Aufgabensammlung - Institut für Angewandte und Experimentelle ...

00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
WS 2010/11 VÜ-aer 1
Aufgabe 1
P
y
r
Eine Gerade dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω = ˙ϕ um den Punkt O und schneidet einen durch O
gehenden ortsfesten Kreis im Punkt P.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung
des Punktes P als Funktion von ω und ϕ.
ϕ
O
ω
x
Aufgabe 2
Ein Raketenwagen fährt auf einer kurvigen Straße und beschleunigt
mit der Beschleunigung a = βv 2 (β > 0, β =
const., v > 0). Zum Zeitpunkt t = 0s hat er die Strecke
s = s 0 zurückgelegt. An diesem Ort beträgt seine Geschwindigkeit
v = v 0 .
Bestimmen Sie die Ortskoordinate s als Funktion der Zeit.
Aufgabe 3
x,v
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
g
Eine Last L wird aus einem Flugzeug abgeworfen. Sie hat
beim Abwurf (t = 0s) die vertikale Geschwindigkeitv = 0 m s .
Auf die Last wirkt die Erdbeschleunigung g und eine Verzögerung
(=negative Beschleunigung) kv 2 (k > 0) in Folge
des Luftwiderstandes.
Bestimmen Sie v(t) und die maximal mögliche Grenzgeschindigkeit
v max .
L

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
WS 2010/11 VÜ-aer 2
Aufgabe 4
A
s 1 ,a 1
s 2 ,a 2
B
C
Ein Schlitten rutscht aus der Ruhe heraus gleichförmig beschleunigt
einen Abhang AB herunter. Anschließend gleitet
er gleichförmig verzögert weiter und kommt schließlich im
Punkt C zum Stillstand. Für die gesamte Strecke AC benötigt
der Schlitten die Zeit T .
Wie groß ist die Beschleunigung a 1 und die Verzögerung
a 2 , wenn die Strecken s 1 und s 2 sowie die Zeit T bekannt
sind?
Aufgabe 5
B
D
O
y
r
E
x
Der Stab AB bewegt sich in der x ,y -Ebene so, dass sein
Ende A entlang einer halbkreisförmigen Rinne DAE (Radius
r ) gleitet, wobei sich der Stab auf die Kante D der Rinne
stützt. Bestimmen Sie
a) den Momentanpol der Bewegung,
A
b) die Spurkurve bezüglich des angegebenen x,y-Koordinatensystems,
c) die Polkurve.
Aufgabe 6
Auf dem Cannstatter Volksfest fährt eine Person mit dem dargestellten Karussell. Die Drehgeschwindigkeiten
Ω und ω sind konstant.
z ′
l
ϕ, ω
Ω
x ′ y ′
b
z
x
Berechnen Sie die Beschleunigung⃗a P , die auf den Kopf des Fahrgastes wirkt, im karussellfesten Koordinatensystem⃗e
x ′,⃗e
y ′,⃗e
z ′.
y

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
WS 2010/11 VÜ-aer 3
Aufgabe 7
g
α
m
Eine Person zieht sich in der dargestellten Weise an einem
Seil eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel α hoch. Das
Seil wird dabei über masselose Rollen umgelenkt. Bestimmen
Sie die Beschleunigunga, die die Person erfährt, wenn
sie am Seil mit der Kraft S zieht. Die Gesamtmasse von
Person und Wagen betrage m, das Eigengewicht des Seils
sowie Reibung sind zu vernachlässigen.
Aufgabe 8
g
r
m
µ 0
α
Ein Auto mit der Masse m durchfährt eine Steilkurve (Radius
r, Neigungswinkel α ≤ π ) mit der konstanten Geschwindigkeit
v. Der Haftungsreibungskoeffizient zwischen
4
der Straße und den Reifen beträgt µ 0 . In welchem Bereich
muss v liegen, damit der Wagen nicht seitlich rutscht?
Modellieren Sie das Fahrzeug als Massepunkt.
Aufgabe 9
g
D
A
B
In der Wilhelma klettern drei Affen A, B, C (Massen m A , m B
und m C ) an einem Seil hoch und runter. Zum betrachteten
Zeitpunkt klettert Affe A mit der Beschleunigung a A nach
unten, während sich Affe C mit der Beschleunigunga C nach
oben zieht. Affe B rutscht am Seil mit einer konstanten Geschwindigkeit
v B nach unten.
Berechnen Sie die Seilkraft S D im Aufhängepunkt.
C

