Flächenelement in Kugelkoordinaten - imng

Flächenelement in Kugelkoordinaten
Das Flächenelement für eine durch
⎛
( ) ϑ
↦→ ⎝
ϕ
R sin ϑ cos ϕ
R sin ϑ sin ϕ
R cos ϑ
⎞
⎠
parametrisierte Sphäre mit Radius R ist
dS = R 2 sin ϑ dϑ dϕ .
Flächenelement in Kugelkoordinaten 1-1

Flächenelement in Kugelkoordinaten
Das Flächenelement für eine durch
⎛
( ) ϑ
↦→ ⎝
ϕ
R sin ϑ cos ϕ
R sin ϑ sin ϕ
R cos ϑ
⎞
⎠
parametrisierte Sphäre mit Radius R ist
dS = R 2 sin ϑ dϑ dϕ .
Damit gilt für das Integral einer Funktion f in Kugelkoordinaten
∫
S
∫ 2π ∫ π
f dS = f (R, ϑ, ϕ) R 2 sin ϑ dϑ dϕ .
0 0
Flächenelement in Kugelkoordinaten 1-2

Beweis:
Orthogonalität der Tangentenvektoren
⎛
⎞
R cos ϑ cos ϕ
⎛
s ϑ = ⎝ R cos ϑ sin ϕ
−R sin ϑ
⎠ , s ϕ = ⎝
−R sin ϑ sin ϕ
R sin ϑ cos ϕ
0
⎞
⎠
| det(s ϑ , s ϕ , ξ)| = |s ϑ | |s ϕ | = R 2 sin ϑ
als Skalierungsfaktor für das Flächenelement
Flächenelement in Kugelkoordinaten 2-1

Beispiel:
Bestimmung des Schwerpunkts S einer Halbkugelschale
H : x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 ,
bei konstanter Dichte
Flächenelement in Kugelkoordinaten 3-1

Beispiel:
Bestimmung des Schwerpunkts S einer Halbkugelschale
H : x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 ,
bei konstanter Dichte
Symmetrie =⇒ x- und y-Koordinate des Schwerpunkts = 0
z-Koordinate:
s z area(H) =
∫ 2π π
∫2
0
0
[ sin 2 ϑ
(cos ϑ) sin ϑ dϑ dϕ = 2π
} {{ }
2
z
] π/2
0
= π
Flächenelement in Kugelkoordinaten 3-2

Beispiel:
Bestimmung des Schwerpunkts S einer Halbkugelschale
H : x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 ,
bei konstanter Dichte
Symmetrie =⇒ x- und y-Koordinate des Schwerpunkts = 0
z-Koordinate:
s z area(H) =
∫ 2π π
∫2
0
0
[ sin 2 ϑ
(cos ϑ) sin ϑ dϑ dϕ = 2π
} {{ }
2
z
] π/2
0
= π
area(H) = 2π =⇒ s z = 1 2
Flächenelement in Kugelkoordinaten 3-3