Summe und Produkt von Eigenwerten - imng

Summe und Produkt von Eigenwerten
Für die Eigenwerte λ i einer (n × n)-Matrix A gilt
n∑
λ i = Spur A,
i=1
n∏
λ i = det A ,
i=1
wobei mehrfache Eigenwerte entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit
gezählt werden.
Summe und Produkt von Eigenwerten 1-1

Beweis:
Multilinearität der Determinante =⇒
p A (λ) = det(A − λE) = (−λ) n + Spur A(−λ) n−1 + · · · + det A
Summe und Produkt von Eigenwerten 2-1

Beweis:
Multilinearität der Determinante =⇒
p A (λ) = det(A − λE) = (−λ) n + Spur A(−λ) n−1 + · · · + det A
Summe und Produkt von Eigenwerten 2-2

Beweis:
Multilinearität der Determinante =⇒
p A (λ) = det(A − λE) = (−λ) n + Spur A(−λ) n−1 + · · · + det A
Aufspalten in Linearfaktoren =⇒
n∏
p A (λ) = i − λ) = (−λ)
i=1(λ n + ( ∑ i
λ i )(−λ) n−1 + · · · + ∏ i
λ i
Summe und Produkt von Eigenwerten 2-3

Beweis:
Multilinearität der Determinante =⇒
p A (λ) = det(A − λE) = (−λ) n + Spur A(−λ) n−1 + · · · + det A
Aufspalten in Linearfaktoren =⇒
n∏
p A (λ) = i − λ) = (−λ)
i=1(λ n + ( ∑ i
λ i )(−λ) n−1 + · · · + ∏ i
λ i
Summe und Produkt von Eigenwerten 2-4

Beweis:
Multilinearität der Determinante =⇒
p A (λ) = det(A − λE) = (−λ) n + Spur A(−λ) n−1 + · · · + det A
Aufspalten in Linearfaktoren =⇒
n∏
p A (λ) = i − λ) = (−λ)
i=1(λ n + ( ∑ i
λ i )(−λ) n−1 + · · · + ∏ i
λ i
Koeffizientenvergleich behauptete Identitäten
Summe und Produkt von Eigenwerten 2-5

Beispiel:
( ) a b
A =
c d
charakteristisches Polynom
p A (λ) = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc)
Summe und Produkt von Eigenwerten 3-1

Beispiel:
charakteristisches Polynom
mit Nullstellen
( ) a b
A =
c d
p A (λ) = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc)
λ 1,2 = (a + d) ± √ (a + d) 2 − 4(ad − bc)
2
Summe und Produkt von Eigenwerten 3-2

Beispiel:
charakteristisches Polynom
mit Nullstellen
( ) a b
A =
c d
p A (λ) = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc)
λ 1,2 = (a + d) ± √ (a + d) 2 − 4(ad − bc)
2
Summe der Eigenwerte
λ 1 + λ 2 =
(a + d) + (a + d)
2
= a + d = Spur A
Summe und Produkt von Eigenwerten 3-3

Beispiel:
charakteristisches Polynom
mit Nullstellen
( ) a b
A =
c d
p A (λ) = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc)
λ 1,2 = (a + d) ± √ (a + d) 2 − 4(ad − bc)
2
Summe der Eigenwerte
(a + d) + (a + d)
λ 1 + λ 2 = = a + d = Spur A
2
Produkt der Eigenwerte (via dritter Binomischer Formel)
λ 1 λ 2 = (a + d)2 − (a + d) 2 + 4(ad − bc)
4
= ad − bc = det A
Summe und Produkt von Eigenwerten 3-4