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
WS 2010/11 VÜ-aer 4
Aufgabe 10
z
y
x
h
2b
2t
Bestimmen Sie die Elemente des Trägheitstensors des abgebildeten
dünnen gleichschenkligen Dreiecks (Höheh, Basis
2b, Dicke 2t, t ≪ b,h, Dichte ρ=const) für den Bezugspunkt
O und die eingezeichneten Achsen.
Aufgabe 11
y
Der dargestellte Körper (Dichteρ=const.) ist aus 12 Würfeln
mit Kantenlänge d zusammengesetzt.
x
a) Stellen Sie den Trägheitstensor im eingezeichneten
xyz-Koordinatensystem bezüglich des Ursprungs O
auf.
b) Geben Sie die Hauptträgheitsmomente an.
z
c) Wie lauten die Richtungen der Hauptträgheitsachsen?
Aufgabe 12
ω
M
A
l
ϕ
B
a
S
g
F
Eine Kurbel AB (homogen, Länge r, Masse m 1 ) wird im
Punkt A durch ein Moment M(t) angetrieben. Am Ende der
Kurbel ist ein würfelförmiges Schiebestück (masselos) angebracht,
das reibungsfrei in einer Kulisse läuft. Die Kulisse
bewegt einen mit ihr verbundenen Kolben (gemeinsamer
Schwerpunkt S, Gesamtmasse m 2 ). Der Kolben muss bei
seiner Bewegung die konstante Druckkraft F überwinden.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für ω auf.
b) Wie muss M(t) lauten, wenn die Drehgeschwindigkeit
den Verlauf ω(t) = 2ct (c=const., ϕ(t = 0) = 0)
aufweisen soll?

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
WS 2010/11 VÜ-aer 5
Aufgabe 13
g Ein homogener Quader (Massem) gleitet auf einer horizontalen
Unterlage (Gleitreibungskoeffizient µ). Auf dem Quader
rollt eine homogene Stufenscheibe (Masse 2m, Radien
r und 2r, Trägheitsradius k = √ 3r) ohne zu gleiten
r 2r
µ 0
(Haftreibungskoeffizient µ 0 ). Um die innere Welle der Stufenscheibe
ist hinreichend oft ein masseloses Seil geschlun-
µ
F
gen, dessen linkes Ende an einer Wand befestigt ist. Das
Seil verläuft zwischen Wand und Stufenscheibe horizontal.
Die Anordnung wird durch die am Quader angreifende, nach rechts gerichtete Kraft F > 3µmg in
Bewegung versetzt.
a) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Quaders in Abhängigkeit der Kraft F .
b) Wie groß darf die Kraft F maximal sein, damit die Stufenscheibe nicht zu gleiten beginnt?
Aufgabe 14
g m S ,Θ S
S
B r
R
M
K A Θ K µ 0
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
ω K l
Ein epizyklisches Getriebe besteht aus einem fest stehenden
Rad R, in dessen Mittelpunkt A eine Kurbel K reibungsfrei
drehbar gelagert ist. Die Kurbel K inklusive Gegengewicht
besitzt das Massenträgheitsmoment Θ K bezüglich A.
Am Ende der Kurbel ist im Punkt B eine Scheibe S (Radius
r, Masse m S , Massenträgheitsmoment Θ S bezüglich
B) reibungsfrei drehbar gelagert angebracht. Zwischen dem
Rad R und der Scheibe S herrsche Haftreibung (Haftreibungskoeffizient
µ 0 ). Die Erdbeschleunigung g wirke parallel
zu den Drehachsen.
a) Bestimmen Sie die Winkelbeschleunigung ˙ω K der Kurbel,
wenn ein äußeres MomentM auf die Kurbel wirkt.
b) Wie groß ist die Umfangskraft U, welche die Scheibe
auf das Rad ausübt?
Aufgabe 15
d
c
y
x A
x
A
ϕ
S
M
g
m, l
Ein Klotz (homogen, Masse M) gleitet reibungsfrei auf einer
Unterlage und ist über eine Feder (Federkonstante c)
und einen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer (Dämpferkonstanted)
mit einer festen Wand verbunden. Die Feder
sei bei x A = 0 entspannt. Im Schwerpunkt A des Klotzes
ist eine Stange (homogen, Masse m, Länge l) reibungsfrei
drehbar gelagert.
Geben Sie die beiden Bewegungsgleichungen des Systems
an.

