Drehung - imng

Drehung
Die orthogonale n × n-Matrix
⎛
Q i,j
⎞
1 0
. .. Zeile i →
c −s
. ..
Zeile j →
s c
⎜
.
⎝
..
⎟
⎠
0 1
mit c = cos ϕ und s = sin ϕ beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ in
der x i x j -Ebene des R n .
Drehung 1-1

Drehung
Die orthogonale n × n-Matrix
⎛
Q i,j
⎞
1 0
. .. Zeile i →
c −s
. ..
Zeile j →
s c
⎜
.
⎝
..
⎟
⎠
0 1
mit c = cos ϕ und s = sin ϕ beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ in
der x i x j -Ebene des R n .
Jede orthogonale Matrix Q mit det Q = 1 ist als Produkt von Drehungen
in Koordinatenebenen darstellbar:
Q = ∏ i

Beweis:
cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 =⇒
Drehung 2-1

Beweis:
cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 =⇒
⎛
1 0
. .. c 2 + s 2 −sc + sc
RR t =
. ..
−sc + sc c 2 + s 2
⎜
.
⎝
..
0 1
⎞
⎟
⎠
Drehung 2-2

Beweis:
cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 =⇒
⎛
1 0
. .. c 2 + s 2 −sc + sc
RR t =
. ..
−sc + sc c 2 + s 2
⎜
.
⎝
..
0 1
⎞
⎟
⎠
= E
Drehung 2-3

Beweis:
cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 =⇒
⎛
1 0
. .. c 2 + s 2 −sc + sc
RR t =
. ..
−sc + sc c 2 + s 2
⎜
.
⎝
..
0 1
⎞
⎟
⎠
= E
Orthogonalität der Drehmatrix R
Drehung 2-4

Herleitung der Faktorisierung für n = 3:
Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente
q 21 , q 31 , q 32 von Q:
Drehung 2-5

Herleitung der Faktorisierung für n = 3:
Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente
q 21 , q 31 , q 32 von Q:
Q1,2 −1 = ⎝
⎛
⋆ ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
⋆ ⋆ ⋆
⎞
⎠
Drehung 2-6

Herleitung der Faktorisierung für n = 3:
Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente
q 21 , q 31 , q 32 von Q:
Q1,2 −1 = ⎝
⎛
Q1,3 −1 1,2 Q = ⎝
⎛
⋆ ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
⋆ ⋆ ⋆
1 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
⎞
⎠
⎞
⎠
Drehung 2-7

Herleitung der Faktorisierung für n = 3:
Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente
q 21 , q 31 , q 32 von Q:
Q1,2 −1 = ⎝
⎛
Q1,3 −1 1,2 Q = ⎝
⎛
Q2,3 −1 1,3 Q−1 1,2 Q = ⎝
⎛
⋆ ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
⋆ ⋆ ⋆
1 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
1 ⋆ ⋆
0 1 ⋆
0 0 ⋆
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
Drehung 2-8

Herleitung der Faktorisierung für n = 3:
Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente
q 21 , q 31 , q 32 von Q:
Q1,2 −1 = ⎝
⎛
Q1,3 −1 1,2 Q = ⎝
⎛
Q2,3 −1 1,3 Q−1 1,2 Q = ⎝
⎛
⋆ ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
⋆ ⋆ ⋆
1 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
1 ⋆ ⋆
0 1 ⋆
0 0 ⋆
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠ = R
Q 2,3 , Q 1,3 , Q 1,2 bilden jeweils Vektoren (v 1 , v 2 ) t auf Vielfache von
Einheitsvektoren ab.
Drehung 2-9

Herleitung der Faktorisierung für n = 3:
Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente
q 21 , q 31 , q 32 von Q:
Q1,2 −1 = ⎝
⎛
Q1,3 −1 1,2 Q = ⎝
⎛
Q2,3 −1 1,3 Q−1 1,2 Q = ⎝
⎛
⋆ ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
⋆ ⋆ ⋆
1 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
0 ⋆ ⋆
1 ⋆ ⋆
0 1 ⋆
0 0 ⋆
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠ = R
Q 2,3 , Q 1,3 , Q 1,2 bilden jeweils Vektoren (v 1 , v 2 ) t auf Vielfache von
Einheitsvektoren ab.
det R = 1 =⇒ r 33 = 1
Normierung der Spalten =⇒ R = E
Drehung 2-10

Beispiel:
Faktorisierung der Drehmatrix
⎛
Q =
⎜
⎝
√
1
0
2
− 3
2
− √ 1
√ √
2
− 6
4
− 4
8
− 1 √
2
√
6
4
√
6
8
⎞
⎟
⎠
Drehung 3-1

Beispiel:
Faktorisierung der Drehmatrix
⎛
Q =
⎜
⎝
√
1
0
2
− 3
2
− √ 1
√ √
2
− 6
4
− 4
8
− 1 √
2
√
6
4
√
6
8
⎞
⎟
⎠
Drehung D −1
z
= Q −1
1,2 um π 2
⎛
⎝
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
um die z-Achse:
⎞
⎠ Q =
⎛
⎜
⎝
√
√1
6
2 4
1
0
− √ 1
√
6
2 4
√
6
8
√
2
− 3
√2
6
8
⎞
⎟
⎠
Drehung 3-2

Drehung Dy
−1 = Q1,3 −1 um π 4
⎛
⎜
⎝
√1
2
0 − √ 1
2
0 1 0
1 √
2
0
1 √2
um die y-Achse:
⎞
⎟
⎠ D −1
z Q =
⎛
⎜
⎝
1 0 0
√
1
0
2
− 3
√ 2
0 3 1
2 2
⎞
⎟
⎠
Drehung 3-3

