Die Logarithmus- und Exponentialfunktion

Logarithmen
Die Logarithmus- und Exponentialfunktion
1. Die Logarithmusfunktionen
Die Definition des Logarithmus ist eine eindeutige Zuordnung. Dies gilt sowohl für die algebraische
( a log(x)) wie für die geometrische Variante (ln(x)). Die Logarithmen erfüllen deshalb die Bedingung, die wir
an Funktionen stellen.
Definition: Die Funktion f(x) = a log(x) ist die Logarithmusfunktion zur Basis a.
ln(x) fett, 10 log(x) normal, 2 log(x) gepunktet
Ausschnitt: 0 ≤ x ≤ 3, –2 ≤ y ≤ 2
Eigenschaften der Funktionen und Graphen:
• Die Definitionsmengen der Logarithmusfunktionen enthalten nur die positiven Zahlen, d.h.
= + = {x| x > 0}.
• Alle Graphen schneiden sich im Punkt (1/0), d.h. a log(1) = 0 für alle a > 0.
• Die Logarithmusfunktionen sind streng monoton steigend, d.h. für u > v gilt a log(u) > a log(v) und aus
alog(u) = a log(v) folgt immer u = v.
Dies bedeutet, dass die Logarithmusfunktionen injektiv und umkehrbar sind.
• Die Werte der Logarithmusfunktionen wachsen mit x über alle Grenzen.
Dies folgt unmittelbar aus Satz 3. Die rechte Seite der Gleichung a log(u v ) = v·alog(u) lässt sich mit Hilfe
von v beliebig gross machen.
• Die Logarithmusfunktionen nehmen jeden reellen Wert genau einmal an.
Dies folgt aus den letzten beiden Eigenschaften.
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Trotz der Tatsache, dass die Werte der Logarithmusfunktionen
über alle Grenzen wachsen, so
geschieht diese Zunahme unglaublich langsam.
Nehmen wir zum Beispiel den natürlichen
Logarithmus. Auf ein A4–Blatt zeichnen wir in ein
Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm den
Graphen von ln(x). Am rechten Blattrand bei x = 20
liegt er wegen ln(20) = 2.9957 etwa 3 cm über der
x–Achse. Nun denken wir uns die x–Achse um die
Erde herumgewickelt. Nach jeweils 40'000 km
überdeckt sie dann wieder den Ursprung. Auch den
Graphen zeichnen wir in Gedanken entsprechend
weiter. Die folgende Tabelle zeigt, wo der Graph
jeweils die y–Achse schneidet.
Erdumrundungen x y = ln(x) Zunahme
1 4·10 9 cm 22.1096 cm
2 8·10 9 cm 22.8027 cm 0.6931 cm
3 12·10 9 cm 23.2082 cm 0.4055 cm
Nach der ersten Erdumrundung ist der Graph also bereits so gut wie waagerecht.
2. Die Exponentialfunktionen
Im letzten Abschnitt haben wir bemerkt, dass die Logarithmusfunktionen sich umkehren lassen.
y = a log(x) Exponieren
a y = x Vertauschen der Bezeichnungen x und y
a x = y
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden y = x.
Definition: Funktionen der Form f(x) = a x , a > 0,
heissen Exponentialfunktionen.
Achtung! Im Unterschied zu den Potenzfunktionen
ist bei den Exponentialfunktionen der Exponent
und nicht die Basis variabel.
e x , ln(x) und y = x (Spiegelachse)
Wächst die Logarithmusfunktion unglaublich langsam, so gilt für die Exponentialfunktionen genau das
Gegenteil. Diese wachsen extrem schnell.
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Aufgabe
2. Eine Bakterie mit einer Länge von einem Mikrometer (1 µm = 10 –6 m) teilt sich alle 15 Minuten. So
haben wir also nach 15 Minuten 2 Bakterien, nach 30 Minuten 4 Bakterien u.s.w.
Stellen wir uns vor, die Bakterien ordnen sich fadenförmig aneinander.
a) Wie lange ist der Bakterienfaden nach einem Tag?
b) Wie lange dauert es, bis der Bakterienfaden eine Länge erreicht hat, die dem Abstand Erde–Sonne
(1.5·10 11 m) entspricht?
c) Nehmen wir an, gleichzeitig mit dem Beginn der Teilung der ersten Bakterie startet ein Lichtstrahl
mit 3·10 8 m/s. Der Bakterienfaden folgt dem Lichtstrahl.
Wie lange dauert es, bis der Bakterienfaden den Lichtstrahl eingeholt hat?
Lösung:
a) In einem Tag verdoppelt sich die Zahl der Bakterien 96 Mal, d.h.
10 –6 m · 2 96 = 7.9·10 22 m
b) Wir setzen die Länge des Bakterienfadens gleich dem Abstand Erde–Sonne:
10 –6 m · 2 x = 1.5·10 11 m Vereinfachen
2 x = 1.5·10 17 Logarithmieren
x·ln(2) = ln(1.5·10 17 )
x = 57.05 ≈ 58 Verdoppelungen, d.h. 870 min = 14.5 h!
c) Wir setzen die Länge des Bakterienfadens—eine Teilung alle 900 s—gleich der Länge des Lichtstrahls
zum Zeitpunkt t.
10 –6 m · 2 (t/900 s) = 3·10 8 m/s · t
Diese Gleichung lässt sich formal nicht nach t auflösen, da t zugleich in der Basis und im Exponenten
auftaucht. Der Taschenrechner hat auch seine Probleme mit der nummerischen Lösung. Folgende
Umformung (ohne Einheiten) liefert das gesuchte Resultat:
2 (t/900) = 3·10 8·10 6·t = 3·10 14·t Logarithmieren ( 10 log)
t/900·log(2) = log(3)+14+log(t) mit solve() folgt dann
t = 57’513 s = 15 h 58 min 33 s
Es dauert also nur knapp 16 Stunden, bis der Bakterienfaden, den Lichtstrahl eingeholt hätte. Der
Taschenrechner findet noch eine zweite Lösung, die aber für unsere Problemstellung nicht relevant
ist.
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