Hydrodynamik: Gesetz von Bernoulli L - H. Klinkner

Name:
BBS Technik Idar-Oberstein
Hydrodynamik: Gesetz von Bernoulli L
Datum:
1. In einer waagerechten Rohrleitung mit dem Innendurchmesser von d 1 =80mm fließt Druckwasser mit einem
absoluten Druck von 7 bar. In einem Reduzierstück verjüngt sich der Querschnitt auf einen Innendurchmesser von
d 2 =50mm.
Berechnen Sie für den „Durchsatz“ von 15 Liter/s die Strömungsgeschwindigkeit und den Druck im Reduzierstück!
geg. : d1
= 8cm = 0,8dm
pabs
1
= 7bar
d2
= 0,5dm
•
V =
V
= 15
l
t s
ges . v1, v2
in m / s
p in bar
•
V = ∆V
= A1 ⋅ v
1
= A2 ⋅v
2
∆t
• •
3
V V 15 dm / s
⇒ v1
= = = = 29,8 dm ≈ 3 m
A d ⋅ π (0,8 dm)
⋅ π s s
2 2
1
1
• •
3
4 4
15 dm / s
⇒ v2
= V = V = = 76,4 dm ≈ 7,64 m
π
⋅ π s s
A 2 2
2 d
2
⋅ (0,5 dm)
4 4
ρ 2 ρ 2
ρ ⋅ g ⋅ h1 + v1 + p1
= ρ ⋅ g ⋅ h2
+ v2
+ p2
2 2
ρ 2 ρ 2 ρ 2 2
p2 = p1 + v1
− v2 = p1
+ ( v1
− v2
)
2 2 2
2
1000 kg
p2
= 700 000 N + (9 −59)
m
2 3 2
m 2 m s
p2
= 700000 N − 25000 N = 675000 Pa = 6,75bar
(absolut)
2 2
m
m
2.
a)
a) Erklären Sie mit wenigen Worten den physikalischen Hintergrund
der Strömungsgleichung von Bernoulli! (Verluste vernachlässigen)
b) Vereinfachen Sie diese Gleichung für die beiden rechts skizzierten
Sonderfälle!
Die Strömungsgleichung beschreibt die Druckverhältnisse in
Abhängigkeit von der Höhe, Geschwindigkeit und Reibungsverlusten in einer strömenden
Flüssigkeit. Sie geht davon aus, dass die Gesamtenergie einer Flüssigkeitsmenge entlang ihres
Weges konstant bleibt.
2 1
2
kinetische Engergie : mv = ⋅ ρ ⋅V
⋅v
2 2
potenzielle Energie : m ⋅ g ⋅ h = ρ ⋅V
⋅ g ⋅h
Verschiebearbeit : F ⋅ s = p ⋅
b) Fall 1: Die Geschwindigkeit ist konst.
ρ 2
ρ 2
ρ ⋅ g ⋅ h1 + v1 + p1
= ρ ⋅ g ⋅ h2 + v2
+ p2
2 2
⇒ ∆ p = ρ ⋅ g ⋅ ∆h
Fall 2: Es existiert kein Höhenunterschied.
ρ 2 ρ 2
ρ ⋅ g ⋅ h1 + v1
+ p1
= ρ ⋅ g ⋅ h2
+ v2 + p2
2 1 2
( 2 2
⇒ ∆ p = ρ v )
2
−v1
2
V
In beiden Fällen steigt der Druck.
3.
Tragen Sie die
Veränderungen an den
markierten Stellen in die
Tabelle ein!
missverständlich
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Name:
BBS Technik Idar-Oberstein
Hydrodynamik: Gesetz von Bernoulli L
Datum:
4. Wie groß ist die Ausströmgeschwindigkeit des Wasser in der obigen Aufgabe, wenn die Düse von 40 mm
Innendurchmesser 0,5 m über dem Wasserspiegel liegt?
geg.: p 1 = 1,2 bar = 120000 N/m 2
h 1 = 0 m
v 1 = 0 m/s
p 10 = 0 bar
h 10 = 0,5 m
ges: v 10 in m/s
ρ 2 ρ 2
ρ ⋅ g ⋅ h1 + v1 + p1
= ρ ⋅ g ⋅ h10 + v10 + p10
2 2
ρ 2
v10
= p1
− ρ ⋅ g ⋅h10
2
v 2
10
= ( p1
− ρ ⋅ g ⋅h10
)
ρ
3
m kg ⋅ m kg
(120000 1000 10 m 0,5 m)
2 2 3 2
2
= − ⋅ ⋅
1000kg s ⋅ m m s
v10
= 15,17 m
s
5. Skizziert ist das offene System eines großen Wasserbehälters mit einem
Abflussrohr.
