Eine Teilmenge B eines Vektorraumes V heißt eine Basis von ... - imng

Basis
Eine Teilmenge B eines Vektorraumes V heißt eine Basis von V , wenn die
Vektoren in B linear unabhängig sind und sich jeder Vektor v ∈ V
eindeutig als Linearkombination
v = ∑ i
λ i b i
mit b i ∈ B darstellen lässt. Die Koeffizienten c i werden als Koordinaten
von v bzgl. B bezeichnet:
v ↔ v B = (λ 1 , λ 2 , . . .) t .
Basis 1-1

Basis
Eine Teilmenge B eines Vektorraumes V heißt eine Basis von V , wenn die
Vektoren in B linear unabhängig sind und sich jeder Vektor v ∈ V
eindeutig als Linearkombination
v = ∑ i
λ i b i
mit b i ∈ B darstellen lässt. Die Koeffizienten c i werden als Koordinaten
von v bzgl. B bezeichnet:
v ↔ v B = (λ 1 , λ 2 , . . .) t .
Besitzt ein Vektorraum V eine endliche Basis B = {b 1 , . . . , b n }, so ist die
Anzahl der Basisvektoren eindeutig bestimmt und wird Dimension von V
genannt:
n = dim V .
Man setzt dim V = 0 für V = {0} und V = ∞ für einen Vektorraum ohne
endliche Basis.
Basis 1-2

Beweis:
Eindeutigkeit der Dimension im endlichen Fall
Basis 2-1

Beweis:
Eindeutigkeit der Dimension im endlichen Fall
hinreichend zu zeigen: Hat ein Vektorraum eine n-elementige Basis
b 1 , . . . , b n ,
so sind n + 1 Vektoren v 1 , . . . , v n+1 (und damit auch mehr als n + 1
Vektoren) linear abhängig.
Basis 2-2

Beweis:
Eindeutigkeit der Dimension im endlichen Fall
hinreichend zu zeigen: Hat ein Vektorraum eine n-elementige Basis
b 1 , . . . , b n ,
so sind n + 1 Vektoren v 1 , . . . , v n+1 (und damit auch mehr als n + 1
Vektoren) linear abhängig.
( =⇒ Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit bei Basen mit
unterschiedlich vielen Vektoren)
Basis 2-3

Beweis:
Eindeutigkeit der Dimension im endlichen Fall
hinreichend zu zeigen: Hat ein Vektorraum eine n-elementige Basis
b 1 , . . . , b n ,
so sind n + 1 Vektoren v 1 , . . . , v n+1 (und damit auch mehr als n + 1
Vektoren) linear abhängig.
( =⇒ Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit bei Basen mit
unterschiedlich vielen Vektoren)
Beweis durch Induktion:
(n − 1) n: betrachte Basisdarstellung der Vektoren v i :
n∑
v i = γ i,j b j , i = 1, . . . , n + 1
trivialer Fall:
j=1
γ i,1 = · · · = γ i,n = 0
=⇒ v i = 0 =⇒ lineare Abhängigkeit
Basis 2-4

andernfalls, nach geeigneter Nummerierung γ n+1,n ≠ 0
definiere Vektoren, die sich als Linearkombination der n − 1 Vektoren
b 1 , . . . , b n−1 darstellen lassen:
v i ′ = v i −
γ i,n
v n+1 ,
γ n+1,n
i = 1, . . . , n
Basis 2-5

andernfalls, nach geeigneter Nummerierung γ n+1,n ≠ 0
definiere Vektoren, die sich als Linearkombination der n − 1 Vektoren
b 1 , . . . , b n−1 darstellen lassen:
v i ′ = v i −
γ i,n
v n+1 ,
γ n+1,n
i = 1, . . . , n
Koeffizient von b n = 0 =⇒
v ′ 1, . . . , v ′ n ∈ V ′ = span {b 1 , . . . , b n−1 }
Basis 2-6

andernfalls, nach geeigneter Nummerierung γ n+1,n ≠ 0
definiere Vektoren, die sich als Linearkombination der n − 1 Vektoren
b 1 , . . . , b n−1 darstellen lassen:
v i ′ = v i −
γ i,n
v n+1 ,
γ n+1,n
i = 1, . . . , n
Koeffizient von b n = 0 =⇒
v 1, ′ . . . , v n ′ ∈ V ′ = span {b 1 , . . . , b n−1 }
Induktionsvoraussetzung =⇒ ∃ nichttriviale Linearkombination
λ 1 v 1 ′ + · · · + λ n v n ′ = 0
Basis 2-7

andernfalls, nach geeigneter Nummerierung γ n+1,n ≠ 0
definiere Vektoren, die sich als Linearkombination der n − 1 Vektoren
b 1 , . . . , b n−1 darstellen lassen:
v i ′ = v i −
γ i,n
v n+1 ,
γ n+1,n
i = 1, . . . , n
Koeffizient von b n = 0 =⇒
v ′ 1, . . . , v ′ n ∈ V ′ = span {b 1 , . . . , b n−1 }
Induktionsvoraussetzung =⇒ ∃ nichttriviale Linearkombination
λ 1 v ′ 1 + · · · + λ n v ′ n = 0
Umformung
Linearkombination der v i , also behauptete lineare Abhängigkeit
Basis 2-8