Wurzelkriterium - imng

Wurzelkriterium
Existiert eine Zahl q ∈ [0, 1) mit
√
n |an | ≤ q
für n > n 0 , so ist ∑ a n absolut konvergent. Ist hingegen
|a n | ≥ 1
für unendlich viele n, so ist ∑ a n divergent.
Wurzelkriterium - 1-1

Wurzelkriterium
Existiert eine Zahl q ∈ [0, 1) mit
√
n |an | ≤ q
für n > n 0 , so ist ∑ a n absolut konvergent. Ist hingegen
|a n | ≥ 1
für unendlich viele n, so ist ∑ a n divergent.
Die hinreichende Bedingung für Konvergenz läßt sich auch in der
äquivalenten Form
schreiben.
lim
n→∞
√
n |an | < 1
Wurzelkriterium - 1-2

Beweis:
(i) Konvergenz:
Wurzelkriterium - 2-1

Beweis:
(i) Konvergenz:
|a n | ≤ q n mit q < 1 für n > n 0
geometrische Reihe als Majorante
Wurzelkriterium - 2-2

Beweis:
(i) Konvergenz:
|a n | ≤ q n mit q < 1 für n > n 0
geometrische Reihe als Majorante
(ii) Divergenz:
Wurzelkriterium - 2-3

Beweis:
(i) Konvergenz:
|a n | ≤ q n mit q < 1 für n > n 0
geometrische Reihe als Majorante
(ii) Divergenz:
|a n | ≥ 1 für unendlich viele n
=⇒ a 1 , a 2 , . . . keine Nullfolge
Wurzelkriterium - 2-4

Beispiel:
Wurzelkriterium vorteilhaft bei Reihen, die n-te Potenzen enthalten, z.B.:
∞∑
n=1
x n
(3 + (−1) n ) n = x 2 + x 2
4 2 + x 3
2 3 + · · ·
Wurzelkriterium - 3-1

Beispiel:
Wurzelkriterium vorteilhaft bei Reihen, die n-te Potenzen enthalten, z.B.:
∞∑
n=1
x n
(3 + (−1) n ) n = x 2 + x 2
4 2 + x 3
√
n |an | =
|x|
|3 + (−1) n |
Schranke q = |x|/2, d.h. Konvergenz für |x| < 2
2 3 + · · ·
Wurzelkriterium - 3-2

Beispiel:
Wurzelkriterium vorteilhaft bei Reihen, die n-te Potenzen enthalten, z.B.:
∞∑
n=1
x n
(3 + (−1) n ) n = x 2 + x 2
4 2 + x 3
√
n |an | =
|x|
|3 + (−1) n |
Schranke q = |x|/2, d.h. Konvergenz für |x| < 2
alternativ:
lim n→∞
n √ |a n | = |x|
2
gleiche Konvergenzbedingung
2 3 + · · ·
Wurzelkriterium - 3-3

Beispiel:
Wurzelkriterium vorteilhaft bei Reihen, die n-te Potenzen enthalten, z.B.:
∞∑
n=1
x n
(3 + (−1) n ) n = x 2 + x 2
4 2 + x 3
√
n |an | =
|x|
|3 + (−1) n |
Schranke q = |x|/2, d.h. Konvergenz für |x| < 2
alternativ:
lim n→∞
n √ |a n | = |x|
2
gleiche Konvergenzbedingung
Konvergenz der n-ten Wurzeln nicht erforderlich
2 3 + · · ·
Wurzelkriterium - 3-4