Am Abflussrohr soll an einer bestimmten Stelle eine Bohrung angebracht
werden, aus der weder Wasser austreten, noch Luft eintreten kann.
a) An welcher Höhe trifft dies zu?
b) Wieviel Wasser fließt pro Sekunde aus, wenn reibungsfreie Strömung
angenommen wird?
Da in der gesuchten Ebene zwei Unbekannte (h 2 ; v 2 ) sind, bestimmen
wir zuerst v 3 am Auslauf:,
ρ
ρ
ρ ⋅ g ⋅ h1 + v1 + p1
= ρ ⋅ g ⋅ h3 + v3 + p3
2 2
a) 2 2
v 2 aus der Kontinuitätsgleichung:
•
V = A ⋅ v = A ⋅ v
2 2
3 3
= 0 = 0 = 0
2 ρ ⋅ g ⋅h1
v3
= ⋅ 2
ρ
v3
= 2 ⋅ g ⋅ h1
= 2 ⋅10 m ⋅ 23m
= 21,5 m
2
s
s
d ⋅ π d ⋅π
d (9 cm)
⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ 21,5 m = 12,1 m
s s
2 2 2
2
2
3 3
v
2
v3 v2
v
2 3
2
4 4 d2
(12 cm)
h 2 bei p 2 = 0 :
ρ
ρ
ρ ⋅ g ⋅ h + v + p = ρ ⋅ g ⋅ h + v + p
2 2
ρ 2
ρ ⋅ g ⋅ ( h1
− h2)
= v2
2
2
2
v (12,1 m / s )
2
( h1
− h2) = = = 7,3m
2
2 ⋅ g 2 ⋅10 m / s
h = h − 7,3m = 23m − 7,3m = 15,7 m
2
1
2 2
1 1 1
2 2 2
b)
geg. : v = 21,5
m
s
d
ges . : V in
m
s
d m π
3
= ⋅ = ⋅ = ⋅ 21,5 m = 0,137 m
s s
3
• 2
2
3
⋅ π (0,09 ) ⋅
3
= 0,09 m V A3
v
3
v
3
4 4
• 3
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BBS Technik Idar-Oberstein
Hydrodynamik: Gesetz von Bernoulli L
Datum:
6. Welche verschiedenen Drücke werden
mit den Sonden a) bis d) gemessen?
a) absoluter Druck
b) statischer „
c) „ u. dynamischer Druck
d) Staudruck
7. Mit einem Prandlschen Staurohr, wie sie als Messsonde d) in Aufgabe 6 abgebildet ist, soll zum Beispiel die
Geschwindigkeit der Luft (bzw. die Geschwindigkeit eines Flugzeugs) gemessen werden.
Das U-Rohr-Manometer ist mit Methylalkohol (Dichte=0,79 g/cm 3 ) gefüllt.
Berechnen Sie die Abstände der Marken von der Nulllinie auf dem Manometer für 10 und für 20 m/s!
Im rechten Schenkel des U-Rohr-Manometers herrscht der Druck der strömenden Luft. Im linken
Schenkel wirkt zusätzlich noch der Staudruck, weil dort die Luft keine Geschwindigkeit mehr hat.
kg
geg. : ρLuft
= 1,3
3
m p = ρCH ⋅ g ⋅ h Schweredruck im Manometer =
3OH
g kg
ρCH 0,79 790
3OH
= =
= Staudruck der Luft
3 3
cm m
ρ 2
ρ 2
v1
= 10
m
bzw . 20
m ρ ⋅ g ⋅ h1 + v
1
+ p1
= ρ ⋅ g ⋅ h2 + v
2
+ p2
s
s
2 2
v2
= 0
m
ρ 2
p
s
∆ p = v
1
eingesetzt in h =
2
ρ ⋅ g
ges . : h in mm
CH3OH
kg m 2
2
ρ
1,3 (10 )
3
Luft
⋅v ⋅
1
h = = m s = 0,0082m = 8,2 mm
2 ⋅ ρ kg m
CH 3 OH
⋅ g
2 ⋅ 790 ⋅10
3 2
m s
kg m 2
1,3 ⋅ ( 20
)
3
= m s = = 32,9 mm
kg m
2 ⋅ 790 ⋅10
3 2
m s
Achtung: Die Skala beschreibt nur die halbe Höhe h !
