Tight-Binding-Theorie für optische und magnetische ... - E-LIB

4. POLYNOMKERNMETHODE
führt. Diese sog. Gibbs-Oszillationen treten an Punkten auf, bei denen die Funktion f(x)
nicht stetig differenzierbar ist. Deswegen wird an Sprungstellen sowie Singularitäten die
Genauigkeit weiter reduziert. Die übliche Prozedur zur Dämpfung der unerwünschten
Oszillationen besteht in der Modifikation der Momente μ n → g n μ n mit geeigneten
Koeffizienten g n . Mathematisch entspricht dies einer Faltung von f(x) mit einem Kern
K N (x, y). Details werden an dieser Stelle nicht gegeben, jedoch wird in dieser Arbeit
der optimale Jackson-Kern mit
g J n =
πn
πn
(N − n + 1) cos(
N+1
)+sin(
N+1 ) cot( π
N+1 )
N +1
(4.16)
benutzt, der von der maximalen Entwicklungsordnung N und der aktuellen Ordnung
n abhängig ist. Unter Verwendung des Jacks-Kerns ist die quadrierte Verbreiterung σ 2
einer δ-Funktion δ KPM (x − a) an der Stelle a analytisch gegeben:
σ 2 = N − a2 (N − 1)
2(N +1)
{ ( )} 2π
1 − cos
. (4.17)
N +1
Dies bedeutet, dass die Polynomkernentwicklung eine künstliche, inhomogene Verbreiterung
als Funktion der Position a einführt, was ein Artefakt der Methode darstellt. Als
Konsequenz ist die Verbreiterung für a =0in der Mitte des Intervalls [-1,1] größer als
am Rand a = ±1.
Zuvor wurde bereits die Nähe der Polynomkernentwicklung zur Fourier-Transformation
erwähnt: Werden für die Ñ Stützstellen x k explizit die Koordinaten der numerischen
Tschebyschow-Integration [175] gewählt,
π(k +1/2)
x k =cos , k =0, ..., (Ñ − 1), (4.18)
Ñ
kann f(x x ) über eine schnelle Fourier- bzw. Kosinustransformation erhalten werden: Der
numerische Aufwand wird weiter reduziert ohne die naive Rekonstruktion der Funktion
f(x) über Gl.(4.8) durchzuführen. Für die Anzahl der Stützstellen empfiehlt A. Weisse
den doppelten Wert der Anzahl von maximalen Momenten Ñ =2N, der auch in dieser
Arbeit in Kombination mit der Kosinustransformation verwendet wird.
4.3 Anwendungen
Als einfachste Anwendung der Polynomkernmethode kann die Spektraldichte einer hermiteschen
Matrix H der Dimension D mit Spektrum E k berechnet werden:
ρ(E) = 1 D
D−1
∑
k=0
δ(E − E k ). (4.19)
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