Skalarprodukt von Vektoren im Raum - imng

Skalarprodukt von Vektoren im Raum
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist durch
⃗a · ⃗b = |⃗a|| ⃗ b| cos ∢(⃗a, ⃗ b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
definiert. Insbesondere ist
⃗a · ⃗a = |⃗a| 2
und
⃗a · ⃗b = 0 ⇔ ⃗a ⊥ ⃗ b .
Skalarprodukt 1-1

Skalarprodukt von Vektoren im Raum
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist durch
⃗a · ⃗b = |⃗a|| ⃗ b| cos ∢(⃗a, ⃗ b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
definiert. Insbesondere ist
⃗a · ⃗a = |⃗a| 2
und
⃗a · ⃗b = 0 ⇔ ⃗a ⊥ ⃗ b .
Aus der Koordinatendarstellung des Skalarproduktes folgt
⃗a · ⃗b = ⃗ b · ⃗a
sowie (
s⃗a + r ⃗ )
b · ⃗c = s⃗a · ⃗c + r ⃗ b · ⃗c ,
d.h. es gelten die für Produkte üblichen Rechenregeln.
Skalarprodukt 1-2

Beweis:
ÈËÖÖÔÐÑÒØ×
Kosinussatz:
|⃗c| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos γ
­
Skalarprodukt 2-1

Beweis:
ÈËÖÖÔÐÑÒØ×
Kosinussatz:
|⃗c| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos γ
­
Umformung
2|⃗a|| ⃗ b| cos γ = (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3) + (b 2 1 + b 2 2 + b 2 3) − (c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 )
Skalarprodukt 2-2

Beweis:
ÈËÖÖÔÐÑÒØ×
Kosinussatz:
|⃗c| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos γ
­
Umformung
2|⃗a|| ⃗ b| cos γ = (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3) + (b 2 1 + b 2 2 + b 2 3) − (c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 )
substituiere c 2 i
= (b i − a i ) 2 Skalarprodukt 2-3

Beispiel:
Dreieck mit A = (6, 0), B = (4, 4), C = (0, 0)
⃗a = −→ ( )
( )
4
CB = , ⃗
−→ 6 b = CA = , ⃗c = −→ ( 2
BA =
4
0
−4
)
B
⃗a
⃗c
C
γ
⃗ b
A
Skalarprodukt 3-1

Beispiel:
Dreieck mit A = (6, 0), B = (4, 4), C = (0, 0)
⃗a = −→ ( )
( )
4
CB = , ⃗
−→ 6 b = CA = , ⃗c = −→ ( 2
BA =
4
0
−4
)
B
⃗a
⃗c
C
γ
⃗ b
A
Winkelberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes:
( ) ( )
4 6
·
4 0
cos γ =
)∣ ∣( )∣ = ∣ 4 ∣∣∣ ∣∣∣ 6
∣( ∣∣∣ 6 √ 32 = √ 1
2
4 0
=⇒ γ = π/4
Skalarprodukt 3-2

prüfe Kosinussatz für △(A, B, C):
Skalarprodukt 3-3

prüfe Kosinussatz für △(A, B, C):
|⃗c| 2 − |⃗a| 2 − | ⃗ b| 2 = 20 − 32 − 36 = −48
⃗a = (4, 4) t , ⃗ b = (6, 0) t , ⃗c = (2, −4) t Skalarprodukt 3-4

prüfe Kosinussatz für △(A, B, C):
|⃗c| 2 − |⃗a| 2 − | ⃗ b| 2 = 20 − 32 − 36 = −48
⃗a = (4, 4) t , ⃗ b = (6, 0) t , ⃗c = (2, −4) t
−2|⃗a|| ⃗ b| cos γ = −2 (4 √ 2) 6/ √ 2
γ = π/4
Skalarprodukt 3-5