Lösung 1 - Leibniz Universität Hannover
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<strong>Leibniz</strong> <strong>Universität</strong> <strong>Hannover</strong> 13. April 2010<br />
Fakultät für Mathematik und Physik<br />
Prof. Dr. M. Erné, apl. Prof. Dr. T. Holm<br />
Übungen zu Diskrete Strukturen<br />
Sommersemester 2010<br />
Blatt 1 - <strong>Lösung</strong>shinweise<br />
1. Entscheiden Sie, welche der Abbildungen F : Z → Z injektiv und welche surjektiv sind:<br />
(i) F (n) = 2n + 1, (ii) F (n) = 1 + n 2 , (iii) F (n) = n + (−1) n , (iv) F (n) = ⌊ n 2 ⌋,<br />
wobei ⌊x⌋ := max{m ∈ Z|m ≤ x} für alle reellen Zahlen x.<br />
<strong>Lösung</strong>:<br />
(i) F ist injektiv: Sei F (n) = F (m), d.h. 2n + 1 = 2m + 1. Addition mit −1 und Division<br />
durch 2 ergibt n = m.<br />
F ist nicht surjektiv: Alle Bilder F (n) = 2n + 1 sind ungerade Zahlen, die geraden<br />
Zahlen liegen also nicht im Bild.<br />
(ii) F ist nicht injektiv: z.B. ist F (1) = 2 = F (−1).<br />
F ist nicht surjektiv: Die Bilder F (n) = 1 + n 2 sind alle positiv, die negativen ganzen<br />
Zahlen liegen nicht im Bild.<br />
(iii) Wir betrachten die Abbildung F zunächst genauer. Für gerade Zahlen gilt F (2m) =<br />
2m + (−1) 2m = 2m + 1; für ungerade Zahlen gilt F (2m + 1) = 2m + 1 + (−1) 2m−1 =<br />
2m + 1 − 1 = 2m. D.h. die Abbildung F bewirkt das Vertauschen von 2m und 2m + 1<br />
für alle m ∈ Z.<br />
F ist injektiv: Sei F (n) = F (m), d.h. n+(−1) n = m+(−1) m . Nach der Vorbemerkung<br />
müssen n und m entweder beide gerade oder beide ungerade sein. In beiden Fällen<br />
ist dann aber n − m = (−1) m − (−1) n = 0, d.h. n = m.<br />
F ist surjektiv: Jede gerade Zahl ist im Bild von F , da F (2m+1) = 2m, jede ungerade<br />
Zahl ist im Bild von F , da F (2m) = 2m + 1 für alle m ∈ Z.<br />
(iv) F ist nicht injektiv: z.B. ist F (1) = ⌊ 1 2 ⌋ = 0 = ⌊ 0 2 ⌋ = F (0).<br />
F ist surjektiv: Sei m ∈ Z beliebig. Dann ist m = ⌊ 2m 2<br />
⌋ = F (2m) im Bild von F .<br />
2. Wieviele gibt es?<br />
(a) 0-1-Folgen der Länge 7 mit einer geraden Anzahl von Einsen.<br />
(b) 0-1-Folgen der Länge 8 mit genau 3 Einsen.<br />
(c) Wörter mit 9 Buchstaben aus dem Alphabet {a, b, c} mit genau 3 a’s und 2 b’s.<br />
(d) Finden Sie eine möglichst allgemeine Formel zu (c):<br />
beliebige Wortlänge, Alphabetgröße, sowie Anzahl der a’s und b’s.<br />
<strong>Lösung</strong>:<br />
(a) 2 6 . Begründung: Insgesamt gibt es 2 7 0-1-Folgen der Länge 7. Jede Folge hat entweder<br />
gerade viele oder ungerade viele Einsen. Sei G (bzw. U) die Menge der 0-1-Folgen<br />
mit gerade (bzw. ungerade) vielen Einsen. Beide Mengen sind gleichmächtig; eine<br />
Bijektion ist z.B. gegeben durch die Abbildung G → U, die in jeder Folge das erste<br />
Bit umdreht. Also |G| = 27<br />
2 = 26 .
