Dynamische Systeme

Eigenschaften 

Dynamischer Systeme 

mit Kontinuumsbeschreibung 

System durch eine Zustandsgröße 

beschreibbar 

Beschreibung des Systems durch eine gewöhnliche Differentialgleichung 

in einer Variablen: 

Zu- / Abnahme der Zustandsgröße x zur Zeit t : Funktion von x zur Zeit t 

d 

x (t) = x(t) = f (x(t)) 

dt 

Beispiel 1: x (t) = a − b ⋅ x(t) (linear in x) 

Beispiel 2: 

2 

x(t) = a ⋅ x(t) − b ⋅ x (t) (nichtlinear in x) 

Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 2 

System durch eine Zustandsgröße 

beschreibbar 

System durch zwei Zustandsgrößen 

beschreibbar 

Bei der Beschreibung wird oftmals die instantane Wirkung der 

Zustandsgrößen auf ihre Änderung angenommen. Davon zu 

unterscheiden sind verzögerte (retardierte) Wirkungen, z.B. 

x (t) = f (x(t − T)) 

Allgemein Beschreibung durch ein System gewöhnlicher 

Differentialgleichungen mit Kopplung 

x(t) = f (x(t),y(t)) 

y(t) = g(x(t),y(t)) 

Es ist zweckmäßig verschiedene Arten der Kopplung zu 

unterscheiden. 




beschreibbar 


beschreibbar 

Arten der Kopplung 

- entkoppelt: 

x(t) = f (x(t)) 

y(t) = g(y(t)) 


- lineare Kopplung (Linearkombination in x und y) 

x(t) = a + b ⋅ x(t) + c ⋅ y(t) 

y(t) = d + e ⋅ x(t) + f ⋅ y(t) 

Beispiel Pharmakokinetik: 

m (t) 

= −k 

⋅ m 

1 

2 

1 

1 

m 

(t) = k ⋅ m − k ⋅ m 

1 

1 

2 

2 



1


beschreibbar 


- nichtlineare Kopplung, z.B. multiplikative Kopplung 

Dimension eines DGL-Systems 

Die Dimension eines DGL-Systems entspricht der Anzahl von 

unabhängigen Zustandsgrößen. 

Sie kann niedriger als die Zahl der Gleichungen sein, wenn 

a) zwei Zustandsgrößen sich immer gleich / proportional verhalten; 

Beispiel SIR - Modell: 

d 

S(t) = −α ⋅S(t) 

⋅ I(t) 

dt 

d 

I(t) = α ⋅S(t) 

⋅ I(t) − β ⋅ I(t) 

dt 

d 

R(t) = β⋅ I(t) 

dt 

b) keine Kopplung vorliegt; 

c) eine Erhaltungsbedingung vorliegt. 

Z.B. SIR-Modell für Epidemien: 

N = S(t) + I(t) + R(t) = const., denn die Gesamtzahl der Individuen 

ändert sich nicht. N wird als Erhaltungsgröße bezeichnet. Zwei 

der drei Zustandsgrößen legen zu jeder Zeit die dritte fest. 



Lösung eines DGL-Systems 

Phasenraum 

Ein DGL-System 

x(t) = f (x(t),y(t)) 

y(t) = g(x(t),y(t)) 

hat eine Lösung zu der Anfangswertbedingung x 0 =x(t 0 ), y 0 =y(t 0 ), 

wenn es einen Zeitverlauf x*(t) und y*(t) gibt, der die beiden Seiten 

des Gleichungssystems identisch erfüllt und außerdem zur Zeit t 0 

durch den Punkt (x 0 , y 0 ) verläuft. 

In der Mathematik lernt man 

• wann es Lösungen gibt; 

• ob man sie analytisch (d.h. in geschlossener Form) angeben kann 

• und wie sie sich verhalten. 

Es gibt aber viele Probleme, deren Lösungen sich analytisch nicht angeben 

lassen, sondern nur numerisch (mit Rechner) ermittelbar sind. 

Die unabhängigen Zustandsgrößen eines Modellsystems spannen den 

Phasenraum auf. 

Ein 1dim DGL-System hat einen 1dim Phasenraum 

Ein 2dim DGL-System hat einen 2dim Phasenraum 

y 

x 

x 



Trajektorie 

Phasenporträt 

Die Lösung eines DGL-Systems kann unter Elimination der Zeit im 

Phasenraum dargestellt werden. Eine Lösungskurve im Phasenraum 

heißt Trajektorie. 

S, I 

• t 

50 

5 

0 

• 

0 

t 

S 

t 0 t 1 t 3 t 0 

4 

t 2 

I 

t 3 • 

t 2 

• 

• t 1 

Wird an jedem Gitterpunkt 

des Phasenraums ein Vektor, 

dessen Komponenten den 

Änderungen der Systemvariablen 

f(x, y), g(x, y) 

entsprechen, abgetragen, so 

entsteht das Phasenporträt 

des Systems. Es ermöglicht 

eine „grafische Lösung“ des 

DGL- Systems. Man kann den 

Verlauf der Trajektorien, die 

Lage von Attraktoren und ihre 

Einzugsbereiche erkennen. 

t 4 



2

Attraktoren 

Typen von Attraktoren (1) 

1dimensionales System 

Attraktoren sind niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten (z.B. Punkte, 

Linien) in einem Phasenraum, 

die eine (ausgezeichnete) Lösung des DGL-Systems darstellen 

(d.h. sie sind selbst Trajektorien) 

auf die andere Trajektorien mit 

t →∞ 

beliebig nahe zulaufen 

oder 

t → - ∞ beliebig nahe zulaufen 

stabiler Fixpunkt 

instabiler Fixpunkt 

Sattelpunkt 

• 

• 

• 



Fixpunkte 





Fixlinien (Kontinuum von Fixpunkten) 



Zyklen 



stabile Zyklen (Grenzzyklen) 

In unmittelbarer Nachbarschaft gibt es keine 

weiteren zyklischen Trajektorien (diskrete 

Zyklen). 

Abhängigkeit der Attraktoren 

von den Systemparametern (1) 

Jedes System enthält Parameter. Existenz, Lage und ggf. Form 

von Attraktoren können je nach Wert der Parameter anders ausfallen. 

Durch Änderung von Parameterwerten kann es also zu Veränderungen 

der Attraktoren kommem. 

1. Möglichkeit: Verschiebung von Attraktoren (Drift) 

instabile Zyklen 

Durch jeden Punkt geht eine zyklische 

Trajektorie, die eindeutig durch ihren 

Startwert bestimmt ist (Kontinuum von 

Zyklen). 

2. Möglichkeit: Änderung der Stabilitätseigenschaft bei Erhaltung der Art 

z.B. stabiler Knoten ⇒ instabiler Knoten 



3

Abhängigkeit der Attraktoren 

von den Systemparametern (2) 

3. Möglichkeit: Änderung der Art der Attraktoren 

a) 1 stabiler Knoten ⇒ 2 stabile Knoten 

Es handelt sich um eine sogenannte Bifurkation (Gabelung). 

Sie ereignet sich bei kritischen Parameterwerten. 

Bifurkationsdiagramm: 

Zustandsgröße 

x 

Bifurkation 

instabil 

1 stabiler 2 stabile 

Knoten Knoten 

Parameterwert 

a 

b) 1 stabiler Fokus ⇒ Grenzzyklus (Hopf – Bifurkation) 


4

Dynamische Systeme

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