Rotation eines kartesischen Koordinatensystems - imng

Rotation eines kartesischen Koordinatensystems
Bei einer Drehung der xy-Ebene um die z-Achse mit dem Winkel α
transformieren sich die Koordinaten eines Punktes P = (p 1 , p 2 , p 3 ) gemäß
p ′ 1 = cos α p 1 + sin α p 2 , p ′ 2 = − sin α p 1 + cos α p 2 , p ′ 3 = p 3 .
y
y ′ 1
p 2
P
x ′
1
p ′ 1
p ′ 2
α
p 1
x
Rotation 1-1

Analoge Formeln erhält man für Drehungen der yz- und zx-Ebene.
Rotation 1-2

Beweis:
y
∢(S, P, Q) = α =⇒
△(S, O, R) ∼ △(S, P, Q)
p 2
S
P
Q
x ′
p ′ 1
y ′ p 1
p ′ 2
O
α
R
x
Rotation 2-1

Beweis:
y
∢(S, P, Q) = α =⇒
△(S, O, R) ∼ △(S, P, Q)
p 2
S
P
Q
x ′
p ′ 1
erstes Dreieck:
|OS| = p 1 / cos α,
y ′ p 1
p ′ 2
O
|RS| = p 1 tan α
α
R
x
Rotation 2-2

Beweis:
y
∢(S, P, Q) = α =⇒
△(S, O, R) ∼ △(S, P, Q)
p 2
S
P
Q
x ′
p ′ 1
erstes Dreieck:
zweites Dreieck:
|OS| = p 1 / cos α,
y ′ p 1
p ′ 2
O
|RS| = p 1 tan α
α
R
x
p 2 ′ = cos α |PS| = cos α (p 2 − |RS|) = cos α p 2 − sin α p 1
p 1 ′ = |OS| + |SQ| = p 1 / cos α + sin α (p 2 − |RS|)
= 1 − sin2 α
cos α p 1 + sin α p 2 = cos α p 1 + sin α p 2
Rotation 2-3

Beispiel:
Bahnkurven von geradlinigen und kreisförmigen Bewegungen (links)
G : (x, y) = (1, 2 + t/(2π)),
K : (x, y) = (1 + cos(t), 2 − sin(t))
beobachtet in einem mit Winkelgeschwindigkeit ω = 1 rotierenden
ÖÖÔÐÑÒØ× Ý Ý¼
Bezugssystem (rechts)
¾
½Ø Ü ¾
½ ܼ
Rotation 3-1

Transformation
x ′ = cx + sy,
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
y ′ = −sx + cy
Rotation 3-2

Transformation
x ′ = cx + sy,
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
geradlinige Bewegung Spirale:
x ′ = c + s(2 + t/(2π)),
y ′ = −sx + cy
y ′ = −s + c(2 + t/(2π))
Rotation 3-3

Transformation
x ′ = cx + sy,
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
geradlinige Bewegung Spirale:
x ′ = c + s(2 + t/(2π)),
y ′ = −sx + cy
y ′ = −s + c(2 + t/(2π))
kreisförmige Bewegung:
x ′ = c(1 + ˜c) + s(2 − ˜s),
y ′ = −s(1 + ˜c) + c(2 − ˜s)
(˜c = cos t, ˜s = sin t)
Rotation 3-4

Transformation
x ′ = cx + sy,
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
geradlinige Bewegung Spirale:
x ′ = c + s(2 + t/(2π)),
y ′ = −sx + cy
y ′ = −s + c(2 + t/(2π))
kreisförmige Bewegung:
x ′ = c(1 + ˜c) + s(2 − ˜s),
y ′ = −s(1 + ˜c) + c(2 − ˜s)
(˜c = cos t, ˜s = sin t)
abrupte Richtungsänderung möglich
Rotation 3-5