4.3. Lineare Gleichungssysteme

4.3. Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen und Hyperebenen
In allen Bereichen der Natur- ind Ingenieurwissenschaften und sogar in vielen Situationen des
täglichen Lebens geht es darum, Gleichungen zu lösen (auch wenn manche Ahnungslose das noch
nicht bemerkt haben). Eine relativ einfache Struktur haben diejenigen Gleichungen, in denen die
Unbekannten nur "linear" vorkommen. Eine solche Gleichung hat also die Form
a 1
x 1
+ ... + a n
x n
=
und wir wissen schon, daß dies für den Fall n =
b
3 eine Ebene beschreibt (sofern nicht alle a j
gleich
0 sind). In höheren Dimensionen spricht man von Hyperebenen. Für n = 2 bekommt man
allerdings eine Gerade, und für n = 1 sogar nur einen Punkt.
Beispiel 1: Ein Dreiecksausschnitt der Ebene
x 1
+ x 2
+ x 3
= 1
entsteht durch die Zusatzbedingung, dass alle Koordinaten x j
zwischen 0 und 1 liegen. Im Bilde:
Lineare Gleichungssysteme
bestehen aus mehreren linearen Gleichungen, haben also die Form
a 1,
1
x 1
+ ... + a 1,
n
x n
= b 1
: :
: :
a m,
1
x 1
+ ... + a m,
n
x n
= b m
Hier macht sich nun die Matrizenschreibweise bezahlt. In dieser lautet das System kurz und
bündig:
A x = b.
Dabei ist A = [ a j,
k
] eine Matrix aus K ( m x n )
, b eine Spalte aus K m
und x eine unbekannte Spalte aus
K n
. Wir haben schon erwähnt, daß die Lösungsmengen linearer Gleichungen genau die
Hyperebenen sind. Daraus folgt sofort, daß die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
(also die Menge der simultanen Lösungen für alle beteiligten Gleichungen) ein Durchschnitt von
Hyperebenen ist, und umgekehrt. Aber wie sehen solche Durchschnitte explizit aus?

Der Durchschnitt zweier Ebenen ist eine Gerade oder leer, und der Durchschnitt dreier Ebenen ist
je nach Lage eine Gerade, ein Punkt oder leer.
Beispiel 2: Schnitte von drei Ebenen
Gerade
Punkt
leer
Als "Lösungsräume" kommen also im dreidimensionalen Fall in Frage:
die leere Menge,
Punkte, Geraden, Ebenen
und der ganze Raum.
Gibt es vielleicht noch weitere Möglichkeiten? Wir werden sehen, daß das zumindest für n = 3
nicht der Fall ist.

Affine Teilräume
eines Vektorraums V sind entweder leer oder von der Form
a + U = a + R u 1
+ ... + R u k
mit einem "Ortsvektor" a und "Richtungsvektoren" u 1
,..., u k
.
Punkte, Geraden, Ebenen und der Gesamtraum sind also Beispiele affiner Teilräume. Ein affiner
Teilraum ist nur dann ein Unterraum, wenn er den Nullvektor enthält!
Aus einem konkreten Lösungsverfahren wird sich ergeben:
Die affinen Teilräume sind genau
(1) die Durchschnitte von Hyperebenen
(2) die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
(3) die Lösungsmengen von f(x) = b für lineare Abbildungen f und Vektoren b
(4) die Teilmengen A , die mit a und b auch alle "Affinkombinationen"
s a + t b mit s + t = 1 enthalten.
Der Differenzraum
zweier affiner Räume A und B besteht aus allen Differenzen a − b mit a aus A und b aus B.
Er ist wieder ein affiner Teilraum, wie man mit Hilfe von (4) sofort nachprüft.
Die Bildung von Differenzräumen erleichtert viele Rechnungen! Zum Beispiel ist der Abstand
zwischen A und B definitionsgemäß der Abstand des Differenzraumes A − B vom Ursprung 0, den
man im Falle einer Ebene mit der Hesseschen Normalform herausbekommt.
Beispiel 3: Der Abstand zweier Geraden
G = a + R u und H = b + R v
ist der Abstand des Differenzraumes
G − H = a − b + R u + R v
vom Ursprung. Für
a = ( 1, 0,
0 ), b = ( 0, 1,
0 ), u = ( 0, 1,
0 ),
v = ( 0, 0,
1 )
ergibt sich beispielsweise der Normalenvektor
n = u x v = ( 1, 0,
0)
und die folgende Normalform für
n x = n ( a − b ) = 1,
also der Abstand
d ( G,
H ) = d ( G − H,
0)
= 1.
G − H:

Das Eliminationsverfahren nach Gauß-Jordan
Um ein konkret vorgegebenes lineares Gleichungssystem
A x = b
zu vereinfachen und schließlich zu lösen (oder seine Unlösbarkeit festzustellen), erlaubt man
elementare Zeilenumformungen:
(1) Zeilenvertauschungen,
(2) Multiplikation einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl,
(3) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
Der Zeilenraum
einer Matrix ist der Unterraum, der von den Zeilen der Matrix erzeugt wird.
Der Lösungsraum
eines linearen Gleichungsystems Ax = b ist der affine Teilraum, der aus allen Lösungvektoren
besteht.
Bei elementaren Zeilenumformungen bleibt sowohl der Zeilenraum als auch der Lösungsraum
unverändert (sofern man alle Umformungen nicht nur auf die Matrix A, sondern auch auf die rechte
Seite b anwendet).
Mit dem folgenden, nach den Mathematikern Gauß und Jordan benannten Verfahren erzeugt man
so viele Nullen in der Matrix, daß die Lösung am Schluß "vom Himmel fällt". Dazu brauchen wir
aber erst einmal
Schritt 1: Regentropfen
Mit Hilfe der Umformungen (1) und (2) bringt man eine 1 in die linke obere Ecke. Jetzt addiert
man nach (3) Vielfache der ersten Zeile zu den darunterliegenden, so daß alle Elemente unter der
ersten 1 zu 0 werden ("Regentropfen"). Falls die gesamte erste Spalte nur Nullen enthielt, geht man
gleich zur zweiten Spalte über.
Nun verfährt man mit der nächsten Spalte ebenso, indem man zunächst eine 1 an die zweitoberste
Stelle bringt - oder, falls alle Elemente der zweiten Spalte außer dem obersten 0 sind, zur dritten
Spalte übergeht:

Man setzt das Verfahren fort, bis eine "Zeilenstufenform" entstanden ist, bei der unterhalb der
Stufen nur Nullen und an den Stufenabsätzen jeweils Einsen stehen.
Schritt 2: Querschuß
Man testet alle Nullzeilen daraufhin, ob auch die rechte Spalte in gleicher Höhe eine Null hat.
Wenn nicht, ist man fertig: Das Gleichungssystem hat keine Lösung (warum?) Andernfalls kann
man natürlich alle Nullzeilen weglassen, da sie keine Information liefern. Das Ergebnis ist eine
Basis für der Zeilenraum der Matrix A.

Schritt 3: Luftblasen
Nun erzeugt man mit dem gleichen Verfahren wie in Schritt 1, diesmal allerdings von unten nach
oben, Nullen über den "Stufen-Einsen".
Schritt 4: Einschub
Jede fehlende Stufe wird durch Einschieben eines negativen Einheitsvektors ergänzt, so daß am
Schluß eine vollständige Diagonaltreppe ensteht, auf der nur die Werte 1 und -1 stehen.
Schritt 5: Streichresultat
Man streicht alle Spalten mit einer positiven "Stufen-Eins".
Der Lösungsraum ist dann gegeben durch die Spaltendarstellung
L = R u 1
+ ... + R u k
+ c ,
wobei u 1
,..., u k
diejenigen Spalten sind, bei denen das Diagonalelement gleich -1 ist, und c die
zuletzt enstandene rechte Spalte bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme
sind von der Form
A x = 0
und haben die Eigenschaft, dass der Lösungsraum L ein Unterraum des Spaltenraumes K m
ist. In
diesem Fall besteht der Zeilenraum genau aus denjenigen Vektoren, die auf allen Lösungsvektoren
senkrecht stehen (also mit diesen das Skalarprodukt 0 haben). Allgemeiner definieren wir:
Der Orthogonalraum
eines Unterraums U des Spaltenraumes R m
besteht aus allen Vektoren, die auf sämtlichen Vektoren
aus U senkrecht stehen.
Ist B = (b 1
, ..., b n
) eine geordnete Basis von U, so kann man sie als mxn-Matrix auffassen, und der
Orthogonalraum zu U ist einfach der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems
B T x = 0.
Umgekehrt ist für jedes homogene Gleichungssystem A x =
Orthogonalraum des Spaltenraumes von A T .
0 der Lösungsraum der
Beispiel 3: Basis eines Orthogonalraumes zur Raumdiagonalen
Gesucht ist eine Basis des Orthogonalraumes zu der Geraden durch (1,1,1).
⎡ x 1
⎤
[ 1 1 1]
x 2
=
⎢
⎣ x ⎦
⎥
0
3
Nur der vorletzte und letzte Schritt des Gauß-Jordan-Verfahrens ist hier noch zu vollziehen.