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
WS 2010/11 VÜ-aer 6
Aufgabe 16
y
g
m, 3r B r
2 r
2
c D S
ϕ
A
M
x
An einer im Punkt A gelagerten Exzenterscheibe E (homogen,
Masse M, Radius r) ist im Punkt B ein Pleuel P (Masse
m, Länge 3 r) angebracht, das durch einen masselosen
2
Schieber im Punkt D geführt ist. Auf den Schieber wirkt eine
Feder (Federsteifigkeit c). Bei ϕ 0 = 45 ◦ ist die Feder unbelastet.
Reibungseinflüsse sind zu vernachlässigen.
a) Stellen Sie die Ortsvektoren zu den Schwerpunkten
von Exzenterscheibe und Pleuel in Abhängigkeit des
Winkels ϕ auf.
b) Geben Sie für dieses System die potentielle sowie die kinetische Energie in Abhängigkeit von ϕ
und ˙ϕ an.
c) Das System wird nun bei ϕ 0 = 45 ◦ aus der Ruhe heraus losgelassen. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit
˙ϕ der Exzenterscheibe, wenn das System die Lage ϕ = 0 ◦ erreicht.
Aufgabe 17
y
x
ϕ
4r
A
r m
ω
3r
B
m
µ
g
Eine Walze (homogen, Masse m, Radius r) rollt ohne zu
gleiten in einer zylinderförmigen Rinne (Radius 4r). Im Mittelpunkt
A der Walze ist reibungsfrei drehbar das eine Ende
einer Stange (masselos, Länge 3r) gelagert, während sich
das andere Ende der Stange reibungsfrei in einer horizontalen
Führung bewegen kann. Der Punkt B der Stange ist über
ein Seil (masselos, undehnbar) mit einem Klotz (Masse m)
verbunden. Zwischen Klotz und Unterlage tritt Gleitreibung
auf (Gleitreibungskoeffizient µ). Von Haftreibung zwischen
Klotz und Unterlage soll abgesehen werden.
a) Bestimmen Sie die Ortsvektoren der Punkte A und B im eingezeichnetenxy-Koordinatensystem.
b) Berechnen Sie die kinetische sowie die potentielle Energie des Systems .
Die Anordnung wird nun bei ϕ = 0 aus der Ruhe heraus losgelassen und erreicht schließlich die Lage
ϕ = 45 ◦ .
c) Wieviel Energie wird durch Gleitreibung dissipiert?
d) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω, welche die Walze bei ϕ = 45 ◦ erreicht.

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
WS 2010/11 VÜ-aer 7
Aufgabe 18
A
c
m
g
An einer Stange (masselos), die im Punkt A reibungsfrei
drehbar gelagert ist, sind eine Feder (Federkonstante c),
ein Dämpfer (Dämpfungskonstante d) und ein Massepunkt
(Massem) angebracht. Das System befindet sich in der dargestellten
Lage im Gleichgewicht.
a
a
a
d
a) Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante d
erfüllen, damit die Stange eine schwach gedämpfte
Schwingung ausführt? Gehen Sie von kleinen Auslenkungen
aus.
b) Geben Sie den Zeitverlauf der Schwingung an, wenn
die Stange zu Beginn der Bewegung die Gleichgewichtslage
mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙
0 durchläuft?
Aufgabe 19
y
s e
x
L
d
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
c
R
m
v 0
g
u 0
u 0
Ein Feder-Dämpfer-Masse-System (Masse m, Dämpfungskonstante
d, Federkonstante c) überfährt mit
konstanter Horizontalgeschwindigkeit v 0 sinusförmige
Bodenwellen (Amplitude u 0 , Wellenlänge L). Die Feder
ist gerade entspannt, wenn der Schwerpunkt der
Masse durch s e = 0 beschrieben ist und das Rad R
gerade die Lage y = 0 durchfährt. Der Dämpfer und
die Feder sind als masselos zu betrachten. Der Radius
des Rades ist zu vernachlässigen. Das System
bleibt stets vertikal.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und ermitteln Sie die Erregerkreisfrequenz Ω.
b) Wie groß ist die Amplitude s 0 der Schwingung der Masse in Abhängigkeit von v 0 ?
c) Wie groß ist die kritische Horizontalgeschwindigkeit v k , d.h. die Geschwindigkeit, für die bei verschwindender
Dämpfung der Resonanzfall auftritt?