = 1, . . . , N (8.22) 

n = 1, . . . , N . (8.23) 

Mit Mathematica R○ führt man diese Transformation einfach durch den Befehl 

FT=Fourier[{a1,a2,a3,a4,...,aN}] 

aus. Die ursprüngliche Liste erhält man dann durch InverseFourier[FT] zurück. 

Merke: Fourier[Liste] ≡ diskrete Fourier-Transformation 

FourierTransform[f[x],x,k] ≡ kontinuierliche Fourier-Transformation 

8.1.4 Invarianz des Skalarprodukts 

Wie man leicht überprüfen kann, erfüllen die in Gl. (8.20) definierten Matrizen die Relation 

FF † = F † F = 1 , (8.24) 

die Fourier-Transformation ist also eine unitäre Transformation (analog zu orthogonalen 

Transformation in reellen Vektorräumen). Eine diskrete Fourier-Transformation ist also 

im gewissen Sinne eine Drehung im N-dimensionalen Vektorraum und dementsprechend 

muss das dazugehörige euklidische Skalarprodukt 

a · b := ∑ n 

a n b ∗ n (8.25) 

invariant bleiben. Man kann sich davon leicht überzeugen, indem man zunächst das Skalarprodukt 

programmiert 

ScalarProduct[a_List,b_List] := a.Conjugate[b] 

und damit ein Beispiel ausprobiert: 

a={1,2,3}; b={4,5,6}; 

ScalarProduct[a,b] 

ScalarProduct[Fourier[a],Fourier[b]]; 

Ausgegeben werden 32 und 32. + 0.i, die Ergebnisse sind also bis auf winzige numerische 

Fehler im Imaginärteil identisch. 

Ähnliches gilt für kontinuierliche Fouriertransformationen. Diese lassen sich als ‘Drehungen’ 

in einem (unendlich-dimensionalen) Funktionenraum interpretieren. Das entsprechende 

Skalarprodukt lautet 

f · g := 

∫ +∞ 

−∞ 

f(x)g ∗ (x) (8.26) 

und ist unter Fourier-Transformation erhalten. Dies kann man mit dem folgenden Beispiel 

exemplarisch überprüfen: 



Abbildung 8.2: Gleitende diskrete Fourier-Transformation unter KDE mit KRecord. 

f[x_]:=x^2; 

fs[k_]=FourierTransform[f[x],x,k]; 

g[x_]:=Exp[-x^2]; 

gs[k_]=FourierTransform[g[x],x,k]; 

ScalarProduct[f_,g_] := Integrate[f[x]*Conjugate[g[x]],{x,-Infinity,Infinity}] 

ScalarProduct[f,g] 

ScalarProduct[fs,gs] 

In beiden Fällen wird √ π/2 ausgegeben. 

8.1.5 Gleitende diskrete Fourier-Transformationen 

Oft benötigt man in der Physik Informationen über das Spektrum einer Zeitreihe, also 

einer zeitlichen Abfolge diskreter Amplituden. Insbesondere möchte man wissen, wie sich 

das Frequenzspektrum zeitlich ändert. Die meisten Programme zur Audio-Bearbeitung 

wie z.B. KRecord (siehe Abb. 8.2) bieten diese Möglichkeit. Die oben eingeführte diskrete 

Fourier-Transformation erlaubt aber nur, die gesamte Zeitreihe en bloc zu transformieren. 

Um ein zeitabhängiges Spektrum zu erhalten, benutzt man in der Regel ein gleitendes 

Zeitfenster, mit dem ein Teil der Zeitreihe isoliert und Fourier-transformiert wird. Für 

eine solche gleitende diskrete Fourier-Transformation gilt die ‘Unschärferelation’ 

Zeitfensterbreite × Frequenzauflösung ≃ 1 . (8.27) 

Je breiter das Zeitfenster ist, um so genauer ist das Spektrum aufgelöst, jedoch wird es 

dadurch in seiner Zeitabhängigkeit träger. 

8.1.6 Allgemeine Eigenschaften von Fourier-Transformationen 

Wichtig für den praktischen Umgang mit Fourier-Transformationen ist eine gute Intuition. 

Eine wichtige Faustregel besagt, dass Welligkeit (Oszillation) auf der einen Seite 

Verschiebung (Translation) auf der anderen Seite zur Folge hat. 

• Multiplziert man insbesondere eine Funktion mit einer ebenen Welle, so führt das zu 

einer Translation der Fourier-Transformierten und umgekehrt. Für kontinuierliche 

Fourier-Transformationen heisst das konkret: 

f(⃗x) → f(⃗x + ⃗a) ⇔ ˜f( ⃗ k) → e 

−i ⃗ k·⃗a ˜f( ⃗ k) , (8.28) 

f(⃗x) → e i⃗q·⃗x f(⃗x) ⇔ ˜f( ⃗ k) → ˜f( ⃗ k + ⃗q) (8.29) 



Für diskrete Fourier-Transformationen gelten entsprechende Formeln, allerdings 

ist hier die Translation periodischen Randbedingungen zu unterwerfen, also stets 

modulo N auszuführen. Für Indizierung 0 . . . N − 1 erhält man 

a n → a (n+s)%N ⇔ ã k → e −2πiks/N ã k , (8.30) 

a n → e 2πiqn/N a n ⇔ ã k → ã (k+q)%N (8.31) 

wobei s, q ∈ {0, . . . N − 1} sind und ‘%’ wie in C/C++ für die Modulo-Operation 

steht. Für die Indizierung 1 . . . N sind diese Formeln um 1 in den Indices zu verschieben. 

