Teil 7 Beschreibende Statistik

Teil 7 Beschreibende Statistik
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Ziele:
Grundgesamtheiten, Stichproben
Merkmale, Skalen
Häufigkeiten, empirische Verteilungsfunktion
Maßzahlen (Mittelwerte, Streuparameter)
...deren Eigenschaften
Beschreibung und Darstellung von Daten; Minimumeigenschaften der
Maßzahlen.
In der schließenden Statistik (→Teil 10) geht es um Schlußfolgerungen
aus der Stichprobe mittels Wahrscheinlichkeitsrechnung (→Teil 9).

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Stichproben, Merkmale
Klassifikation der Grundgesamtheit in:
Bastandsmassen Bewegungsmassen
z.B. zugelassenene Kfz An-/Abmeldungen Kfz
Eine Zufallsstichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit.
Die statistischen Objekte der Stichprobe / der Grundgesamtheit haben
Merkmale.
Merkmale sind
diskret: Anzahl Teilnehmer
oder stetig : Alter, Geschwindigkeit (Merkmal kontinuierlich)
Merkmale können dichoton sein, d.h. nur zweier Werte fähig: m/w
Merkmale können häufbar sein: Informatiker und Betriebswirt als "erlernter
Beruf"

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Skalen
Für die Merkmale gibt es statistische, hierarchisch gegliederte Skalen:
qualitative Skala:
◮
Nominalskala: m/w, s/w, 0/1, Arbeiter/Angestellter/Beamter
quantitative (metrische) Skalen:
◮
◮
◮
◮
Ordinalskala (mit Rangordnung): Tabelle Fußball-Liga, Notenskala,
Güteklassen Eier
Intervallskala (vergleicht Abstände): Zeit-/Temperaturskala,
Längen-/Breitengrade
Verhältnisskala (hat Maßeinheit und Nullpunkt): Gewicht, Alter,
Einkommen
Absolutskala (hat natürliche Einheit): Kinderzahl, Stückzahlen

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Urlisten, Häufigkeiten
Die Urliste enthält die Merkmalswerte : {x 1 , x 2 ,..., x n }
mit den unterschiedlichen Werten: a 1 ,..., a k
Die Häufigkeiten werden angegeben:
absolut: relativ: prozentual:
h j := h(a j ) := #{x i |x i = a j } f j = f (a j ) = h j /n p j := f j ∗ 100
∑ h j = n ∑ f j = 1 ∑ p j = 100
Per Histogramm oder Kreisdiagramm/Polygonzug wird die
Häufigkeitsverteilung grafisch dargestellt.
Im Falle von vielen Merkmalsausprägungen geht man über zu
Merkmalsklassen.

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Empirische Verteilungsfunktion
Die kumulativen Häufigkeiten sind:
absolut : H i = ∑ i j=1 h j
H i = #{x j |x j ≤ a i }
H i → n f ür i → ∞
relativ : F i = ∑ i j=1 f j
F i : Anteil Stichproben
mit Werten ≤ a i
F i → 1 f ür i → ∞
Bei H ∗ und F ∗ handelt es sich um Treppenfunktionen.
F (x) : Anteil der Stichprobe mit Werten ≤ x
empirische Verteilungsfunktion

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Maßzahlen, Mittelwerte
...einer Urliste:
Modus x D
...ist der häufigste Merkmalswert
Median (Zentralwert) x Z ......ist der Wert (ist ein Wert) mit
ebensovielen kleineren wie größeren Merkmalswerten:
{
x n+1/2 falls n ungerade
x Z =
... ist robust gegen Ausreißer
x n/2 falls n gerade
p-Quantil (Verallgemeinerung des Median-Wertes) ...teilt den unteren
Anteil p und den oberen Anteil 1 − p, p ∈ (0,1) von den
Merkmalswerten ab:
{
x np falls np ganzzahlig
x p =
sonst
x ⌊np⌋+1

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Arithmetisches Mittel
... metrische (quantitative) Skala unterstellt
x = 1 n ∗ ∑n i=1 x i = 1 n ∗ ∑k j=1 h j ∗ a j = ∑ k j=1 f j ∗ a j
↑ ↑ ↑
Merkmalswerte Häufigkeiten in der
in der Urliste Häufigkeitstabelle
wobei k : Anzahl der unterschiedlichen vorkommenden Werte
Es gilt ∑ n j=1 (x j − x) = 0
(denn...)
Das arithmetische Mittel x minimiert die mittlere quadratische
Abweichung: min x
1/n ∗ ∑ j (x j − x) 2 hat das Minimum bei x = x
denn: d/dx (∑ j (x j − x) 2 !
) = 0 ⇒ ∑ j 2 ∗ (x j − x) ∗ (−1) = 0
⇒ ∑ j x j = ∑ j x = n ∗ x und x = 1/n ∗ ∑ j x j = x

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Harmonisches Mittel x H
...einer Stichprobe {x 1 , x 2 ,..., x n } ist:
x H =
n
∑ n i=1 1 /x i
=
n
1
=
∑ k j=1 h j/a j ∑ k j=1
f j/a j
Beispiel (Duchschnittsgeschwindigkeit v eines Autos):
Vier gleichlange Strecken werden durchfahren mit Geschwindigkeiten:
v 1/2/3/4
= 40/50/80/100 [km/h]
Was ist die Geschwindigkeit eines Autos, das gleichmäßig schnell fährt und die
gleiche Reisezeit hat wie die vier unterschiedlich schnellen Pkw’s ?
Wir rechnen:
Reisezeit T = s/v 1 + s/v 2 + s/v 3 + s/v 4
!
= 4s/v ; gesucht v
liefert v = 4
1/v 1 + 1 /v 2 + 1 /v 3 + 1 /v 4
... harmonisches Mittel der v i
und Duchschnittsgeschwindigkeit v = 59,259 [km/h]

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Streuparameter
Spannweite w = max x j − min x j
Quartilsabstand q = x 0.75 − x 0.25
...wenig aussagekräftige Maßzahl
...unempfindlich gegen Ausreißer
mittlere Abweichung d bezogen auf den Median x Z ist die mittlere
Summe der Fehlerbeträge :
d = 1 n ∗∑n i=1 |x i −x Z | = 1 n ∗∑k j=1 h j ∗|a j −x Z | = ∑ k j=1 f j ∗|a j −x Z |
Warum bezieht man die mittlere Abweichung auf den Median ?
Theorie: Die mittlere Abweichung 1 /n ∗ ∑ i
durch den Median x = x Z (denn...)
|x i − x| wird minimiert

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Empirische Varianz s 2 (Standardabweichung s)
... mittlere quadratische Abweichung, zur Definition vergl. Teil 10
s 2 = 1 n ∗ ∑n i=1 (x i − x) 2 = 1 n ∗ ∑k j=1 h j ∗ (a j − x) 2 = ∑ k j=1 f j ∗ (a j − x) 2
Rechenregeln:
s 2 = 1 n ∗ ∑n i=1 x 2
i − x 2 = 1 n ∗ ∑k j=1 h j ∗ a 2 j − x 2 = ∑ k j=1 f j ∗ a 2 j − x 2
Warum bezieht man die Varianz s 2 auf den Mittelwert x ?
Ähnliche Optimierung wie beim Median 7-9: Die mittlere quadratische
Abweichung 1 /n∑ i (x i − x) 2 hat ihr Minimum bei x = x vergl. 7/7

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weitere Streuparameter
Variationskoeffizient: v = s/x ist eine Maßzahl für die relative (auf den
Mittelwert bezogene) Standardabweichung.
Drittes Moment um den Mittelwert:
m 3 (x) = 1 n ∗ ∑n i=1 (x i − x) 3
Schiefe
ist ein Maß für die Abweichung von der Symmetrie.
Höhere Momente m r (0) [ um 0 ] bzw. m r (x) [ um x ] :
m r (x) = 1 n ∗ ∑n i=1 (x i − x) r

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Datentransformation
Lineare Transformation der Daten:
α j
= m ∗ x j + b
bewirkt lineare Transformation von Mittelwert und Standardabweichung:
x α = m ∗ x + b
(Mittelwert)
s 2 α = m 2 ∗ s 2 (Varianz) [ nachrechnen... ]

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Konzentrationsmaß
...beim Merkmal "Reichtum"
L(x) : Gesamtvermögen des ärmsten Bevölkerungsteils x, x ∈ (0,1)
Lorenzkurve:

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Konzentrationsmaß...
Gini-Koeffizient
= A : 1 /2 = 2 ∗ A = 2 ∗ ( 1 /2 − ´ 1
0 L(x) dx ) = 1 − 2 ∗ ´ 1
0
L(x) dx
Extreme: Gini-Koeffizient =
{
0 alle gleich reich
1 einer hat alles

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Newcomb-Benfordsches Gesetz
...Statistische Verteilung der Zahlen
Man erkennt: Zahlen mit erster Ziffer 1 sind signifikant häufiger als Zahlen
mit erster Ziffer 2,3,... , diese Beobachtung ermöglicht Prüfen großer
Datensätze auf Plausibilität, z.B. Steuerprüfer.
Entdeckt von Newcomb und Benford an der Abnutzung(!) der damals
erforderlichen Logarithmentafeln.

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Aufgaben (aus Skript MM, Teschl/Teschl)
(1) Anlässlich einer Schulstatistik wurden in einer Klasse die Körpergrößen
von 20 Schülern erhoben, die in folgender Urliste zusammengestellt sind:
160, 162, 165, 160, 163, 161, 165, 166, 162, 164, 162, 163, 160, 161, 163,
166, 165, 163, 164, 163.
(a) Man stelle in einer Häufigkeitstabelle die absoluten und relativen
Häufigkeiten sowie die kumulierten absoluten und kumulierten relativen
Häufigkeiten dar.
(b) Man ermittle das arithmetische Mittel x auf eine Dezimale genau.
(c) Man ermittle die Varianz s 2 auf zwei Dezimalen genau.
(d) Man gebe die Standardabweichung s auf zwei Dezimalen genau an.
(e) Man ermittle – unter Angabe der verwendeten Formel – den
Variationskoeffizienten v auf zwei Dezimalen genau.

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Aufgaben...
(2) Die jährliche Zuwachsrate des Servervolumens einer kleinen Abteilung
des Unternehmens entwickelte sich (exemplarisch) wie folgt:
Jahr 2004 2005 2006 2007
Zuwachsrate 5% -2% 4% 3%
Man ermittle die über alle vier Jahre gleich bleibende und auf den gleichen
Endwert führende durchschnittliche Zuwachsrate.
Welchen Mittelwert sollte man zugrunde legen?
Man gebe die allgemeine Formel an und berechne die
durchschnittliche Zuwachsrate auf zwei Dezimalen genau.

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Aufgaben...
(3) Man skizziere die notierten Stichproben und bestimme den
Korrelationskoeffizienten:
(a) (2,2) , (3,1) , (5,3) , (6,4)
(b) (1,5) , (2,2) , (3,1) , (4,2) , (5,5)
(c) (1,5) , (2,3) , (3,4) , (5,2)
Für die Datensätze aus (a),(b),(c) , die einen linearen Zusammenhang
nahelegen, bestimme man die Gleichung der Regressionsgeraden.