4.3. Lineare Gleichungssysteme

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Schritt 3: Luftblasen Nun erzeugt man mit dem gleichen Verfahren wie in Schritt 1, diesmal allerdings von unten nach oben, Nullen über den "Stufen-Einsen". Schritt 4: Einschub Jede fehlende Stufe wird durch Einschieben eines negativen Einheitsvektors ergänzt, so daß am Schluß eine vollständige Diagonaltreppe ensteht, auf der nur die Werte 1 und -1 stehen. Schritt 5: Streichresultat Man streicht alle Spalten mit einer positiven "Stufen-Eins". Der Lösungsraum ist dann gegeben durch die Spaltendarstellung L = R u 1 + ... + R u k + c , wobei u 1 ,..., u k diejenigen Spalten sind, bei denen das Diagonalelement gleich -1 ist, und c die zuletzt enstandene rechte Spalte bezeichnet.
Homogene lineare <strong>Gleichungssysteme</strong> sind von der Form A x = 0 und haben die Eigenschaft, dass der Lösungsraum L ein Unterraum des Spaltenraumes K m ist. In diesem Fall besteht der Zeilenraum genau aus denjenigen Vektoren, die auf allen Lösungsvektoren senkrecht stehen (also mit diesen das Skalarprodukt 0 haben). Allgemeiner definieren wir: Der Orthogonalraum eines Unterraums U des Spaltenraumes R m besteht aus allen Vektoren, die auf sämtlichen Vektoren aus U senkrecht stehen. Ist B = (b 1 , ..., b n ) eine geordnete Basis von U, so kann man sie als mxn-Matrix auffassen, und der Orthogonalraum zu U ist einfach der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems B T x = 0. Umgekehrt ist für jedes homogene Gleichungssystem A x = Orthogonalraum des Spaltenraumes von A T . 0 der Lösungsraum der Beispiel 3: Basis eines Orthogonalraumes zur Raumdiagonalen Gesucht ist eine Basis des Orthogonalraumes zu der Geraden durch (1,1,1). ⎡ x 1 ⎤ [ 1 1 1] x 2 = ⎢ ⎣ x ⎦ ⎥ 0 3 Nur der vorletzte und letzte Schritt des Gauß-Jordan-Verfahrens ist hier noch zu vollziehen.
Seite 1 und 2: 4.3. Lineare Gleichungssysteme Line
Seite 3 und 4: Affine Teilräume eines Vektorraums
Seite 5: Man setzt das Verfahren fort, bis e
Seite 9: ⎡1 2 3 4 5⎤ 0 -1 -2 -3 -4 0 -2

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