Die Abstände betragen also nur 4,1 mm bzw. 16,45 mm.
8. a) Erklären Sie, warum man mit der Venturidüse (s. Skizze) den Volumenstrom messen
kann!
b) Welche Größen benötigt man dazu?
c) Ermitteln Sie die zur Rechnung benötigten Formel!
a) Da man aus dem Druckunterschied vor und in der Düse mit Hilfe der Bernoulligleichung die
Differenz der Geschwindigkeitsquadrate ermitteln kann, errechnen sich v 1 , v 2 und V mit der
Kontinuitätsgleichung.
b) Man benötigt also A 1 (d 1 ), A 2 , die Dichte ρ und die zu messende Druckdifferenz.
ρ 2 ρ 2
1. Bernoulli : v1 + p1
= v2 + p2
2 2
ρ 2 2
∆ p = ⋅ ( v2
−v1
)
2
A
2. Kontinuitätsgl . A ⋅ v = A ⋅ v v = ⋅v
2
1 1 2 2 1
2
A1
2 2
⎡
2 A2 2
⎤ ρ 2
⎡ A ⎤
2
⎢ 2 2 2 ⎥ 2 ⎢ 2 ⎥
A1
A1
ρ
aus 1. und 2. : ∆ p = ⋅ v − ⋅ v = ⋅v
1 −
2 ⎣ ⎦ 2 ⎣ ⎦
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Hydrodynamik: Gesetz von Bernoulli L
Datum:
.
2 ⋅ ∆p
1
⇒ v2
= ⋅
ρ A
1 − ( )
A
⇒ V = A ⋅v
= .....
1 1
2 2
1 2
( ) − 1
1
2 ⋅ ∆p
1
bzw. v 1
= ⋅
ρ A
A
2
9. Ein 6 km langer Stausee hat laut Skizze eine max. Tiefe von 30 m und
fasst 7 Mio m 3 Wasser. Der durchschnittliche Wasserzulauf beträgt übers
Jahr gemittelt ca. 2880 m 3 /h.
a) Wie hoch ist die durchschnittliche Leistung der Turbine, wenn
insgesamt 25% Verluste einkalkuliert werden? (Leistung = Arbeit/Zeit)
b) Wie groß muss die Düsenöffnung unten vor der Turbine sein?
.
3 3
m m
geg. : V = 2880 = 0,8
h s
h = 80m
ges . : P in kW
(v in m/s)
d in mm
ρ 2
ρ 2
Bernoulli : ρ ⋅ g ⋅ h1 + v1
+ p1 = ρ ⋅ g ⋅ h2 + v2
+ p2
2 2
Lageenergie geht vollständig in kin. Energie über.
a)
Pot
.
3
W
•
m kg N
ρ
3
t s m kg
P = = V ⋅ ⋅ g ⋅ h = 0,8 ⋅1000 ⋅10 ⋅ 80m
Nm
P = 640000 = 640kW
s
P = 0,75 ⋅ 640kW = 480kW
ab
W = m ⋅ g ⋅ h = V ⋅ ρ ⋅ g ⋅h
.
also: P = p ⋅
V
b) ρ 2
ρ ⋅ g ⋅ h1
= v2
2
m
m
v2
= 2 ⋅ g ⋅ h1
= 2 ⋅10 ⋅ 80m
= 40
2
s
s
.
2
d2
⋅π
V = A2 ⋅ v2 = ⋅v2
4
2
.
3
4 ⋅V
4 ⋅ 0,8m
⋅ s
d2
= = = 0,159 m = 160mm
v ⋅π
40m ⋅π
⋅ s
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