So lässt sich der Verschiebungseffekt gemäß Gl. (8.30) mit Mathematica R○ demonstrieren: 

Liste = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 

FT = Fourier[Liste]; 

s = 2; 

Welle = Table[Exp[-2*Pi*I*j/Length[Liste]*s], {j, 0, Length[Liste]-1}]; 

InverseFourier[Welle*FT] 

Als Ausgabe erhält man {3,4,5,6,1,2}, also die um s = 2 Position zyklisch nach 

links verschobene Liste. Beachten Sie, dass eine Verschiebung des Index n → n + s 

die Liste nicht etwa nach rechts, sondern um s Positionen nach links schiebt. Es 

verhält sich hier ganz ähnlich wie bei Funktionen: Wenn man f(x) und f(x+1) gemeinsam 

grafisch darstellt, so ist die letztere gegenüber f(x) nach links verschoben 1 

• Eine Punktspiegelung ⃗x → −⃗x auf der einen Seite ist äquivalent zu einer Punktspiegelung 

⃗ k → − ⃗ k auf der jeweils anderen Seite, d.h. 

f(⃗x) → f(−⃗x) ⇔ ˜f( ⃗ k) → ˜f(− ⃗ k) . (8.32) 

Anders ausgedrückt: Die Operation der Punktspiegelung kommutiert mit der Fouriertransformation. 

• Eine weitere wichtige Regel besagt, dass die Komplexkonjugation auf der einen 

Seite einer Punktspiegelung plus Komplexkonjugation auf der jeweils anderen Seite 

entspricht, also 

f(⃗x) → f ∗ (⃗x) ⇔ ˜f( ⃗ k) → ˜f ∗ (− ⃗ k) (8.33) 

f(⃗x) → f ∗ (−⃗x) ⇔ ˜f( ⃗ k) → ˜f ∗ ( ⃗ k) (8.34) 

Für diskrete Fouriertransformationen (Zählung 0 . . . N − 1) gilt entsprechend: 

a n → a ∗ n ⇔ b k → b ∗ N−k (8.35) 

a n → a ∗ N−n ⇔ ˜bk → b ∗ k (8.36) 

1 Dieser Sachverhalt ist in komplizierteren Zusammenhängen nichttrivial und führt häufig zu Fehlern. 

Stellen Sie sich beispielsweise eine Drehmatrix R vor, die einen zweidimensionalen Vektor ⃗x nach 

rechts dreht. In der Quantenmechanik würde diese Matrix, auf das Argument einer Wellenfunktion 

ψ(⃗x) angewandt, entgegengesetzt wirken, d.h. ψ(R⃗x) beschreibt ein nach links gedrehtes Objekt. 



Die komplexe Konjugation der Koeffizienten entspricht also einer Umkehrung der 

Reihenfolge (Spiegelung) der Fourier-transformierten Koeffizienten und umgekehrt. 

Nur ein Koeffizient, nämlich derjenige, an dem gespiegelt wird, bleibt an seinem 

Platz: k = 0 bzw. n = 0. Mit Mathematica R○ lässt sich das leicht überprüfen: 

Liste = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 


InverseFourier[Conjugate[FT]] 

Die Ausgabe lautet [1,6,5,4,3,2], also die an der ersten Komponente zyklisch 

gespiegelte Liste. 

• Fourier-Transformationen sind im Allgemeinen für komplexwertige Funktionen definiert, 

können aber (und werden oft) auf reelle Funktionen angewandt. Die Fourier- 

Transformierte einer reellen Funktion hat die Eigenschaft 

f(⃗x) ∈ R d ⇒ ˜f( ⃗ k) = ˜f ∗ (− ⃗ k) (8.37) 

und für diskrete Fourier-Transformationen entsprechend 

a n ∈ R 

⇒ 

{ 

ãk = ã ∗ N−k 

für Zählung k = 0, . . . N − 1 , 

ã k = ã ∗ N+1−k 

für Zählung k = 1, . . . N . 

(8.38) 

Die Fourier-Transformierte einer reellen Funktion ist zwar komplex, ist aber spiegelsymmetrisch 

bezüglich k = 0 und besitzt damit nur halb so viele Freiheitsgrade. 

In der Tat haben reelle Funktionen haben wegen des verschwindenden Imaginärteils 

auch nur ‘halb so viele’ Freiheitsgrade wie komplexe Funktionenen. 

Bemerkung: Eng verwandt mit Fourier-Transformationen sind Laplace-Transformationen,die 

sich ganz grob als in der komplexen Ebene um 90 ◦ gedrehte Fourier-Transformationen interpretieren 

lassen. Die Transformationsformeln lauten 

F (s) = 

∫ ∞ 

0 

dt e −st f(t) , f(t) = 

∫ +i∞+ɛ 

−i∞+ɛ 

ds e st F (s) (8.39) 

Dabei wird bei der Rücktransformation entlang der imaginären Achse integriert (mit einer 

infinitesimalen Verschiebung wegen der Residuen). Für die Laplace-Transformation gelten 

ähnliche Sätze und Merkregeln wie für die Fourier-Transformation. 



8.1.7 Faltungssatz 

Das Faltungsprodukt ‘∗’ (engl. convolution product) zweier Funktionen f und g ergibt 

wiederum eine Funktion h = f ∗ g; es ist durch 

h(x) = [f ∗ g](x) = 

∫ +∞ 

−∞ 

dy f(x − y)g(y) (8.40) 

definiert. Faltungsprodukte braucht man z.B. bei der Glättung und Filterung von Daten. 

Ist beispielsweise g(x) eine schmale Gaußglocke, so wird die Funktion f(x) effektiv über 

die Breite dieser Gaußglocke gemittelt und damit geglättet. Die glättende Funktion g(x) 

wird dabei oft als mollifier bezeichnet. 

Das Faltungsprodukt verhält sich weitgehend wie ein normales Produkt: 

Kommutativität: f ∗ g = g ∗ f 

Assoziativität: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) = f ∗ g ∗ h 

Bilinearität: f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h, (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h 

Skalare: 

λ ∗ f = λf ∀λ ∈ C 

Produktregel: (f ∗ g) ′ = f ′ ∗ g + f ∗ g ′ 

Außerdem ist es translationsinvariant im dem Sinne, dass eine Verschiebung der Funktion 

f auf gleiche Weise das Faltungsprodukt f ∗ g verschiebt 2 . Bei der Glättung von 

Daten wird durch die Translationsinvarianz sichergestellt, dass die Funktion f(x) für alle 

x auf die gleiche Weise geglättet wird. 

Auch in höheren Dimensionen kann man ein Faltungsprodukt definieren. Im R n ist beispielsweise 

∫ 

[f ∗ g](⃗x) = d d y f(⃗x − ⃗y)g(⃗y) . (8.41) 

R n 

Wegen Bilinearität und Translationsinvarianz ist das Faltungsprodukt prädestiniert für 

die Fourier-Transformation. Man erhält 

h(x) = [f ∗ g](x) = 

∫ +∞ 

= 1 

2π 

= 

dy 1 

2π 

−∞ 

∫ +∞ 

−∞ 

∫ +∞ 

−∞ 

∫ +∞ 

−∞ 

∫ +∞ 

dk 1 dk 2 e ik 1(x−y)+ik 2 y ˜f(k1 )˜g(k 2 ) 

−∞ 

∫ +∞ 

dk 1 dk 2 2πδ(k 1 − k 2 )e ik 1x ˜f(k1 )˜g(k 2 ) (8.42) 

−∞ 

dke ikx ˜f(k)˜g(k) . (8.43) 

Fourier-transformiert man diese Gleichung auf beiden Seiten, so erhält man den sogenannten 

Faltungssatz 

˜h(k) = [˜f ∗ g](k) = √ 2π ˜f(k)˜g(k) . (8.44) 

Ein Faltungsprodukt geht also durch Fourier-Transformation in ein gewöhnliches Produkt 

über. 

2 Ist also F (x) := f(x+a) eine gegenüber f um den Abstand a verschobene Funktion, so gilt [F ∗g](x) = 

[f ∗ g](x + a). 


8.2 Klänge mit Mathematica R○ 141 

8.2 Klänge mit Mathematica R○ 

8.2.1 Erzeugung eines Klanges mit Funktionen 

Mathematica R○ (Version 6.0) ermöglicht es, auf besonders einfache Weise mit der Soundkarte 

des Rechners Töne zu erzeugen. Das folgende Beispiel zeigt, wie man beispielsweise 

eine Sinusschwingung mit der Frequenz von 440 Hz (Kammerton a) erzeugen kann: 

Nach Berechnung der Funktion erzeugt 

Mathematica R○ ein Klangobjekt, das im 

Wesentlichen aus einer Liste der 

diskretisierten Amplituden besteht. 

Sie können sich den erzeugten Klang 

durch Klicken auf das Wiedergabesymbol 

ohne Neuberechnung beliebig oft anhören. 

Entscheidend für die Tonqualität ist die Abtastrate (engl. sample rate), also die Schrittweite 

der internen Diskretisierung. Sie ist bei Mathematica R○ standardgemäß auf 8.000 

Amplitudenwerte pro Sekunde (8 kHz) eingestellt und ist bei diesem Wert noch hörbar. 

Eine höhere Abtastrate kann als Option angegeben werden: 

Play[Sin[2 π ν t],{t,0,2},SampleRate→25000] 

Erst oberhalb des vom Menschen wahrnehmbaren Frequenzbereichs von etwa 20.000 Hz 

wird die Diskretisierung unhörbar. Musikaufnahmen benutzen deshalb in der Regel die 

Abtastrate 44.100 Hz. 

Mit dem Befehl Play können auch zwei Funktionen getrennt auf beiden Lautsprechern 

wiedergegeben werden, womit Stereo-Effekte ermöglicht werden. Zwei gegeneinander verstimmte 

Sinusschwingungen erzeugen beispielsweise eine räumliche Schwebung: 

ν=220; µ=222; 

Play[{Sin[2π ν t],Sin[2π µ t]},{t,0,4},SampleRate→25000] 

8.2.2 Hochladen von Klangdateien 

Sie können auch Klangdateien auf Ihrem Rechner hochladen, diskretisieren und mit 

Mathematica R○ verarbeiten. Die Klangdatei muss dabei im wavetable-Format (.wav) vorliegen. 

Komprimierte Formate (z.B. ogg oder mp3) sind nicht geeignet und müssen erst 

konvertiert werden. Das Klangbeispiel sollte nicht länger als einige Sekunden sein, damit 

sich die Ausführungszeiten in Grenzen halten. Hochgeladen wird die Datei mit: 

Klangdaten = Import["Vorlesung/V02-Fourier/Trompete.wav", "WAV"] 

Die Abtastrate wird dabei durch die eingelesene Datei festgelegt. In dem Objekt namens 

Klangdaten befindet sich dann eine Liste von Zahlenwerten, die den diskretisierten 

Verlauf der Schwingung beschreibt. Diese Liste kann man durch 3 

3 Wo sich die Liste in dem Objekt befindet, kann von den Eigenschaften der Klangdatei (z.B. Mono 

oder Stereo) abhängen, die Indizierung [[1,1,1]] ist also nicht immer korrekt. 



Liste = Klangdaten[[1, 1, 1]]; 

isolieren und dann mit dem Befehl 

ListPlay [Liste, SampleRate -> 25000, PlayRange -> {-2, 2}] 

wieder hörbar machen. Die SampleRate muss dabei natürlich der Diskretisierung der ursprünglichen 

Klangdatei entsprechen. Etwas kritisch ist die Wahl des PlayRange, dessen 

Grenzen der minimalen und maximalen Auslenkung der Lautsprechermembran entsprechen. 

Ohne diese Option wählt Mathematica R○ automatische Mittelwerte, doch damit 

kann es leicht zum Übersteuern der Soundkarte kommen. Hier empfiehlt es sich, einfach 

auszuprobieren. 

8.2.3 Manipulation von Klängen 

Sie können den hochgeladenen Klang Fourier-transformieren, beliebig manipulieren, und 

wieder zurücktransformieren. Mit der Befehlsequenz 


FT2 = Conjugate[FT]; 

Liste2 = InverseFourier[FT2]; 

ListPlay [Re[Liste2], SampleRate -> 25000, PlayRange -> {-3, 3}] 

wird beispielsweise die Fourier-Transformierte komplex konjugiert; Sie hören dann den 

Klang rückwärts. Zyklisch verschieben kann man dagegen einen Klang durch Muliplikation 

mit einer ebenen Welle: 


Welle = Table[Exp[100*I*k], {k, 1, Length[FT]}]; 

FT2 = FT * Welle; 

Liste2 = InverseFourier[FT2]; 

ListPlay [Re[Liste2], SampleRate -> 25000, PlayRange -> {-3, 3}] 

Versehentlich entstandene kleine Imaginärteile werden in der letzten Zeile durch Re[...] 

eliminiert. Durch lineare Superposition von Wellen mit verschiedenen Wellenzahlen lässt 

sich leicht ein Stimmengewirr erzeugen. 

8.2.4 Künstlicher Nachhall 

Akustischer Nachhall wie etwa in einer Kirche entsteht durch Superposition zahlreicher 

Einzelechos von diversen Gebäudeteilen. Dabei kommt es zu mehrfachen Reflexionen 

(Mehrfachechos), die in ihrer Intensität abnehmen, da bei jeder Reflexion ein bestimmter 

Anteil der Schallenergie dissipiert wird. 

Ein einfaches Modell für die Erzeugung von Nachhall ist ein Echo mit konstanter Laufzeit 

β, das bei jeder Reflexion um den Faktor α < 1 abgeschwächt wird, also nach n 

Reflexionen nur noch einen Bruchteil α n der anfänglichen Energie besitzt. Ein Nachhall 

ist also eine Folge von unendlich vielen Echos n = 1, 2, . . ., verschoben um die Zeit βn 

und abgeschwächt um den Faktor α n . 

Im Fourier-Raum lässt sich wie oben die zeitliche Translation durch Multiplikation mit 

der ebenen Welle e inβk erreichen, die zusätzlich noch mit α n gewichtet werden muss. Die 


8.3 Bildbearbeitung mit Mathematica R○ 143 

Fourier-Transformierte ist also mit einer geometrischen Reihe 

g(k) = 

∞∑ 

α n e inβk = 

n=0 

1 

1 − αe iβk (8.45) 

zu multiplizieren. Diese einfache geometrische Reihe erzeugt einen erstaunlich guten 

Nachhall. Dieser Effekt kann noch gesteigert werden, wenn Sie auf beiden Stereo-Kanälen 

geringfügig verschiedene Nachhallzeiten benutzen, wodurch ein räumlicher Halleffekt entsteht: 


FTSL = Table [1 / (1 - 0.8 * Exp[0.005*I*k]), {k, 1, Length[FT]}] * FT; 

FTSR = Table [1 / (1 - 0.8 * Exp[0.006*I*k]), {k, 1, Length[FT]}] * FT; 

ListPlay[{InverseFourier[FTSL] // Re, InverseFourier[FTSR] // Re}, 

SampleRate -> 44100, PlayRange -> {-2, 2}] 

8.3 Bildbearbeitung mit Mathematica R○ 

Auf ähnliche Weise kann man mit Mathematica R○ Bilder bearbeiten. Der einzige Unterschied 

besteht darin, dass nun die Daten nun eine zweidimensionale Struktur besitzen. 

Diskrete zweidimensionale Fourier-Transformationen sind aber für den Befehl Fourier 

kein Problem. 