(b) ( 8<br />
3)<br />
. Begründung: wähle die drei Positionen der Einsen aus; der Rest ist dann festgelegt.<br />
(c) Für die Positionen der a’s hat man ( 9<br />
3)<br />
= 84 Möglichkeiten; auf den verbleibenden 6<br />
Positionen hat man ( 6<br />
2)<br />
= 15 Möglichkeiten für die b’s; die restlichen vier Positionen<br />
müssen mit c’s belegt sein. Insgesamt erhält man ( 9 6<br />
3)(<br />
2)<br />
= 1260 Wörter.<br />
(d) Betrachte Wörter der Länge n über einem Alphabet der Größe m ≥ 2. Seien k und l<br />
die Anzahlen der a’s bzw. b’s. Mit der Zählstrategie aus (c) gibt es dann<br />
( )( )<br />
n n − k<br />
(m − 2) n−k−l<br />
k l<br />
Wörter mit den gewünschten Eigenschaften. (Man beachte, dass die Formel auch<br />
richtig ist in ausgearteten Fällen wie k > n oder k + l > n, es ergibt sich als korrekte<br />
Anzahl 0.)<br />
3. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für alle n ∈ N die Gleichung<br />
n∑<br />
k! · k = (n + 1)! − 1.<br />
k=1<br />
<strong>Lösung</strong>: Induktionsanfang n = 1: Auf beiden Seiten ergibt sich 1.<br />
Sei n > 1 und als Induktionsvoraussetzung die Formel für n bereits bewiesen. Wir müssen<br />
zeigen, dass die Formel dann auch für n + 1 gilt. Es ist<br />
n+1<br />
∑<br />
k! · k =<br />
k=1<br />
n∑<br />
k! · k + (n + 1)! · (n + 1)<br />
k=1<br />
= (n + 1)! − 1 + (n + 1)! · (n + 1) (Induktionsvoraussetzung)<br />
= (n + 1)!(1 + n + 1) − 1 = (n + 2)! − 1.<br />
Dies ist genau die Formel für n + 1 und damit der Induktionsbeweis vollständig.<br />
4. Für eine endliche Menge X bezeichnet |X| die Anzahl ihrer Elemente.<br />
Zeigen Sie durch Angabe geeigneter Bijektionen:<br />
(a) |X (Y+Z) | = |X| |Y | · |X| |Z| .<br />
(b) |X (Y×Z) | = (|X| |Y | ) |Z| .<br />
<strong>Lösung</strong>: Die angegebenen Gleichungen kann man unter Benutzung der Potenzregeln für<br />
Zahlen und Satz 1.1 aus dem Skript (für endliche Mengen A, B ist |A B | = |A| |B| ) direkt<br />
verifizieren:<br />
|X (Y+Z) | = |X| |Y +Z| = |X| |Y |+|Z| = |X| |Y | · |X| |Z|<br />
|X (Y×Z) | = |X| |Y ×Z| = |X| |Y |·|Z| = (|X| |Y | ) |Z| .<br />
In dieser Aufgabe sollen aber die Gleichheiten ohne Benutzung der Potenzregeln für Zahlen<br />
direkt durch die Angabe von Bijektionen bewiesen werden (damit beweist man die<br />
Potenzregeln für Zahlen als Spezialfall nebenher mit).<br />
(a) In der Vorlesung wurde definiert Y + Z := {(0, y)|y ∈ Y } ∪ {(1, z)|z ∈ Z}.<br />
Wir definieren eine Bijektion Ψ : X Y +Z → X Y × X Z wie folgt: f ↦→ (f 1 , f 2 ), wobei<br />
f 1 (y) := f(0, y) und f 2 (z) := f(1, z). Dies ist sicher wohldefiniert, und es ist in der Tat
eine Bijektion, wie man durch die Angabe einer Umkehrfunktion sieht. Diese ist gegeben<br />
