Lösungshinweise zur Vorlesung Diskrete Strukturen Blatt 5

stets einen Hamilton-Kreis? (Begründung oder Gegenbeispiel!)
Lösung (3 + 2 + 2 + 3 = 10 Punkte).
(a) Sei G ein Graph mit insgesamt n = 2k + 1 Knoten, davon k Knoten vom Grad k
und k + 1 Knoten vom Grad k + 1. Weiter sei i < n 2 < 2k+2
2
= k + 1, d. h. i ≤ k. Die
Bedingung
d i ≤ i =⇒ d n−i ≥ n − i
für die Gradfolge (d i ) von G ist dann für alle i < k wegen d i = k erfüllt, und für
i = k ist sie wegen d n−i = k + 1 = n − i ebenfalls erfüllt. Nach dem Satz von Chvátal
besitzt G somit einen Hamilton-Kreis.
Anmerkung. Einen solchen Graphen G = (X, E) mit k Knoten vom Grad k und k +1
Knoten vom Grad k + 1 kann es nicht geben, denn andernfalls wäre die Summe
n∑
d i = k 2 + (k + 1) 2
i=1
der Valenzen von G ungerade; nach der Formel
n∑
d i = 2|E|
i=1
ist diese aber immer gerade, Widerspruch.
Die Aussage aus der Aufgabe ist daher trivialerweise richtig.
(b) Nicht jeder Graph mit k Knoten vom Grad k + 1, k + 1 Knoten vom Grad k und
insgesamt 2k + 1 Knoten besitzt einen Hamilton-Kreis, wie das Beispiel
für k = 1 zeigt.
Allgemeiner gilt laut Vorlesung, dass der bipartite Graph
K l,m = (l + m, { xy | x ∈ l, y ∈ m })
genau dann einen Hamilton-Kreis besitzt, wenn l = m ist. Für jedes k ∈ N hat also
K k,k+1 zwar k Knoten vom Grad k + 1 und k + 1 Knoten vom Grad k, besitzt aber
keinen Hamilton-Kreis.
K 3,4
4