Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen - imng ...

Numerische Lösung
gewöhnlicher Differentialgleichungen
J. Hörner
Universität Stuttgart (IMNG)
E-Mail: Joerg.Hoerner@mathematik.uni-stuttgart.de
http://www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/Hoerner/
1 / 39

Landau-Symbole
Grundlagen
∣
f (h) ∈ O(g(h)) : lim sup
h→a
∣
f (h) ∈ o(g(h)) : lim sup
h→a
∣ f (h)
g(h)
∣ f (h)
g(h)
∣ = c < ∞
∣ = 0
◮ In dieser Vorlesung wird nur a = 0 verwendet und deshalb nicht weiter
erwähnt.
◮ Es wird oft (wie auch in dieser Vorlesung) ein Gleichheitszeichen statt
dem ∈-Symbol verwendet
Beispiel:
4h 2 + 7h 3 + 6h 4 + · · · = O(h 2 ) = o(h)
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 2 / 39

Taylor-Polynom
Grundlagen
Eine Funktion f (x) kann in der Umgebung einer Stelle x 0 durch das
Taylor-Polynom vom Grad n approximiert werden:
f (x) ≈ T n (x) = f (x 0 )
+ f ′ (x 0 )(x − x 0 )
+ f ′′ (x 0 )
(x − x 0 ) 2
2
+ . . . + f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n
n!
n∑ f (k) (x 0 )
=
(x − x 0 ) k
k!
k=0
Für den Approximationsfehler gilt mit x − x 0 = h
f (x) − T n (x) = O(h n+1 )
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 3 / 39

Grundlagen
Zweidimensionales Taylor-Polynom
Entsprechend kann eine Funktion f (x, y) in zwei Variablen in der
Umgebung einer Stelle (x 0 , y 0 ) durch ein Taylor-Polynom vom Grad n
approximiert werden.
T n (x, y) = f (x 0 , y 0 )
+ . . . =
+ f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 )
+ f xx(x 0 , y 0 )
(x − x 0 ) 2 + f xy(x 0 , y 0 )
(x − x 0 )(y − y 0 )
2
1
+ f yy(x 0 , y 0 )
(y − y 0 ) 2
2
n∑
k∑
k=0 l=0
∂ l
(∂x) l
∂ k−l
(∂y) k−l f (x 0 , y 0 )
l!(k − l)! (x − x 0) l (y − y 0 ) k−l
Für den Approximationsfehler gilt mit h = max(x − x 0 , y − y 0 )
f (x, y) − T n (x, y) = O(h n+1 )
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 4 / 39

Taylor-Polynom
Grundlagen
f (x + h) = f (x) + f ′ (x)h + f ′′ (x)
h 2 + · · · + f (n) (x)
h n + O(h n+1 )
2
n!
n∑ f (k) (x)
=
h k + O(h n+1 )
k!
k=0
f (x + h x , y + h y ) = f (x, y) + f x (x, y)h x + f y (x, y)h y
+ f xx(x, y)
hx 2 + f xy (x, y)h x h y + f yy(x, y)
hy 2 + . . .
2
2
n∑ k∑ ∂ l ∂ k−l f (x, y)
=
(∂x) l (∂y) k−l l!(k − l)! hl xhy k−l + O(h n+1 )
k=0 l=0
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 5 / 39

Motivation
Erstes Verfahren
◮ Aufgabe: Bestimmung der Bewegung eines Pendels
u(t)
r
ru(t)
F
G
Auslenkungswinkel: u(t)
Auslenkung:
ru(t)
Geschwindigkeit: v(t) = ru ′ (t)
Beschleunigung: a(t) = ru ′′ (t)
Gewichtskraft: G = mg
Beschleunigende Kraft: F (t) = −G sin(u(t))
Newton Kraftgesetz: F (t) = a(t)m
◮ Differentialgleichung: u ′′ (t) = − g r sin(u(t))
◮ Mit bekannten Verfahren nicht lösbar
(Keine geschlossen darstellbare Lösung)
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 6 / 39