⎡1 1 1⎤
0 -1 0
⎢ ⎥
⎣0 0 -1⎦
⎡ 1⎤
⎡
L = R
-1
+ R
⎢ ⎥ ⎢
⎣ 0⎦
⎣
1⎤
0
⎥
-1⎦
Der Orthogonalraum hierzu wird von der Ausgangszeile (1,1,1) erzeugt. Das kann man durch
nochmaliges Lösen eines Gleichungssystems bestätigen. Wir schreiben die Basisvektoren des
Lösungsraumes L als Zeilen:
⎡1 -1 0⎤
A := ⎢ ⎥
⎣1 0 -1⎦
Regentropfen: Subtraktion der ersten von der zweiten Zeile liefert
⎡1 -1 0⎤
⎢ ⎥
⎣0 1 -1⎦
Luftblasen: Addition der zweiten Zeile zur ersten ergibt
⎡1 0 -1⎤
⎢ ⎥
⎣0 1 -1⎦
Einschub: Ergänzen durch den negativen dritten Einheitsvektor führt auf die quadratische Matrix ...
⎡1 0 -1⎤
0 1 -1
⎢ ⎥
⎣0 0 -1⎦
... und deren letzte Spalte erzeugt den Lösungsraum von A x = 0.
Das ist bis auf das Vorzeichen wieder der (transponierte) ursprüngliche Vektor.
Ein ziemlich läppisches Beispiel; aber es demonstriert Schritt für Schritt das
Gauß-Jordan-Verfahren.
Beispiel 4: Symmetrische Durchlaufmatrizen
Etwas anspruchsvoller sind die Gleichungssysteme A x =
A = [ a jk
] , wobei a jk
= j + k − 1 .
⎡1 2 3 4 5⎤
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
⎢
⎥
⎣5 6 7 8 9⎦
b mit den quadratischen Matrizen
Wir lassen die Regentropfen fallen, subtrahieren also Vielfache der ersten Zeile von den anderen
Zeilen:

⎡1 2 3 4 5⎤
0 -1 -2 -3 -4
0 -2 -4 -6 -8
0 -3 -6 -9 -12
⎢
⎥
⎣0 -4 -8 -12 -16⎦
Multiplikation der zweiten bis fünften Zeile mit -1:
⎡1 2 3 4 5⎤
0 1 2 3 4
0 2 4 6 8
0 3 6 9 12
⎢
⎥
⎣0 4 8 12 16⎦
Addition von negativen Vielfachen der zweiten Zeile zu den darunterliegenden ...
⎡1 2 3 4 5⎤
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 0⎦
erzeugt eine Menge Nullzeilen. Wir lassen sie weg und erhalten eine Basis des Zeilenraumes:
Bleibt noch ein Luftblasenschritt:
Jetzt der Einschub:
⎡1 2 3 4 5⎤
B := ⎢
⎥
⎣0 1 2 3 4⎦
⎡1 0 -1 -2 -3⎤
⎢
⎥
⎣0 1 2 3 4⎦
⎡1 0 -1 -2 -3⎤
0 1 2 3 4
0 0 -1 0 0
0 0 0 -1 0
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 -1⎦
Und schließlich führt Streichen der Spalten mit Diagonal-Einsen auf eine Basis des
Lösungsraumes.
Probe:
⎡-1 -2 -3⎤
2 3 4
L :=
-1 0 0
0 -1 0
⎢ ⎥
⎣ 0 0 -1⎦
B L =
⎡ ⎣ ⎢ 0 0 0⎤
⎥
0 0 0⎦