Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - imng

Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus
Für a > 0 definiert man
mit der Umkehrfunktion
y = a x = exp(x ln a)
x = log a y, y > 0.
Insbesondere schreibt man log = log 10 für den Logarithmus zur Basis 10
und ld = log 2 für den dualen Logarithmus.
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - 1-1

Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus
Für a > 0 definiert man
mit der Umkehrfunktion
y = a x = exp(x ln a)
x = log a y, y > 0.
Insbesondere schreibt man log = log 10 für den Logarithmus zur Basis 10
und ld = log 2 für den dualen Logarithmus.
16
14
12
10
8
6
4
2
−2
0
−1 0 1 2 3 4
f (x) = 2 x
4
3
2
1
0
−1
−2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
f (x) = ld(x)
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - 1-2

Beispiel:
Wachstumsgesetz
y = a x , a > 0
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - 2-1

Beispiel:
Wachstumsgesetz
y = a x , a > 0
(i) halblogarithmische Darstellung: log y versus x
Gerade mit Steigung
m = log a
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - 2-2

Beispiel:
Wachstumsgesetz
y = a x , a > 0
(i) halblogarithmische Darstellung: log y versus x
Gerade mit Steigung
m = log a
(ii) doppelt logarithmische Darstellung: log y versus log a
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - 2-3

Beispiel:
Wachstumsgesetz
y = a x , a > 0
(i) halblogarithmische Darstellung: log y versus x
Gerade mit Steigung
m = log a
(ii) doppelt logarithmische Darstellung: log y versus log a
Anwendung bei Zeichnen von Fehlerraten
ε ≈ cn −k ⇔ log ε = log c − k log n
negative Steigung k entspricht Konvergenzrate
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - 2-4

10 8 10 2
10 x 10 0
10 4
10n −1
10 −2
10 0
2 x
10 −4
n −2
0.1 x
10 −6
10 −8
100n −4
10 −10
0 2 4 6 8 10
10 0 10 1 10 2 10 3
10 −4
10 −8
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus - 2-5