Dynamische Systeme

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System durch zwei Zustandsgrößen beschreibbar Arten der Kopplung - nichtlineare Kopplung, z.B. multiplikative Kopplung Dimension eines DGL-Systems Die Dimension eines DGL-Systems entspricht der Anzahl von unabhängigen Zustandsgrößen. Sie kann niedriger als die Zahl der Gleichungen sein, wenn a) zwei Zustandsgrößen sich immer gleich / proportional verhalten; Beispiel SIR - Modell: d S(t) = −α ⋅S(t) ⋅ I(t) dt d I(t) = α ⋅S(t) ⋅ I(t) − β ⋅ I(t) dt d R(t) = β⋅ I(t) dt b) keine Kopplung vorliegt; c) eine Erhaltungsbedingung vorliegt. Z.B. SIR-Modell für Epidemien: N = S(t) + I(t) + R(t) = const., denn die Gesamtzahl der Individuen ändert sich nicht. N wird als Erhaltungsgröße bezeichnet. Zwei der drei Zustandsgrößen legen zu jeder Zeit die dritte fest. Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 7 Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 8 Lösung eines DGL-Systems Phasenraum Ein DGL-System x(t) = f (x(t),y(t)) y(t) = g(x(t),y(t)) hat eine Lösung zu der Anfangswertbedingung x 0 =x(t 0 ), y 0 =y(t 0 ), wenn es einen Zeitverlauf x*(t) und y*(t) gibt, der die beiden Seiten des Gleichungssystems identisch erfüllt und außerdem zur Zeit t 0 durch den Punkt (x 0 , y 0 ) verläuft. In der Mathematik lernt man • wann es Lösungen gibt; • ob man sie analytisch (d.h. in geschlossener Form) angeben kann • und wie sie sich verhalten. Es gibt aber viele Probleme, deren Lösungen sich analytisch nicht angeben lassen, sondern nur numerisch (mit Rechner) ermittelbar sind. Die unabhängigen Zustandsgrößen eines Modellsystems spannen den Phasenraum auf. Ein 1dim DGL-System hat einen 1dim Phasenraum Ein 2dim DGL-System hat einen 2dim Phasenraum y x x Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 9 Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 10 Trajektorie Phasenporträt Die Lösung eines DGL-Systems kann unter Elimination der Zeit im Phasenraum dargestellt werden. Eine Lösungskurve im Phasenraum heißt Trajektorie. S, I • t 50 5 0 • 0 t S t 0 t 1 t 3 t 0 4 t 2 I t 3 • t 2 • • t 1 Wird an jedem Gitterpunkt des Phasenraums ein Vektor, dessen Komponenten den Änderungen der Systemvariablen f(x, y), g(x, y) entsprechen, abgetragen, so entsteht das Phasenporträt des Systems. Es ermöglicht eine „grafische Lösung“ des DGL- Systems. Man kann den Verlauf der Trajektorien, die Lage von Attraktoren und ihre Einzugsbereiche erkennen. t 4 Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 12 Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 11 2
Attraktoren Typen von Attraktoren (1) 1dimensionales System Attraktoren sind niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten (z.B. Punkte, Linien) in einem Phasenraum, die eine (ausgezeichnete) Lösung des DGL-Systems darstellen (d.h. sie sind selbst Trajektorien) auf die andere Trajektorien mit t →∞ beliebig nahe zulaufen oder t → - ∞ beliebig nahe zulaufen stabiler Fixpunkt instabiler Fixpunkt Sattelpunkt • • • Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 13 Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 14 Fixpunkte Typen von Attraktoren (2) 2dimensionales System Typen von Attraktoren (3) 2dimensionales System Fixlinien (Kontinuum von Fixpunkten) Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 15 Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 16 Zyklen Typen von Attraktoren (3) 2dimensionales System stabile Zyklen (Grenzzyklen) In unmittelbarer Nachbarschaft gibt es keine weiteren zyklischen Trajektorien (diskrete Zyklen). Abhängigkeit der Attraktoren von den Systemparametern (1) Jedes System enthält Parameter. Existenz, Lage und ggf. Form von Attraktoren können je nach Wert der Parameter anders ausfallen. Durch Änderung von Parameterwerten kann es also zu Veränderungen der Attraktoren kommem. 1. Möglichkeit: Verschiebung von Attraktoren (Drift) instabile Zyklen Durch jeden Punkt geht eine zyklische Trajektorie, die eindeutig durch ihren Startwert bestimmt ist (Kontinuum von Zyklen). 2. Möglichkeit: Änderung der Stabilitätseigenschaft bei Erhaltung der Art z.B. stabiler Knoten ⇒ instabiler Knoten Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 17 Dynamische Systeme IMISE, Univ. Leipzig 18 3
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