Erstes Verfahren
Euler-Verfahren
◮ Ausgangspunkt:
u ′ (t) = f (t, u) , u(t 0 ) = u 0
◮ Verfahren: Schrittweise Berechnung von Näherungen u l ≈ u(t l ) an
Punkten t 1 < t 2 < · · · < t n aus den vorherigen Daten.
◮ Einfachste Möglichkeit (Euler-Verfahren):
Neue Approximation durch lineare Taylor-Entwicklung an der alten
Approximation
u l+1 = u l + (t l+1 − t l ) f (t l , u l )
} {{ }
≈u ′ (t l )
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 7 / 39

Erstes Verfahren
Erstes Programm zum Euler-Verfahren
Schreiben Sie eine Matlab-Funktion u=euler exp(t,u0,c), die die
Differentialgleichung u ′ = c ∗ u mit dem Anfangswert u0 zu den
Zeitpunkten t = (t 0 , t 1 , ..., t n ) mit dem Euler-Verfahren approximiert.
◮ Testen Sie Ihr Programm mit unterschiedlichen Anfangswerten.
◮ Testen Sie Ihr Programm mit unterschiedlichen Konstanten c.
◮ Vergleichen Sie Ihre Lösungen mit der exakten Lösung u = u 0 exp(ct) .
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 8 / 39

Erstes Verfahren
Umwandlung einer DGl höherer Ordnung in ein System
erster Ordnung
Eine Differentialgleichung höherer Ordnung
a n u (n) (t) + a n−1 u(n − 1)(t) + · · · + a 1 u ′ (t) + a 0 u(t) = f (t)
kann durch Einführen von neuen Variablen v 1 = u, v 2 = u ′ , . . . , v n = u n−1
in ein System von Difgferentialgleichungen erster Ordnung transformiert
werden:
v 1 ′ = u ′ = v 2
v 2 ′ = u ′′ = v 3
.
v n ′ = u (n) = (f (t) − a 0 v 1 − a 1 v 2 − · · · − a n−1 v n ) /a n
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 9 / 39

Erstes Verfahren
Pendelgleichung mit dem Euler-Verfahren
Schreiben Sie eine Matlab-Funktion u=eulerpendel(t,u0,r), die die
Auslenkungen eines Pendels der Länge r und Anfangswerten u0 zu den
Zeitpunkten t = (t 0 , t 1 , ..., t n ) mit dem Euler-Verfahren approximiert.
◮ Transformieren Sie die Gleichung 2. Ordnung zunächst auf ein System
erster Ordnung.
◮ Es werden zwei Anfangswerte benötigt. Auslenkung und
Geschwindigkeit.
◮ Für jeden Zeitschritt sind zwei neue Werte zu bestimmen.
◮ Testen Sie Ihr Programm mit 1000 und 10000 Punkten im Intervall
[0, 10] für kleine (≈ π/10) und große (≈ 9π/10) Startauslenkungen
und unterschiedliche Pendellängen. Plotten Sie die Auslenkung u über
der Zeit t.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 10 / 39

Erstes Verfahren
Funktionen als Parameter von Matlab-Funktionen
◮ Funktion können in Matlab als Zeichenketten oder Funktions-Handles
übergeben werden.
◮ Zeichenkette mit dem Funktionsnamen: fct=’sin’
◮ Zeichenkette mit Inlinefunktion fct=’3*x.^2*sin(x)’
◮ Funktions-Handle:
fct=@sin ,
fct=@(x,y)a.*y.*sin(x) (a muss eine definierte Variable sein)
◮ Alle Varianten können mit feval(fct,par1,par2,...) ausgewertet
werden, z.B. feval(’sin’,pi)
◮ Funktions-Handles können auch in Funktionsschreibweise verwendet
werden: fct(x,y)
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 11 / 39

Erstes Verfahren
Programm zum Euler-Verfahren (2)
◮ Schreiben Sie eine Matlab-Funktion f=pendel_fct(t,u,r), die
die rechte Seite Pendel-Differentialgleichung auswertet.
◮ Modifizieren Sie die Funktion eulerpendel zu einer Funktion
u=euler(fct,t,u0), die mit einem übergebenen Funktions-Handle
arbeitet.
◮ Rufen sie die modifizierte Funktion mit dem Funktions-Handle
@(t,u)pendel_fct(t,u,r) auf. (r vorab definieren) und vergleichen
Sie das Ergebnis mit dem entsprechenden Aufruf der alten Funktion
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 12 / 39

Allgemeine Verfahren
Numerische Lösung von Anfangswertproblemen
Lösung eines Anfangswertproblems
u ′ = f (t, u) , u(t 0 ) = u 0
durch sukzessive Berechnung von Näherungen u l ≈ u(t l ) für eine monoton
wachsende Folge t 0 , t 1 , ... mit hinreichend kleinen Schrittweiten
h l = t l+1 − t l durch
u l+1 = u l + h l Φ(u l+1 , u l , u l−1 , . . . , t l , h l , f )
◮ Φ heißt Verfahrensfunktion.
◮ Ist Φ von m bereits bestimmten Näherungen u l , u l−1 , . . . , u l−m+1
abhängig, so ist das Verfahren ein m-Schrittverfahren.
◮ Ist Φ von u l+1 unabhängig, so heißt das Verfahren explizit, sonst
implizit.
Das Euler-Verfahren ist ein explizites Einschrittverfahren mit
Verfahrensfunktion Φ(...) = f (t l , u l ) .
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 13 / 39

Konvergenzordnung
Diskretisierungsfehler und Ordnung
Der (lokale) Diskretisierungsfehler ∆ gibt an, welchen Fehler das Verfahren
bei einem Schritt, ausgehend von exakten Daten einer glatten Lösung im
Verhältnis zur Schrittweite h erzeugt.
∆(t, h) = u(t l+1) − u l+1
h
u(t + h) − u(t)
= − Φ(u, t, h, f )
h
Ein Verfahren, bei dem der Diskretisierungsfehler wie h o gegen Null strebt,
wenn h gegen Null strebt, heißt Verfahren der Ordnung o.
Bei einem Einschrittverfahren hat dann auch der globale Fehler diese
Ordnung.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 14 / 39

Konvergenzordnung
Ordnung des Euler-Verfahrens
Für das Euler-Verfahren ist
∆(t, h) =
u(t + h) − u(t)
− Φ(u, t, h, f )
h
=
u(t + h) − u(t)
− f (u, t)
h
= u(t) + hu′ (t) + h 2 /2u ′′ (t) + ... − u(t)
− u ′ (t)
h
= h 2 u′′ (t) + ... = O(h)
Das Euler-Verfahren ist ein Verfahren erster Ordnung ,d.h. bei Halbierung
der Schrittweite wird auch der Fehler ungefähr halbiert.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 15 / 39

Trapezregel
Implizites Verfahren
Ein einfaches implizites Einschritt-Verfahren ist die Trapezregel. Hierbei
wird als Verfahrensfunktion der Mittelwert aus den Ableitungen an der
alten und der neuen Approximation gebildet:
u l+1 = u l + h l
f (t l , u l ) + f (t l + h l , u l+1 )
2
Bei impliziten Verfahren muss zur Bestimmung der neuen Approximation
in der Regel ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden. Bei der
Pendelgleichung:
h
w l+1 −
2 v h
l+1 = w l +
2 v l
v l+1 + hg
2r
sin(w l+1 ) = v l − hg
2r
sin(w l )
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 16 / 39

