4.3. Lineare Gleichungssysteme

Das Eliminationsverfahren nach Gauß-Jordan
Um ein konkret vorgegebenes lineares Gleichungssystem
A x = b
zu vereinfachen und schließlich zu lösen (oder seine Unlösbarkeit festzustellen), erlaubt man
elementare Zeilenumformungen:
(1) Zeilenvertauschungen,
(2) Multiplikation einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl,
(3) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
Der Zeilenraum
einer Matrix ist der Unterraum, der von den Zeilen der Matrix erzeugt wird.
Der Lösungsraum
eines linearen Gleichungsystems Ax = b ist der affine Teilraum, der aus allen Lösungvektoren
besteht.
Bei elementaren Zeilenumformungen bleibt sowohl der Zeilenraum als auch der Lösungsraum
unverändert (sofern man alle Umformungen nicht nur auf die Matrix A, sondern auch auf die rechte
Seite b anwendet).
Mit dem folgenden, nach den Mathematikern Gauß und Jordan benannten Verfahren erzeugt man
so viele Nullen in der Matrix, daß die Lösung am Schluß "vom Himmel fällt". Dazu brauchen wir
aber erst einmal
Schritt 1: Regentropfen
Mit Hilfe der Umformungen (1) und (2) bringt man eine 1 in die linke obere Ecke. Jetzt addiert
man nach (3) Vielfache der ersten Zeile zu den darunterliegenden, so daß alle Elemente unter der
ersten 1 zu 0 werden ("Regentropfen"). Falls die gesamte erste Spalte nur Nullen enthielt, geht man
gleich zur zweiten Spalte über.
Nun verfährt man mit der nächsten Spalte ebenso, indem man zunächst eine 1 an die zweitoberste
Stelle bringt - oder, falls alle Elemente der zweiten Spalte außer dem obersten 0 sind, zur dritten
Spalte übergeht: