Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a 1,a2 ... - imng

Menge
Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a 1 , a 2 , . . .:
A = {a 1 , a 2 , . . .} .
Werden die Elemente durch eine Eigenschaft E charakterisiert, so schreibt
man
A = {a : a besitzt die Eigenschaft E} .
Die Reihenfolge der Elemente ist dabei unerheblich.
Menge 1-1

Menge
Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a 1 , a 2 , . . .:
A = {a 1 , a 2 , . . .} .
Werden die Elemente durch eine Eigenschaft E charakterisiert, so schreibt
man
A = {a : a besitzt die Eigenschaft E} .
Die Reihenfolge der Elemente ist dabei unerheblich.
Schreibweise
a ∈ A
a /∈ A
A ⊆ B
A ⊈ B
A ⊂ B
|A|
∅
Bedeutung
a ist Element von A
a ist nicht Element von A
A ist Teilmenge von B
A ist keine Teilmenge von B
A ist echte Teilmenge von B
Anzahl der Elemente in A
leere Menge
Menge 1-2

Gilt |A| < ∞ bzw. = ∞, so spricht man von einer endlichen bzw.
unendlichen Menge. Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive
Abbildung zwischen ihren Elementen gibt (|A| = |B| für endliche Mengen).
Menge 1-3

Gilt |A| < ∞ bzw. = ∞, so spricht man von einer endlichen bzw.
unendlichen Menge. Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive
Abbildung zwischen ihren Elementen gibt (|A| = |B| für endliche Mengen).
Die Menge P(A) aller Teilmengen von A wird als Potenzmenge
bezeichnet, d.h.
P(A) = {B : B ⊆ A} .
Dabei gilt ∅ ∈ P(A), A ∈ P(A) und |P(A)| = 2 |A| .
Menge 1-4

Zahlenmengen
Für folgende Zahlenmengen benutzt man Standardbezeichnungen.
natürliche Zahlen: N = {1, 2, . . .}
ganze Zahlen: Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}
rationale Zahlen: Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, ggT(p, q) = 1}
reelle Zahlen: R = {x : x = lim n→∞ q n , q n ∈ Q}
komplexe Zahlen: C = {x + iy : x, y ∈ R, i 2 = −1}
Menge 2-1

Zahlenmengen
Für folgende Zahlenmengen benutzt man Standardbezeichnungen.
natürliche Zahlen: N = {1, 2, . . .}
ganze Zahlen: Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}
rationale Zahlen: Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, ggT(p, q) = 1}
reelle Zahlen: R = {x : x = lim n→∞ q n , q n ∈ Q}
komplexe Zahlen: C = {x + iy : x, y ∈ R, i 2 = −1}
Gebräuchlich sind ebenfalls die Schreibweisen N 0 = N ∪ {0} und
R + = {x ∈ R : x > 0} und dazu entsprechend Z − , Z − 0 , Q+ , Q + 0 , Q− , Q − 0
R + 0 , R− , R − 0 . Menge 2-2

Mengenoperationen
Für zwei Mengen A und B sind die folgenden Operationen definiert.
Vereinigung:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} ,
Durchschnitt:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} ,
Differenz, Komplementärmenge:
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B} ,
symmetrische Differenz:
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Menge 3-1

In der Abbildung sind die Mengenoperationen mit Hilfe sogenannter
Venn-Diagramme illustriert.
A B A B A B
A B A ∪ B
A B A B A B
A ∩ B A \ B A∆B
Menge 3-2

Ist B ⊂ A, fallen einige der Diagramme zusammen:
A
A
A
B
B
B
A = A ∪ B B = A ∩ B A \ B = A∆B
Menge 3-3

Regeln für Mengenoperationen
Für Mengenoperationen gelten die folgenden Identitäten.
Assoziativgesetze:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Kommutativgesetze:
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
De Morgansche Regeln:
C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B)
C\(A ∪ B) = (C\A) ∩ (C\B)
Menge 4-1

Distributivgesetze:
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Menge 4-2

Distributivgesetze:
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Diese Regeln entsprechen den Gesetzen für logische Operationen, wenn
man die Operatoren ∪, ∩ durch ∧, ∨ ersetzt und C\ durch ¬.
Menge 4-3

Beweis:
erste De Morgansche Regel:
C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B)
Menge 5-1

Beweis:
erste De Morgansche Regel:
C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B)
linke Menge:
x ∈ C\(A ∩ B) ⇔ x ∈ C ∧ x /∈ (A ∩ B)
⇔ x ∈ C ∧ (x /∈ A ∨ x /∈ B)
Menge 5-2

Beweis:
erste De Morgansche Regel:
C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B)
linke Menge:
x ∈ C\(A ∩ B) ⇔ x ∈ C ∧ x /∈ (A ∩ B)
⇔ x ∈ C ∧ (x /∈ A ∨ x /∈ B)
Distributivgesetz für logische Operationen =⇒ äquivalente Darstellung
(x ∈ C ∧ x /∈ A) ∨ (x ∈ C ∧ x /∈ B) ⇔ x ∈ (C\A ∪ C\B)
x in rechter Menge
Menge 5-3