4.3. Lineare Gleichungssysteme

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Das Eliminationsverfahren nach Gauß-Jordan Um ein konkret vorgegebenes lineares Gleichungssystem A x = b zu vereinfachen und schließlich zu lösen (oder seine Unlösbarkeit festzustellen), erlaubt man elementare Zeilenumformungen: (1) Zeilenvertauschungen, (2) Multiplikation einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl, (3) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Der Zeilenraum einer Matrix ist der Unterraum, der von den Zeilen der Matrix erzeugt wird. Der Lösungsraum eines linearen Gleichungsystems Ax = b ist der affine Teilraum, der aus allen Lösungvektoren besteht. Bei elementaren Zeilenumformungen bleibt sowohl der Zeilenraum als auch der Lösungsraum unverändert (sofern man alle Umformungen nicht nur auf die Matrix A, sondern auch auf die rechte Seite b anwendet). Mit dem folgenden, nach den Mathematikern Gauß und Jordan benannten Verfahren erzeugt man so viele Nullen in der Matrix, daß die Lösung am Schluß "vom Himmel fällt". Dazu brauchen wir aber erst einmal Schritt 1: Regentropfen Mit Hilfe der Umformungen (1) und (2) bringt man eine 1 in die linke obere Ecke. Jetzt addiert man nach (3) Vielfache der ersten Zeile zu den darunterliegenden, so daß alle Elemente unter der ersten 1 zu 0 werden ("Regentropfen"). Falls die gesamte erste Spalte nur Nullen enthielt, geht man gleich zur zweiten Spalte über. Nun verfährt man mit der nächsten Spalte ebenso, indem man zunächst eine 1 an die zweitoberste Stelle bringt - oder, falls alle Elemente der zweiten Spalte außer dem obersten 0 sind, zur dritten Spalte übergeht:
Man setzt das Verfahren fort, bis eine "Zeilenstufenform" entstanden ist, bei der unterhalb der Stufen nur Nullen und an den Stufenabsätzen jeweils Einsen stehen. Schritt 2: Querschuß Man testet alle Nullzeilen daraufhin, ob auch die rechte Spalte in gleicher Höhe eine Null hat. Wenn nicht, ist man fertig: Das Gleichungssystem hat keine Lösung (warum?) Andernfalls kann man natürlich alle Nullzeilen weglassen, da sie keine Information liefern. Das Ergebnis ist eine Basis für der Zeilenraum der Matrix A.
Seite 1 und 2: 4.3. Lineare Gleichungssysteme Line
Seite 3: Affine Teilräume eines Vektorraums
Seite 7 und 8: Homogene lineare Gleichungssysteme
Seite 9: ⎡1 2 3 4 5⎤ 0 -1 -2 -3 -4 0 -2

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