Drehung Dy
−1 = Q1,3 −1 um π 4
⎛
⎜
⎝
√1
2
0 − √ 1
2
0 1 0
1 √
2
0
1 √2
um die y-Achse:
⎞
⎟
⎠ D −1
z Q =
⎛
⎜
⎝
1 0 0
√
1
0
2
− 3
√ 2
0 3 1
2 2
⎞
⎟
⎠
Drehung D x = Q 2,3 um π 3 die x-Achse Drehung 3-4

Drehung Dy
−1 = Q1,3 −1 um π 4
⎛
⎜
⎝
√1
2
0 − √ 1
2
0 1 0
1 √
2
0
1 √2
um die y-Achse:
⎞
⎟
⎠ D −1
z Q =
⎛
⎜
⎝
1 0 0
√
1
0
2
− 3
√ 2
0 3 1
2 2
⎞
⎟
⎠
Drehung D x = Q 2,3 um π 3
die x-Achse
Insgesamt folgt
⎛
⎞ ⎛
0 1 0
Q = ⎝ −1 0 0 ⎠ ⎜
⎝
0 0 1
√1
1
2
0 √2
0 1 0
− √ 1
2
0 √2 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1 0 0
√
1
0
2
− 3
√ 2
0 3 1
2 2
D z D y D x
⎞
⎟
⎠
Drehung 3-5

Drehung im Raum
Eine Drehung im R 3 mit normierter Drehachsenrichtung u und Drehwinkel
ϕ, orientiert wie eine Rechtsschraube, bildet einen Vektor x auf
Qx = cos ϕ x + (1 − cos ϕ)uu t x + sin ϕ u × x
ab, wobei u × x das Kreuzprodukt von u und x bezeichnet.
Drehung 4-1

Drehung im Raum
Eine Drehung im R 3 mit normierter Drehachsenrichtung u und Drehwinkel
ϕ, orientiert wie eine Rechtsschraube, bildet einen Vektor x auf
Qx = cos ϕ x + (1 − cos ϕ)uu t x + sin ϕ u × x
ab, wobei u × x das Kreuzprodukt von u und x bezeichnet.
Die entsprechende Drehmatrix ist
Q : q ik = cos ϕ δ ik + (1 − cos ϕ) u i u k + sin ϕ ∑ j
ε ijk u j ,
mit dem Kroneckersymbol δ ik und dem ε-Tensor ε ijk .
Drehung 4-2

Beweis:
zeige:
Qu = u und Q dreht einen zu u orthogonaler Vektor v um einen Winkel ϕ
um die Achse u.
Drehung 5-1

Beweis:
zeige:
Qu = u und Q dreht einen zu u orthogonaler Vektor v um einen Winkel ϕ
um die Achse u.
(i) Bild von u:
Qu = cos ϕ u + (1 − cos ϕ)u }{{} u t u + sin ϕ
}
u
{{
× u
}
= u
=1
=0
Drehung 5-2

Beweis:
zeige:
Qu = u und Q dreht einen zu u orthogonaler Vektor v um einen Winkel ϕ
um die Achse u.
(i) Bild von u:
(ii) Bild von v:
Qu = cos ϕ u + (1 − cos ϕ)u }{{} u t u + sin ϕ
}
u
{{
× u
}
= u
=1
=0
Qv = cos ϕ v + sin ϕ u × v
⇔ Drehung um ϕ in der von v und u × v aufgespannten Ebene
Drehung 5-3

Beispiel:
Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3
um die Achse u =
1 √
3
(1 1 1) t :
Drehung 6-1

Beispiel:
Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3
cos ϕ δ ik :
um die Achse u =
1 √
3
(1 1 1) t :
⎛
⎝
1
2
0 0
1
0
2
0
0 0
1
2
⎞
⎠
Drehung 6-2

Beispiel:
Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3
cos ϕ δ ik :
(1 − cos ϕ)u i u k :
um die Achse u =
1 √
3
(1 1 1) t :
⎛ ⎞
1
2
0 0
⎝ 1
0
2
0 ⎠
1
0 0
2
⎛ ⎞
1 1 1
1
⎝ 1 1 1 ⎠
6
1 1 1
Drehung 6-3

Beispiel:
Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3
cos ϕ δ ik :
(1 − cos ϕ)u i u k :
sin ϕ ∑ ε ijk u j
j
:
um die Achse u =
1 √
3
(1 1 1) t :
⎛ ⎞
1
2
0 0
⎝ 1
0
2
0 ⎠
1
0 0
2
⎛ ⎞
1 1 1
1
⎝ 1 1 1 ⎠
6
1 1 1
1
2
⎛
⎝
0 −1 1
1 0 −1
−1 1 0
⎞
⎠
Drehung 6-4

Beispiel:
Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3
=⇒
cos ϕ δ ik :
(1 − cos ϕ)u i u k :
sin ϕ ∑ j
ε ijk u j :
⎛
Q = 1 ⎝
3
um die Achse u =
1 √
3
(1 1 1) t :
⎛ ⎞
1
2
0 0
⎝ 1
0
2
0 ⎠
1
0 0
2
⎛ ⎞
1 1 1
1
⎝ 1 1 1 ⎠
6
1 1 1
1
2
⎛
⎝
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
0 −1 1
1 0 −1
−1 1 0
⎞
⎠
⎞
⎠
Drehung 6-5