4.3. Lineare Gleichungssysteme

Homogene lineare Gleichungssysteme
sind von der Form
A x = 0
und haben die Eigenschaft, dass der Lösungsraum L ein Unterraum des Spaltenraumes K m
ist. In
diesem Fall besteht der Zeilenraum genau aus denjenigen Vektoren, die auf allen Lösungsvektoren
senkrecht stehen (also mit diesen das Skalarprodukt 0 haben). Allgemeiner definieren wir:
Der Orthogonalraum
eines Unterraums U des Spaltenraumes R m
besteht aus allen Vektoren, die auf sämtlichen Vektoren
aus U senkrecht stehen.
Ist B = (b 1
, ..., b n
) eine geordnete Basis von U, so kann man sie als mxn-Matrix auffassen, und der
Orthogonalraum zu U ist einfach der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems
B T x = 0.
Umgekehrt ist für jedes homogene Gleichungssystem A x =
Orthogonalraum des Spaltenraumes von A T .
0 der Lösungsraum der
Beispiel 3: Basis eines Orthogonalraumes zur Raumdiagonalen
Gesucht ist eine Basis des Orthogonalraumes zu der Geraden durch (1,1,1).
⎡ x 1
⎤
[ 1 1 1]
x 2
=
⎢
⎣ x ⎦
⎥
0
3
Nur der vorletzte und letzte Schritt des Gauß-Jordan-Verfahrens ist hier noch zu vollziehen.