Implizites Verfahren
Ordnung der Trapezregel
Für die Trapezregel ist
∆(t, h) =
=
u(t + h) − u(t)
− Φ(u, t, h, f )
h
u(t + h) − u(t)
−
h
f (t, u(t)) + f (t + h, u(t + h))
2
= u(t) + hu′ (t) + h 2 /2u ′′ (t) + h 3 /6u ′′′ (t)... − u(t)
h
− u′ (t) + u ′ (t) + hu ′′ (t) + h 2 /2u ′′′ (t) + ...
2
= u ′ (t) + h 2 u′′ (t) + h2
6 u′′′ (t) + ... − u ′ (t) − h 2 u′′ (t) − h2
4 u′′ (t)
= − h2
12 u′′ (t) + ... = O(h 2 )
Die Trapezregel hat Ordnung 2.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 17 / 39

Implizites Verfahren
Programm zur Trapezregel
Schreiben Sie eine Matlab-Funktion u=eulerexp(t,u0,c), die die
Lösung der Differentialgleichung u ′ (t) = cu mit dem Euler-Verfahren
bestimmt.
Modifizieren Sie die Funktion zu u=trapezexp(t,u0,c), die die
Trapezregel verwendet.
Plotten Sie für unterschiedliche c und Schrittweiten den Fehler der beiden
Verfahren.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 18 / 39

Implizites Verfahren
Testat-Aufgabe 2007
Gegeben ist die Differentialgleichung
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
a) Geben Sie die allgemeine Iterationsvorschrift für das (explizite)
Euler-Verfahren an und führen Sie einen Schritt mit Schrittweite 1
aus, d.h. berechnen Sie einen Näherungswert für die Lösung an der
Stelle t 1 = 2.
b) Geben Sie die allgemeine Iterationsvorschrift für die Trapezregel an
und führen Sie einen Schritt mit Schrittweite 1 aus, d.h. berechnen
Sie einen Näherungswert für die Lösung an der Stelle t 1 = 2.
d) Führen Sie mit der Trapezregel zwei Schritte mit Schrittweite 1/2
aus, d.h. berechnen Sie Näherungswerte für die Lösung an den Stellen
t 1 = 3/2 und t 2 = 2.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 19 / 39

Implizites Verfahren
Testat-Aufgabe 2007 Lösung Teil a)
Gegeben ist die Differentialgleichung
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
a) Geben Sie die allgemeine Iterationsvorschrift für das (explizite)
Euler-Verfahren an und führen Sie einen Schritt mit Schrittweite 1
aus, d.h. berechnen Sie einen Näherungswert für die Lösung an der
Stelle t 1 = 2.
Lösungsvorschlag:
Die allgemeine Iterationsvorschrift des Euler-Verfahren ist
u l+1 = u l + (t l+1 − t l )f (t l , u l ) .
Setzt man die gegebenen Werte ein erhält man
u 1 = u 0 + (t 1 − t 0 )f (t 0 , u 0 ) = 1 + 3 · 1/1 = 4 .
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 20 / 39

Implizites Verfahren
Testat-Aufgabe 2007 - Lösung Teil b)
Gegeben ist die Differentialgleichung
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
b) Geben Sie die allgemeine Iterationsvorschrift für die Trapezregel an
und führen Sie einen Schritt mit Schrittweite 1 aus, d.h. berechnen
Sie einen Näherungswert für die Lösung an der Stelle t 1 = 2.
Lösungsvorschlag:
Die allgemeine Iterationsvorschrift der Trapezregel ist
u l+1 = u l + h l
f (t l , u l ) + f (t l + h l , u l+1 )
2
Setzt man die gegebenen Werte ein erhält man
u 1 = 1 + 1 3 · 1/1 + 3 · u 1/2
2
⇒ u 1 /4 = 5/2 ⇒ u 1 = 10 .
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 21 / 39