Zum praktischen Umgang empfiehlt sich die Definition der Funktionen 

GetBitmap[filename_] := 

Transpose[Import[filename][[1, 1]], {2, 3, 1}]; 

ShowBitmap[b_] := Module[{max}, max = Max[b]; 

Show[Graphics[Raster[Transpose[b, {3, 1, 2}]/max]]]]; 

Mit M=GetBitmap[”tux.png”] können Sie beispielsweise das Bild des Linux-Pinguins 

in diskretisierter Form hochladen. 4 Dem Bezeichner M wird dann eine 3 × X × Y -Liste 

zugeordnet, wobei X und Y die Pixel-Abmessungen des Bildes sind. M[[1]], M[[2]] und 

M[[3]] sind drei X ×Y -Matrizen mit Intensitätswerten für die drei Farben rot, grün und 

blau. 5 

Wir können nun die Daten (für jede Farbe einzeln) Fourier-transformieren und ähnlich wie 

bei den Klängen manipulieren. Eine Komplexkonjugation der Fourier-Transformierten 

beispielsweise führt zu einer Punktspiegelung des Bildes: 

FT = Table[Fourier[bild[[i]]], {i, 1, 3}]; 

FT2 = Conjugate[FT]; 

IM = Table[InverseFourier[FT2[[i]]], {i, 1, 3}]; 

a = ShowBitmap[Abs[IM]] 

Dabei werden durch den Absolutwert in der letzten Zeile imaginäre und negative Rundungsfehler 

eliminiert. 

4 Verwenden Sie nur kleine Bilddateien, da sonst die Ausführungszeiten unpraktisch groß werden. 

5 Das menschliche Auge hat nur drei verschiedene Arten von Farbrezeptoren mit überlappenden Bandbreiten. 

Es kann deshalb z.B. die Farbe gelb nicht von einer Superposition aus rot und grün unterscheiden. 

Zur Darstellung von Farben reicht deshalb ein RGB-Triplet aus. 



8.3.1 Faltungsprodukte in der Bildbearbeitung 

Wegen der umständlichen Handhabung der drei Farben bietet es sich an, zunächst eine 

Funktion zu schreiben, welche die Fourier-Transformation, die Faltung mit einer vorgegebenen 

Funktion f[kx,ky], die Rücktransformation und die Anzeige automatisiert: 

Faltung := Module[{FT, F, X, Y, FT2, IM}, 

FT = Table[Fourier[bild[[i]]], {i, 1, 3}]; 

X = Dimensions[FT][[3]]; 

Y = Dimensions[FT][[2]]; 

F = Table[f[Mod[X/2 + kx - 1, X] - X/2, Mod[Y/2 + ky - 1, Y] - Y/2 - 1], 

{c, 1, 3}, {ky, 1, Y}, {kx, 1, X}]; 

FT2 = FT*F; 

IM = Table[InverseFourier[FT2[[i]]], {i, 1, 3}]; 

ShowBitmap[Abs[IM]]] 

Faltungen sind translationsinvariant, d.h. sie wirken überall in gleicher Weise. Damit sind 

sie prädestiniert für Filterfunktionen in der Bildbearbeitung, denn die Filter sollen in der 

Regel an jedem Ort des Bildes auf gleiche Weise wirken. 

8.3.2 Scharfzeichnen und Weichzeichnen 

Jedes Bildbearbeitungsprogramm für Digitalkameras bietet die Möglichkeit, eine Aufnahme 

zu schärfen oder zu glätten. Diese Filterfunktionen ähneln einem Hochpass und 

Tiefpass in der Akkustik. Eine Funktion, die zur Schärfung des Bildes führt, muss also 

hohe Wellenzahlen begünstigen. Außerdem sollte sie isotrop sein, also nicht von ⃗ k, 

sondern nur von | ⃗ k| oder ⃗ k 2 abhängen. Eine Möglichkeit von vielen ist: 

f[kx_, ky_] := Exp[(kx*kx + ky*ky)/20000] 

Für einen Weichzeichner muss man die großen Wellenlängen begünstigen – am einfachsten 

durch einen Vorzeichenwechsel im Exponenten. 

f[kx_, ky_] := Exp[-(kx*kx + ky*ky)/2000] 

Der Effekt dieser beiden Filter ist in Abb. 8.3 zu sehen. 

Abbildung 8.3: Filter f( ⃗ k) = e ±αk2 

zum Weichzeichnen und Scharfzeichnen von Bildern. 


8.4 Fast-Fourier-Transform (FFT) 145 

8.4 Fast-Fourier-Transform (FFT) 

Für die Effizienz eines Algorithmus ist die Ausführungszeit ein wichtiges Kriterium. Dabei 

spielt die absolute Ausführungszeit allerdings eine eher untergeordnete Rolle; viel 

wichtiger ist dagegen die Frage, wie die Ausführungszeit mit der Größe des gestellten 

Problems skaliert. Mit dieser Information lässt sich schon anhand kleinerer Testläufe auf 

einem Arbeitsplatzrechner vorhersagen, welche Ausführungszeit auf einem Großrechner 

benötigt werden wird. Außerdem legt das Skalierungsverhalten fest, welcher Algorithmus 

asymptotisch das Rennen gewinnt. 

Die Problemgröße bei einer diskreten Fourier-Transformation ist die Anzahl der Datenpunkte 

N. Im Abschnitt 8.1.3 haben wir besprochen, dass die diskrete Fourier-Transformation 

eine lineare Transformation ist und deshalb als Matrixmultiplikation aufgefasst 

werden kann (siehe Gl. 8.20). Die Ausführungszeit, die man für eine solche Matrixmultiplikation 

benötigt, steigt dabei proportional zur Anzahl der Matrixelemente, also zu N 2 . 

Man spricht im Jargon auch von einem N 2 -Algorithmus. 

Die Fast-Fourier-Transform (FFT) ist ein alternativer Algorithmus, der wie N ln N skaliert, 

also erheblich besser ist als die direkte Matrixmultiplikation. Allerdings unterliegt 

er folgenden Einschränkungen: 

• Die Stützstellen müssen äquidistant sein, was bei der ‘normalen’ diskreten Fouriertransformation 

im Prinzip nicht unbedingt der Fall sein muss. 

• Der FFT-Algorithmus arbeitet besonders effizient, wenn N eine Zweierpotenz ist. 

Der FFT-Algorithmus gehört zu den Standardalgorithmen und ist in vielen Programmbibliotheken 

verfügbar. Er beruht auf einer rekursiven Zweiteilung der Datenmenge, womit 

plausibel wird, warum er besonders gut für N = 2 n funktioniert. 6 Die in Gl. (8.17) auftretende 

Summe wird dazu in gerade und ungerade Anteile getrennt (hier für Zählung 

0, . . . , N − 1, in der Vorlesung hatten wir 1, . . . , N): 

ã k = 

N/2−1 

∑ 

t=0 

F (N) 

k,2t a 2t 

} {{ } 

gerade 

+ 

N/2−1 

∑ 

t=0 

F (N) 

k,2t+1 a 2t+1 

} {{ } 

ungerade 

, (8.46) 

wobei F (N) 

k,n = 1 

√ 

N 

exp( 2πikn 

N 

) ist. Wegen 

F (N) 

k,2t = 1 √ 

2 

F (N/2) 

k,t 

, F (N) 

k,2t+1 

lässt sich dieser Ausdruck umformen zu 

ã k = √ 1 

N/2−1 

∑ 

2 

t=0 

F (N/2) 

k,t 

a 2t 

} {{ } 

gerade 

N ) 

2πik 

exp( 

= √ 

2 

F (N/2) 

k,t 

(8.47) 

2πik 

exp( 

N 

+ √ ) 

N/2−1 

∑ 

F (N/2) 

2 

k,t 

a 2t+1 , (8.48) 

t=0 

} {{ } 

ungerade 

6 Professionelle Implementierungen des FFT-Algorithmus arbeiten auch dann, wenn N keine Zweierpotenz 

ist. Das kostet aber zusätzliche Ausführungszeit, so dass man in der Praxis, wenn N frei wählbar 

ist, mit Zweierpotenzen arbeiten sollte. 



Abbildung 8.4: FFT-Chip SPIFFEE von Bevan Baas [3]. 

Über den geschweiften Klammern stehen dabei zwei diskrete Fourier-Transformationen 

von jeweis halb so viel Datenpunkten. Mit diesen Formeln lässt sich die FFT bequem 

rekursiv programmieren. Man muss lediglich als Abbruchbedingung hinzufügen, dass die 

Fourier-Transformierte einer einzigen Zahl bei N = 1 die Zahl selbst ist. 

Hier sehen Sie eine rekursive Mathematica R○ -Funktion für den FFT-Algorithmus. Argument 

ist die Liste lst. Bei der Länge L = 1 wird abgebrochen und die Liste unverändert 

zurückgegeben, ansonsten wird die Liste in zwei Teillisten even und odd zerlegt wird. Beide 

werden rekursiv Fourier-transformiert. Mit Join[fteven, fteven] bzw. Join[ftodd, 

ftodd] werden die Fouriertransformierten periodisch verzweifacht und anschließend mit 

den in phases abgelegten Phasenfaktoren elementweise multipliziert: 

FFT[lst_ ] := Module[{L, even, odd, fteven, ftodd, phases}, 

L = Length[lst]; 

If[L == 1, lst, 

even = Table[lst[[2 x - 1]], {x, 1, L/2}]; 

odd = Table[lst[[2 x]], {x, 1, L/2}]; 

fteven = FFT[even]; ftodd = FFT[odd]; 

phases = Table[Exp[2 Pi I (s - 1)/L], {s, 1, L}]; 

(Join[fteven, fteven] + phases*Join[ftodd, ftodd])/ Sqrt[2] ]] 

Dieser Algorithmus kann nur Daten verarbeiten, welche die Länge einer Zweierpotenz 

haben. Sonderbehandlungen oder eine Sicherheitsabfrage fehlen noch. 

Bei manchen Anwendungen ist es notwendig, einen Datenstrom extrem schnell Fouriertransformieren 

zu können. Zu diesem Zweck gibt es sowohl universitäre als auch kommerzielle 

Hardware-Chips (Abb. 8.4). Unter http://nova.stanford.edu/˜bbaas/spiffee.html 

finden Sie eine Liste mit Weltrekorden, so liegt der Geschwindigkeitsrekord für eine FFT 

von N = 1024 Werten derzeit bei etwa 10µs, aber genau so wichtig ist es, für die Transformation 

nur wenig Energie zu verbrauchen. 

8.5 Aufgaben 


Literaturverzeichnis 

[1] W. Kinzel and G. Reents, Physics by Computer, Springer, Berlin (1998), zu beziehen 

über Prof. Reents. 

[2] Siehe beispielsweise http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html 

oder http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation 

[3] Bevan M. Baas, A Low-Power, High-Performance, 1024-point FFT Processor, 

IEEE Journal of Solid-State Circuits (JSSC), pp. 380-387, March 1999, vgl. 

http://nova.stanford.edu/ bbaas/spiffee.html 

[4] G. Marsaglia and A. Zaman, A new class of random number generators, The Annals 

of Applied Probability 1, No. 3, 462-480 (1991). 

