4.3. Lineare Gleichungssysteme

Affine Teilräume
eines Vektorraums V sind entweder leer oder von der Form
a + U = a + R u 1
+ ... + R u k
mit einem "Ortsvektor" a und "Richtungsvektoren" u 1
,..., u k
.
Punkte, Geraden, Ebenen und der Gesamtraum sind also Beispiele affiner Teilräume. Ein affiner
Teilraum ist nur dann ein Unterraum, wenn er den Nullvektor enthält!
Aus einem konkreten Lösungsverfahren wird sich ergeben:
Die affinen Teilräume sind genau
(1) die Durchschnitte von Hyperebenen
(2) die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
(3) die Lösungsmengen von f(x) = b für lineare Abbildungen f und Vektoren b
(4) die Teilmengen A , die mit a und b auch alle "Affinkombinationen"
s a + t b mit s + t = 1 enthalten.
Der Differenzraum
zweier affiner Räume A und B besteht aus allen Differenzen a − b mit a aus A und b aus B.
Er ist wieder ein affiner Teilraum, wie man mit Hilfe von (4) sofort nachprüft.
Die Bildung von Differenzräumen erleichtert viele Rechnungen! Zum Beispiel ist der Abstand
zwischen A und B definitionsgemäß der Abstand des Differenzraumes A − B vom Ursprung 0, den
man im Falle einer Ebene mit der Hesseschen Normalform herausbekommt.
Beispiel 3: Der Abstand zweier Geraden
G = a + R u und H = b + R v
ist der Abstand des Differenzraumes
G − H = a − b + R u + R v
vom Ursprung. Für
a = ( 1, 0,
0 ), b = ( 0, 1,
0 ), u = ( 0, 1,
0 ),
v = ( 0, 0,
1 )
ergibt sich beispielsweise der Normalenvektor
n = u x v = ( 1, 0,
0)
und die folgende Normalform für
n x = n ( a − b ) = 1,
also der Abstand
d ( G,
H ) = d ( G − H,
0)
= 1.
G − H: