Limes Inferior und Limes Superior - imng

Limes Inferior und Limes Superior
Für jede Folge (a n ) existieren, gegebenenfalls im uneigentlichen Sinn, die
Grenzwerte
lim a n
n→∞
= lim n , a n = inf k
n→∞ k≥n
lim n
n→∞
= lim n , a n = sup a k
n→∞
k≥n
Limes Inferior und Limes Superior - 1-1

Limes Inferior und Limes Superior
Für jede Folge (a n ) existieren, gegebenenfalls im uneigentlichen Sinn, die
Grenzwerte
lim a n
n→∞
= lim n , a n = inf k
n→∞ k≥n
lim n
n→∞
= lim n , a n = sup a k
n→∞
k≥n
Wie in der Abbildung illustriert ist, wird die Folge (a n ) durch die
monotonen Folgen (a n ) und (a n ) eingeschlossen:
a n ≤ a n ≤ a n .
Stimmen Limes Inferior und Limes Superior überein, so konvergiert die
Folge (a n ) und
lim a n = lim a n = lim a n .
n→∞ n→∞ n→∞
Limes Inferior und Limes Superior - 1-2

a n
lim a n
lim a n
n
Limes Inferior und Limes Superior - 1-3

Beweis:
(i) Existenz von lim und lim:
Limes Inferior und Limes Superior - 2-1

Beweis:
(i) Existenz von lim und lim:
monotone Konvergenz von
a n = inf
k≥n a k,
a n = sup a k
k≥n
Limes Inferior und Limes Superior - 2-2

Beweis:
(i) Existenz von lim und lim:
monotone Konvergenz von
a n = inf
k≥n a k,
a n = sup a k
k≥n
(ii) Konvergenz bei Übereinstimmung von lim und lim:
Limes Inferior und Limes Superior - 2-3

Beweis:
(i) Existenz von lim und lim:
monotone Konvergenz von
a n = inf
k≥n a k,
a n = sup a k
k≥n
(ii) Konvergenz bei Übereinstimmung von lim und lim:
lima n = a = lima n =⇒
a − ε < a n ≤ a,
a ≤ a n ≤ a + ε,
n > n ε
n > n ε
Limes Inferior und Limes Superior - 2-4

Beweis:
(i) Existenz von lim und lim:
monotone Konvergenz von
a n = inf
k≥n a k,
a n = sup a k
k≥n
(ii) Konvergenz bei Übereinstimmung von lim und lim:
lima n = a = lima n =⇒
a − ε < a n ≤ a,
a ≤ a n ≤ a + ε,
n > n ε
n > n ε
a n ≤ a n ≤ a n =⇒
für n > max(n ε , n ε )
a − ε < a n < a + ε
Limes Inferior und Limes Superior - 2-5

Beweis:
(i) Existenz von lim und lim:
monotone Konvergenz von
a n = inf
k≥n a k,
a n = sup a k
k≥n
(ii) Konvergenz bei Übereinstimmung von lim und lim:
lima n = a = lima n =⇒
a − ε < a n ≤ a,
a ≤ a n ≤ a + ε,
n > n ε
n > n ε
a n ≤ a n ≤ a n =⇒
für n > max(n ε , n ε )
a n → a
a − ε < a n < a + ε
Limes Inferior und Limes Superior - 2-6