[5] R. M. Ziff, Four-tap shift-register-sequence random-number generators, Computers 

in Physics 12, No. 4, 385-392 (1998), im Internet frei unter 

http://arxiv.org/abs/cond-mat/9710104. 

[6] zu chemischen Oszillationen siehe: 

http://de.wikipedia.org/wiki/Belousov-Zhabotinsky-Reaktion Die gezeigten 

Abbildungen stammen ebenfalls von dort. 

[7] R. Field, E. Körös, and R. Noyes, Oscillations in Chemical Systems. II. Thorough 

Analysis of Temporal Oscillation in the Bromate-Cerium-Malonic Acid System, J. 

Am. Chem. Soc. 94, 8649 (1972). 

[8] R. Kroon and H. Fleurent and R. Sprik, Diffusion-limited exciton fusion reaction 

in one-dimensional tetramethylammonium manganese trichloride (TMMC), Phys. 

Rev. E 47, 2462 (1993). 

[9] D. ben-Avraham, The method of inter-particle distribution functions for diffusionreaction 

systems in one dimension, Mod. Phys. Lett. B 9, 895 (1995). 

[10] H. Hinrichsen The phase transition of the diffusive pair contact process revisited, 

Physica A 361, 457 (2006), als Zeitschrift in der Bibliothek vorhanden, im Internet 

frei unter http://arxiv.org/abs/cond-mat/0501075. 

[11] R. Dickman and J. K. da Silva, Moment ratios for absorbing-state phase 

transitions, Phys. Rev. E 58, 4266 (1998), im Internet frei unter 

http://arxiv.org/abs/cond-mat/9805294. 

[12] A. L Barabási and H.E. Stanley, Fractal concepts in surface growth, Cambridge 

University Press, U.K., 1995. 

[13] S. Redner, A Guide to First-Passage Processes, Cambridge University Press, Cam- 


148 Literaturverzeichnis 

bridge, UK (2001), vorhanden in der Lehrstuhlbibliothek von TP III. 

[14] T. A. Witten and L. M. Sander, Phys. Rev. Lett. 47, 1400 (1981), als Zeitschrift in 

der Bibliothek vorhanden, 

[15] B. B. Mandelbrot, B. Kol, and A. Aharony, Angular gaps in radial diffusion-limited 

aggregation: Two fractal dimensions and nontransient deviations from linear selfsimilarity, 

Physical Review Letters 88, 055501 (2002), als Zeitschrift in der Bibliothek 

vorhanden, im Internet frei unter http://arxiv.org/abs/cond-mat/0109426. 

[16] A. L Barabási and H.E. Stanley, Fractal concepts in surface growth, Cambridge 

University Press, U.K., 1995. 