durch die Abbildung Φ : X Y × X Z → X Y +Z , (g 1 , g 2 ) ↦→ g, wobei g(0, y) := g 1 (y) und<br />
g(1, z) = g 2 (z). (Man prüft leicht direkt aus den Definitionen nach, dass Ψ ◦ Φ = Id und<br />
Φ ◦ Ψ = Id, d.h. wir haben wirklich Umkehrfunktionen.)<br />
Mit Satz 1.1 aus dem Skript folgt dann aus obiger Bijektion direkt, dass |X (Y+Z) | =<br />
|X| |Y | · |X| |Z| (ohne, dass wir die Potenzregeln für Zahlen benutzt haben).<br />
(b) Wir betrachten die Abbildung Ψ : X Y ×Z → (X Y ) Z , f ↦→ Ψ(f), wobei Ψ(f) : Z → X Y ,<br />
Ψ(f)(z)(y) := f(y, z) für alle y ∈ Y , z ∈ Z. Dies ist eine Bijektion, die Umkehrabbildung<br />
ist gegeben durch Φ : (X Y ) Z → X Y ×Z , Φ(g)((y, z)) := (g(z))(y) ∈ X. Wiederum lässt sich<br />
direkt aus den Definitionen der Abbildungen verifizieren, dass Ψ ◦ Φ = Id und Φ ◦ Ψ = Id,<br />
d.h. wir haben in der Tat Bijektionen.<br />
Für die Mächtigkeiten ergibt sich dann mit Satz 1.1 des Skripts<br />
|X (Y×Z) | = |(X Y ) Z | = |X Y | |Z| = (|X| |Y | ) |Z|<br />
(wiederum ohne die Potenzgesetze für Zahlen benutzt zu haben).<br />
Knacky 1: Falsche Induktion.<br />
Wir ’beweisen’ die folgende Aussage mit vollständiger<br />
Induktion:<br />
Seien l 1 , l 2 , . . . , l n (n ≥ 2) verschiedene Geraden<br />
in der Ebene, von denen keine zwei parallel sind.<br />
Dann haben alle diese Geraden einen Punkt gemeinsam.<br />
Für n = 2 ist die Aussage wahr, denn zwei nichtparallele<br />
Geraden schneiden sich.<br />
Angenommen, die Aussage gilt für n, und gegeben<br />
seien n + 1 paarweise nicht parallele Geraden<br />
l 1 , l 2 , . . . , l n+1 . Nach Induktionsvoraussetzung haben die Geraden l 1 , . . . , l n einen Punkt x gemeinsam;<br />
ebenso haben die n Geraden l 2 , . . . , l n+1 einen Punkt y gemeinsam. Die Geraden l 2<br />
und l n enthalten also sowohl x als auch y, sind aber nicht parallel und schneiden sich daher in<br />
genau einem Punkt x = y. Damit haben alle n + 1 Geraden diesen Punkt gemeinsam.<br />
Was ist hier falsch?<br />
<strong>Lösung</strong>: Der Induktionsanfang n = 2 ist korrekt. Ebenso ist der Induktionsschritt n ⇒ n +<br />
1 ok für alle n ≥ 3. Aber das Argument funktioniert nicht, um von n = 2 auf n = 3 zu<br />
schließen, und damit bricht die gesamte Induktion zusammen (d.h. es nützt einem auch gar<br />
nichts, dass der Induktionsschritt ab n = 3 wieder funktionieren würde, denn dort hat man<br />
keinen Induktionsanfang)! Im Fall n = 2 nimmt man drei paarweise nichtparallele Geraden<br />
l 1 , l 2 , l 3 . Nach Induktionsvoraussetzung haben l 1 , l 2 einen gemeinsamen Punkt x, und l 2 und l 3<br />
einen gemeinsamen Punkt y. Dann aber geht das Argument schief, da die Geraden l 2 und l n für<br />
n = 2 gleich sind.