Trigonometrische Substitutionen - imng

Trigonometrische Substitutionen
Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe von
elementaren algebraischen Integranden explizit berechnen:
x = a sin t :
x = a tan t :
x = a/ cos t :
dx = a cos t dt
dx = a/ cos 2 t dt
dx = a sin t/ cos 2 t dt
√
√ a 2 − x 2 = a cos t
√ a 2 + x 2 = a/ cos t
x 2 − a 2 = a tan t
Trigonometrische Substitutionen - 1-1

Trigonometrische Substitutionen
Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe von
elementaren algebraischen Integranden explizit berechnen:
x = a sin t :
x = a tan t :
x = a/ cos t :
dx = a cos t dt
dx = a/ cos 2 t dt
dx = a sin t/ cos 2 t dt
√
√ a 2 − x 2 = a cos t
√ a 2 + x 2 = a/ cos t
x 2 − a 2 = a tan t
Gegebenenfalls müssen die Argumente der Wurzel zunächst durch
quadratische Ergänzung auf Standardform gebracht werden.
Trigonometrische Substitutionen - 1-2

Beispiel:
∫ 1/2
0
√
1 − x 2 dx
Trigonometrische Substitutionen - 2-1

Beispiel:
∫ 1/2
0
√
1 − x 2 dx
trigonometrische Substitution:
x = sin t, dx = cos t dt, x = 0 → t = 0, x = 1/2 → t = π/6
∫ π/6
0
[ ] 1 π/6
cos 2 t dt =
2 (sin t cos t + t) =
0
√
3
8 + π 12
Trigonometrische Substitutionen - 2-2

Beispiel:
trigonometrische Substitution:
∫ 1/2
0
√
1 − x 2 dx
x = sin t, dx = cos t dt, x = 0 → t = 0, x = 1/2 → t = π/6
∫ π/6
0
[ ] 1 π/6
cos 2 t dt =
2 (sin t cos t + t) =
0
√
3
8 + π 12
Rücktransformation von [. . .] Stammfunktion
∫ √1
− x 2 dx = x √
1 − x
2
2 + 1 2 arcsin x + c
(cos t = √ 1 − sin 2 t = √ 1 − x 2 )
Trigonometrische Substitutionen - 2-3

(ii) geometrisches Argument:
Trigonometrische Substitutionen - 2-4

(ii) geometrisches Argument:
1
B
A
0 x 1
Trigonometrische Substitutionen - 2-5

(ii) geometrisches Argument:
1
B
A
0 x 1
Fläche unter dem Graph von √ 1 − x 2 : Summe von zwei Teilflächen
Trigonometrische Substitutionen - 2-6

(ii) geometrisches Argument:
1
B
A
0 x 1
Fläche unter dem Graph von √ 1 − x 2 : Summe von zwei Teilflächen
Dreieck: |A| = x √ 1 − x 2 /2
Trigonometrische Substitutionen - 2-7

(ii) geometrisches Argument:
1
B
A
0 x 1
Fläche unter dem Graph von √ 1 − x 2 : Summe von zwei Teilflächen
Dreieck: |A| = x √ 1 − x 2 /2
Kreissektor mit Öffnungswinkel t: |B| = t/2 = (1/2) arcsin x
Trigonometrische Substitutionen - 2-8

(ii) geometrisches Argument:
1
B
A
0 x 1
Fläche unter dem Graph von √ 1 − x 2 : Summe von zwei Teilflächen
Dreieck: |A| = x √ 1 − x 2 /2
Kreissektor mit Öffnungswinkel t: |B| = t/2 = (1/2) arcsin x
gleiche Stammfunktion |A| + |B|
Trigonometrische Substitutionen - 2-9

Beispiel:
∫
dx
x √ 1 + x 2
Trigonometrische Substitutionen - 3-1

Beispiel:
∫
dx
x √ 1 + x 2
trigonometrische Substitution x = tan t,
∫
dt/ cos 2 ∫
t
tan t/ cos t =
dx = 1/ cos 2 t dt
dt
sin t = ln | tan t 2 | + c
( √ 1 + x 2 = 1/ cos t, Formel für Stammfunktion von 1/ sin)
Trigonometrische Substitutionen - 3-2

Beispiel:
∫
dx
x √ 1 + x 2
trigonometrische Substitution x = tan t,
∫
dt/ cos 2 ∫
t
tan t/ cos t =
dx = 1/ cos 2 t dt
dt
sin t = ln | tan t 2 | + c
( √ 1 + x 2 = 1/ cos t, Formel für Stammfunktion von 1/ sin)
Rücksubstitution =⇒
∫
dx
x √ 1 + x = ln | tan(1 arctan x)| + c
2 2
Trigonometrische Substitutionen - 3-3

estimmtes Integral
∫ ∞
1
dx
x √ 1 + x 2
Trigonometrische Substitutionen - 3-4

estimmtes Integral
∫ ∞
1
dx
x √ 1 + x 2
Verwendung der berechneten Stammfunktion
ln | tan π 4 | − ln | tan π 8 | = ln 1 − ln(√ 2 − 1) = ln(1 + √ 2)
Berechnung von tan(π/8) mit Hilfe der Diagonale einer Raute mit spitzem
Winkel π/4
(1/ √ 2, 1/ √ 2) (1 + 1/ √ 2, 1/ √ 2)
(0, 0) (1, 0)
=⇒ tan(π/8) = (1/ √ 2)/(1/ √ 2 + 1) = 1 √
2+1
= √ 2 − 1
Trigonometrische Substitutionen - 3-5

Beispiel:
∫
dx
√
x 2 − 6x + 5
Trigonometrische Substitutionen - 4-1

Beispiel:
∫
dx
√
x 2 − 6x + 5
quadratische Ergänzung Standardform der Wurzel
∫
dx
√
(x − 3) 2 − 4 = 1 ∫
dx
√
2 ((x − 3)/2) 2 − 1
Trigonometrische Substitutionen - 4-2

Beispiel:
∫
dx
√
x 2 − 6x + 5
quadratische Ergänzung Standardform der Wurzel
∫
dx
√
(x − 3) 2 − 4 = 1 ∫
dx
√
2 ((x − 3)/2) 2 − 1
vorbereitende Substitution y = (x − 3)/2, dx = 2dy Vereinfachung:
∫
∫
dx
√
x 2 − 6x + 5 = dy
√
y 2 − 1
Trigonometrische Substitutionen - 4-3

trigonometrische Substitution y = 1/ cos t, dy = sin t/ cos 2 t dt,
√
y 2 − 1 = tan t
∫
∫
dy
√
y 2 − 1 =
∣ ∣
dt ∣∣∣
cos t = ln 1 ∣∣∣
cos t + tan t + c
(Formel für ∫ cos −1 , Überprüfung durch Differenzieren)
Trigonometrische Substitutionen - 4-4

trigonometrische Substitution y = 1/ cos t, dy = sin t/ cos 2 t dt,
√
y 2 − 1 = tan t
∫
∫
dy
√
y 2 − 1 =
∣ ∣
dt ∣∣∣
cos t = ln 1 ∣∣∣
cos t + tan t + c
(Formel für ∫ cos −1 , Überprüfung durch Differenzieren)
Rücksubstitution
∣
ln ∣y + y √ √ (x )
y 2 − 1∣ + c = ln
x − 3 − 3 2 +
− 1
∣ 2 2
∣ + c
Trigonometrische Substitutionen - 4-5