Index 

„ 2 

Abbildung 

chaotische, 60 

iterative, 46, 61 

logistische, 51 

Abtastrate, 141 

Adams-Bashforth-Methode, 18 

Aggregat, 86 

Algorithmus 

leapfrog,leapfrog-Algorithmus, 16 

symplektischer,Iteration 

symplektische, 16 

Anfangswerte, 19 

Antikorrelationen, 60 

Apfelmännchen, 52 

asymptotisch proportional, 118 

Attraktor, 44 

seltsamer, 45 

Automat 

zellulärer, 101 

Belousov-Zhabotinsky-Reaktion, 94 

Bewegungsgleichung 

stochastische, 81 

Bifurkation, 48 

Billard, 37 

Box-Muller-Transformation, 69 

Chaos, 37 

deterministisches, 37 

chaotische Abbildung, 60 

Cluster, 86 

unendlicher, 117 

diffusionsbegrenztes Wachstum, 86 

Diffusionsgleichung, 82 

Diffusionskonstante, 82 

Dimension 

fraktale, 89 

kritische, 109 

Diskretisierung, 10 

DLA, 86 

Dreiecksgitter, 97 

Dynamik 

lokale, 101 

nichtlokale, 101 

zufällig-sequentielle, 120 

dynamischer Exponent, 121 

Einschrittverfahren, 10, 17 

Ensemblemittel, 59 

ergodisch, 98 

Euler-Verfahren,Interationsverfahren 

Euler, 11 

Exponent 

kritischer, 118 

Exponenten 

kritische, 113 

Exzitone, 104 

Faltung 

mehrfache, 76 

Faltungsintegral, 75 

Faltungsprodukt, 75, 140 

Faltungssatz, 77, 140 

Fast-Fourier-Transform, 145 

Fehlerfunktion, 69 

Feigenbaumkonstante, 50 

Fenster 

chaotisches, 43 

Fixpunkt, 46 

Fokker-Planck-Gleichung, 82 

Forminvarianz, 83 

Fourier-Reihen, 134 

Fourier-Transformation, 131 

diskrete, 135 

gleitende diskrete, 137 

kontinuierliche, 132 

Fraktal, 45, 88 


150 Index 

Funktion 

charakteristische, 77 

Gaußverteilung, 68 

Liouville 

gewöhnliche Differentialgleichungen,Differentialgleichungen 

gewöhnliche, 9 

Gitter, 96 

Gittergeometrien, 97 

Grenzfläche, 125 

Häufigkeit 

relative, 67 

Heteroepitaxie, 125 

Heun 

Verfahren von, 11 

Histogramm, 67 

Homoepitaxie, 125 

homogene Funktionen, 124 

Honigwabengitter, 97 

Hyperskalenrelation, 122 

Integration 

numerische, 1 

Iteration 

einstufige, 61 

Tiefe, 63 

Iterationsfehler, 11 

Iterationsindex, 10 

iterative Abbilung, 61 

Koagulation, 103 

Komplexkonjugation 

einer Fourier-Transformierten, 138 

Konfiguration, 98 

Konfindenzniveau, 68 

Kontaktprozess, 120 

Kontinuumlimes, 82 

Kontrollparameter, 113 

Korrektor, 11 

Korrelationen 

Anti-, 107 

Korrelationsfreiheit, 58 

Korrelationsfunktion, 59 

Zweipunkt-, 59 

kritischen Schwelle, 114 

Lösung 

einfach-periodische, 42 

mehrfach-periodische, 43 

Laplace-Transformationen, 139 

Limes 

überdämpfter, 93 

Satz von, 40 

Lyapunov-Exponent, 40, 41 

mittlerer, 41 

Lyapunov-Exponenten 

Spektrum, 40, 41 

Lypunov-Exponent 

maximaler, 41 

Mandelbrotmenge, 52 

Markov-Eigenschaft, 101 

Massenwirkungsgesetz, 93 

Mastergleichung, 81 

Mehrschrittverfahren, 10, 17 

explizites, 18 

implizites, 18 

lineares, 18 

Mittel 

arithmetisches, 59 

Enseble-, 59 

Modenzerlegung, 24 

Molekularstrahlepitaxie, 125 

Musterbildung, 95 

Newton-Cotes-Verfahren, 3 

Niveauabstoßung, 38 

Niveaukreuzungen, 38 

Normalverteilung, 68 

Numerov-Verfahren, 22 

Oberflächenspannung, 126 

Ordnungsparameter, 113 

Oszillationen 

chemische, 94 

Periode, 60 

Periodenverdopplung, 43, 48 

periodisches Fortsetzen,Fortsetzung 

periodische, 133 

Perkolation, 114 

gerichtete, 114 

isotrope, 114 

phänomenologische Skalentheorie, 123 

Phasenübergang, 113, 114 

diskontinuierlicher, 113 

erster Ordnung, 113 


Index 151 

kontinuierlicher, 113 

zweiter Ordnung, 113 

Phasendiagramm, 113 

Poincaré-Schnitt, 44 

Prädikator, 11 

Pseudozufallszahlen, 60 

Quadratgitter, 97 

Quantenbillard, 38 

Quantenchaos, 37 

Quantenzustand, 20 

Rückkehrexponent, 85 

Randbedingungen 

Dirichlet-, 96 

periodische, 97 

torodiale, 97 

von Neumann, 97 

random walk, 80 

Randwerte, 19 

Raten, 120 

Rauigkeit, 126 

Rauigkeitsexponent,Exponent 

Rauigkeits, 127 

Rauschen 

weisses, 79 

Reaktions-Diffusionsmodelle, 93 

Rechteckverfahren, 1 

Rekursion,Algorithmen 

rekursive, 146 

Reskalierung, 83, 123 

Runge-Kutta Verfahren 

klassisches, 13 

Runge-Kutta-Fehlberg Verfahren, 14 

Runge-Kutta-Verfahren,Iterationsverfahren 

RungeKutta, 12 

Runge-Lenz-Vektor,Vektor 

Runge-Lenz, 17 

Sampling, 67 

Schmetterlingseffekt, 37 

Schrödingergleichung, 18, 82 

stationäre, 21 

zeitabhängige, 24 

Schrittweite, 10 

Selbstähnlichkeit, 45 

Simpsonregel, 3 

Skalenform, 83 

Skalenfreiheit, 122 

Skalenfunktion, 83 

Skaleninvarianz, 117 

Skalenrelationen, 122 

Skalentransformation, 123 

Skalierungseigenschaften, 83 

Spitzeneffekt, 88 

Stützstellen, 1 

System 

-zustand, 98 

System von Differentialgleichungen,Differentialgleichunge 

System, 9 

Systeme 

integrable, 21 

Transformation 

Box-Muller, 69 

unitäre, 136 

Transienten, 118 

Translation 

einer Fourier-Transformierten, 137 

Trapezregel, 2 

Umkehrfunktion, 66 

Unitarität, 29 

Universalität, 79, 113, 114, 124 

der Feigenbaumkonstante, 51 

Universalitätsklasse, 113, 124 

universelle Skalenfunktion, 123 

Updates 

alternierende, 99 

ordered-sequential, 100 

parallele, 99 

random-sequential, 100 

verallgemeinerte homogene Funktionen, 

124 

Verteilung 

bimodale, 81 

Vielteilchensysteme, 93 

Wärmeleitungsgleichung, 18, 82 

Wachstum 

diffusionsbegrenztes, 86 

Wachstumsprozess, 125 

Wahrscheinlichkeitsdichte, 59 

Wahrscheinlichkeitsverteilung, 81 

faktorisierende, 58 

Wellenfunktion, 20 

Wellengleichung, 18, 131 


152 Index 

Wellenpaket 

Zerfließen, 26 

Zeitreihe, 137 

Zellulärer Automat, 101 

deterministischer, 101 

stochastischer, 101 

Zerfließen des Wellenpakets, 31 

Zufallsbewegung, 80 

Zufallsgröße, 81 

Zufallszahlen 

Fließkomma, 59 

Pseudo, 60 

reelle, 59 

Zufallszahlengenerator, 58 

Zustand, 63, 81 

stationärer, 87 

Zustandsraum, 98

Skript - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität Würzburg

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