Implizites Verfahren
Testat-Aufgabe 2007 - Lösung Teil d)
Gegeben ist die Differentialgleichung
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
d) Führen Sie mit der Trapezregel zwei Schritte mit Schrittweite 1/2
aus, d.h. berechnen Sie Näherungswerte für die Lösung an den Stellen
t 1 = 3/2 und t 2 = 2.
Lösungsvorschlag:
Mit der Formel aus b) ergibt sich
und
u 1 = 1 + 1/2 3 · 1/1 + 3 · u 1/(3/2)
2
u 2 = 7/2+1/2 3 · (7/2)/(3/2) + 3 · u 2/2
2
⇒ u 1 /2 = 7/4 ⇒ u 1 = 7/2
⇒ 5u 2 /8 = 21/4 ⇒ u 2 = 42/5
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 22 / 39

Runge-Kutta Verfahren
Weitere Einschrittverfahren
◮ Euler-Verfahren:
u l+1 = u l + h l f (t l , u l )
Explizites Verfahren erster Ordnung
◮ Trapez-Regel
u l+1 = u l + h l
f (t l , u l ) + f (t l + h l , u l+1 )
2
Implizites Verfahren zweiter Ordnung
◮ Ersetze u l+1 in der Trapez-Regel durch Euler Verfahren
u l+1 = u l + h l
f (t l , u l ) + f (t l + h l , u l + h l f (t l , u l ))
2
Explizites Verfahren, Ordnung ?
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 23 / 39

Diskretisierungsfehler
Runge-Kutta Verfahren
Diskretisierungsfehler
∆(t, h) = u′ (t)
2
− u′ (t)
2
+ h 2 u′′ (t) + h2
6 u′′′ (t)
− h 2 u′′ (t) − h2
4
(
u ′′′ (t) − f u (t, u)u ′′ (t) ) + O(h 3 )
2-stufiges Runge-Kutta-Verfahren
u l+1 = u l + h l
f (t l , u l ) + f (t l + h l , u l + h l f (t l , u l ))
2
Explizites Verfahren zweiter Ordnung
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 24 / 39

Runge-Kutta-Verfahren
Runge-Kutta Verfahren
◮ Einschrittverfahren, bei dem für die Verfahrensfunktion Φ die rechte
Seite f an Stellen ausgewertet wird, die selbst durch Auswertung von
f entstehen
Φ = . . . f (. . . f (. . . f (. . . ) . . . ) . . . ) . . .
◮ Berechnung von n Hilfsgrößen (n-stufiges Verfahren)
⎛
⎞
n∑
y i = f ⎝t + c i h, v + h a i,j y j
⎠ , c i =
j=1
n∑
j=1
a i,j
◮ Gewichtete Summe
n∑
w = v + h b j y j
j=1
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 25 / 39

Runge-Kutta-Verfahren
Runge-Kutta Verfahren
◮ Parametermatrix
R =
( ) A c
b t =
⎛
⎜
⎝
⎞
a 1,1 · · · a 1,n c 1
.
. .. . .
⎟
a n,1 · · · a n,n c n
⎠
b 1 · · · b n
◮ Explizite Verfahren
a i,j = 0 ,
d.h. das obere Dreieck von A ist null.
j ≥ i
◮ Ordnung von Parametern abhängig.
Explizite Verfahren schwer konstruierbar und nur für wenige
Ordnungen bekannt.
Implizite Verfahren mit beliebig hoher Ordnung konstruierbar.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 26 / 39

Beispiel
Runge-Kutta Verfahren
Verfahren
Hilfgrößen
u l+1 = u l + h l
f (t l , u l ) + f (t l + h l , u l + h l f (t l , u l ))
2
Parametermatrix
y 1 = f (t l , u l )
y 2 = f (t l + h l , u l + h l y 1 )
( y1
u l+1 = u l + h
2 + y )
2
2
R =
(
⎛
)
A c ⎜
b t = ⎝
⎞
0
⎟
1 1 ⎠
1
2
1
2
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 27 / 39

Runge-Kutta Verfahren
Klassisches Runge-Kutta-Verfahren
y 1 = f (t l , u l ) , y 2 = f ( t l + h 2 , u l + h y 1
2
)
y 3 = f ( t l + h 2 , u l + h y )
2
2
, y4 = f (t l + h, u l + hy 3 )
u l+1 = u l + h ( y 1
6
+ y 2
3
+ y 3
3
+ y )
4
6
Explizites 4-stufiges Verfahren vierter Ordnung
Parametermatrix
⎛
⎞
0
( )
1
1
A c
2
2
1
1
R =
b t =
0
⎜
2
2
⎟
⎝ 0 0 1 1 ⎠
1
6
1
3
1
3
1
6
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 28 / 39

Testat-Aufgabe 2007
Runge-Kutta Verfahren
Gegeben ist die Differentialgleichung
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
c) Berechnen Sie einen Näherungswert für die Lösung an der Stelle
t 1 = 2 in dem Sie einen Schritt mit Schrittweite 1 mit dem klassischen
Runge Kutta Verfahren durchführen, das die Parametermatrix
hat.
⎛
⎞
0 0 0 0 0
( )
1
1
A c
2
0 0 0 2
R =
b t =
1
1
⎜ 0
2
0 0 2 ⎟
⎝ 0 0 1 0 1 ⎠
1
6
1
3
1
3
1
6
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 29 / 39

Runge-Kutta Verfahren
Testat-Aufgabe 2007 - Lösung Teil c)
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
c) Klassisches Runge Kutta Verfahren mit Schrittweite 1
Lösungsvorschlag:
Die Hilfsgrößen berechnen sich sukzessive zu
y 1 = f (t 0 , u 0 ) = 3 1 1 = 3 ,
y 2 = f (t 0 + 1/2, u 0 + y 1 /2) = 3 5/2
3/2 = 5 ,
y 3 = f (t 0 + 1/2, u 0 + y 2 /2) = 3 7/2
3/2 = 7 ,
y 4 = f (t 0 + 1, u 0 + y 3 ) = 3 8 2 = 12
und damit ist
u 1 = 1 + 3 + 2 · 5 + 2 · 7 + 12
6
= 15/2 .
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 30 / 39

Runge-Kutta Verfahren
Programm zum Runge-Kutta-Verfahren
Schreiben Sie eine Matlab-Funktion
v=runge_kutta_schritt(fct,u,t,h,R), das für die
Differentialgleichung mit rechter Seite fct ausgehend von der Näherung u
zum Zeitpunkt t einen Schritt der Weite h des durch die Parametermatrix
R definierten Runge-Kutta-Verfahrens durchführt.
◮ Ermittel Sie die Anzahl der notwendigen Zwischenschritte aus der
Größe von R.
◮ Gehen Sie von einem expliziten Verfahren aus.
◮ Erzeugen Sie die Linearkombinationen mit Hilfe einer Matrix-Vektor
Multiplikation.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 31 / 39

Runge-Kutta Verfahren
Programm zum Runge-Kutta-Verfahren
Schreiben Sie eine Matlab-Funktion
u=runge_kutta_classic(fct,t,u0), das eine Differentialgleichung mit
dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren löst und wenden Sie es auf die
Pendelgleichung an.
Die Parametermatrix des klassischen Runge-Kutta Verfahren ist:
⎛
⎞
0
( )
1
1
A c
2
2
1
1
R =
b t =
0
⎜
2
2
⎟
⎝ 0 0 1 1 ⎠
1
6
1
3
1
3
1
6
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 32 / 39

Fehlerschätzung (1)
Fehlerschätzung
Der lokale Fehler der bei einem Zeitschritt mit Weite h entsteht kann
geschätzt werden indem ein Zeitschritt mit dem gleichen Verfahren mit der
halben Schrittweite h/2 nochmal berechnet wird.
Bei einem Verfahren der Ordnung m liefert dies
( ) h m
|u h − u| ≈ ch m , |u h/2 − u| ≈ c
2
⇒ |u h − u| ≈ 2 m |u h/2 − u| ⇒ |u h − u h/2 | ≈ (2 m − 1)|u h/2 − u|
Der Schätzwert für den globalen Fehler genaueren Approximation ist also
∣
∣u
|u h/2 h − u h/2∣ ∣
− u| ≈
2 m − 1
und für den lokalen Fehler entsprechend
∣
∣u h − u h/2∣ ∣ h
d loc ≈
2 m − 1 2
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 33 / 39

Testat-Aufgabe 2007
Fehlerschätzung
Gegeben ist die Differentialgleichung
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
d) Führen Sie mit der Trapezregel zwei Schritte mit Schrittweite 1/2
aus, d.h. berechnen Sie Näherungswerte für die Lösung an den Stellen
t 1 = 3/2 und t 2 = 2.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 34 / 39

Fehlerschätzung
Testat-Aufgabe 2007 – Lösung Teil e)
Gegeben ist die Differentialgleichung
u ′ (t) = f (t, u) = 3u/t , u(t 0 ) = u 0 , t 0 = 1, u 0 = 1 .
e) Schätzen Sie den Fehler des in d) berechneten Näherungswertes für
die Stelle t = 2.
Lösungsvorschlag:
Die Trapezregel hat Ordnung 2 und somit läßt sich der Fehler bei
Berechnung mit halber Schrittweite schätzen als
δ = |u1 − u 1/2 |
2 2 − 1
=
10 − 42/5
3
= 8/15 .
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 35 / 39

Fehlerschätzung
Fehlerschätzung (2)
Eine andere Möglichkeit der Fehlerschätzung ist zwei Verfahren
Unterschiedlicher Ordnung anzuwenden.
Haben die Verfahren die Ordnungen m 2 > m 1 ist
|u v 1
− u| = c 1 h m 1
, |u v 2
− u| = c 2 h m 2
Gilt für die Konstanten c 1 ≈ c 2 kann dies mit d = m 2 − m 1 umgeformt
werden zu
|u v 1
− u| ≈ |u v 2
− u|h −d ⇒ |u v 1
− u v 2
| ≈ |u v 2
− u|(h −d − 1)
Ist h d

Eingebettetes Runge-Kutta Verfahren
Verfahren von Dormand-Prince
◮ Parametermatrix
⎛
⎜
⎝
1
5
3
40
9
40
44
− 56
45 15
19372
− 25360
6561 2187
9017
− 355
3168 33
35
384
0
35
384
0
32
9
64448
− 212
6561 729
46732
5247
500
1113
500
1113
0
1
5
3
10
4
5
8
9
49
− 5103
1
176 18656
125
− 2187
192 6784
125
− 2187
192 6784
11
84
1
11
84
0
⎞
⎟
⎠
◮ Ordnung 5
◮ Verfahren der Ordnung 4 mit ˜b t = ( 5179 7571
57600
, 0,
16695 , 393
640 , − 92097
339200 , 187
2100 , )
1
40
◮ Wird von der Matlab-Funktion ode45 verwendet.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 37 / 39

Schrittweitensteuerung
Schrittweitensteuerung
◮ Schrittweite h sollte an das Problem angepasst sein
◮ klein um Toleranz einzuhalten
◮ groß für wenige Schritte
◮ globaler Fehler ɛ(t 1 − t 0 ) ⇒ lokaler Fehler |d loc | ≤ ɛh
◮ Optimale Schrittweite bei Verfahren der Ordnung m:
h opt = h(ɛh/|d loc |) 1/m .
◮ Schätzung des lokalen Fehlers ⇒ Korrekturfaktor < 1
◮ Schrittweite nicht zu schnell vergrößern
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 38 / 39

MATLAB ODE Löser
Lösung von ODE mit Matlab
Lösen Sie die Pendelgleichung mit Hilfe der Matlab-Funtion ode45.
Verwenden Sie unterschiedliche Toleranzen und untersuchen Sie die
verwendeten Schrittweiten.
J. Hörner Numerische Mathematik, Modul 3 39 / 39