Volumen eines Tetraeders - imng

Volumen eines Tetraeders
Das Volumen V eines Tetraeders,
der von den Vektoren ⃗a, ⃗ b und ⃗c
aufgespannt wird, lässt sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen:
V = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]| .
ÖÖÔÐÑÒØ×
Volumen eines Tetraeders 1-1

Beweis:
Volumen eines Tetraeders:
V = 1 3 Gh
mit h der Höhe und G dem Inhalt der Grundfläche: G = G Spat /2
Volumen eines Tetraeders 2-1

Beweis:
Volumen eines Tetraeders:
V = 1 3 Gh
mit h der Höhe und G dem Inhalt der Grundfläche: G = G Spat /2
=⇒
V = 1 6 G Spath = 1 6 V Spat = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]|
mit dem Spatvolumen V Spat
Volumen eines Tetraeders 2-2

Beispiel:
Tetraeder, aufgespannt von
⎛ ⎞
0
⃗a = ⎝ 1 ⎠ ,
1
⃗ b =
⎛
⎝
1
1
0
⎞
⎛
⎠ , ⃗c = ⎝
0
2
0
⎞
⎠
Volumen eines Tetraeders 3-1

Beispiel:
Tetraeder, aufgespannt von
⎛ ⎞
0
⃗a = ⎝ 1 ⎠ ,
1
Volumen:
⃗ b =
⎛
⎝
1
1
0
⎞
⎛
⎠ , ⃗c = ⎝
V = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]|
⎛ ⎞ ⎛⎛
⎞ ⎛
= 1 0 1
⎝
6
1 ⎠ · ⎝⎝
1 ⎠ × ⎝
∣ 1 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= 1 0 0
⎝
6
1 ⎠ · ⎝ 0 ⎠
∣ 1 2 ∣
= 2 6 = 1 3
0
2
0
0
2
0
⎞
⎠
⎞⎞
⎠⎠
∣
Volumen eines Tetraeders 3-2