Potenzen von Matrizen - imng

Matrix-Potenzen und größter Eigenwert
Besitzt A einen betragsmäßig größten Eigenwert λ mit Eigenvektor v, so
gilt
A n x = λ n (cv + o(1)), n → ∞ ,
falls x eine nichttriviale Komponente im Eigenraum von λ hat, d.h.
mit c ≠ 0 und v ∦ w.
x = cv + w
Potenzen von Matrizen 1-1

Beispiel:
jährliche Veränderung der Marktanteile x i konkurrierender Firmen
¾¼ ½¼
¾¼ ¼ ¿¼ ¼
¸·¼ ¼ ¸ ½¼¾¼
Potenzen von Matrizen 2-1

Beispiel:
jährliche Veränderung der Marktanteile x i konkurrierender Firmen
¾¼ ½¼
¾¼ ¼ ¿¼ ¼
¸·¼ ¼ ¸ ½¼¾¼
Beispielsweise gewinnt die Firma A jährlich 80% der Marktanteile der
Firma D, und die Firma C vergrößert ihre Marktanteile um 90% durch
Erschließung neuer Absatzmöglichkeiten, verliert jedoch gleichzeitig
Marktanteile an die Firmen A und D.
Potenzen von Matrizen 2-2

Veränderung der Marktanteile:
A neu = 0.7A + 0.4C + 0.8D
B neu = 0.5B + 0.2A
C neu = 0.9C + 0.2B
D neu = 0.1D + 0.6C + 0.2E
E neu = 0.8E + 0.3B + 0.1A
Potenzen von Matrizen 2-3

Veränderung der Marktanteile:
x = (A, B, C, D, E) t
A neu = 0.7A + 0.4C + 0.8D
B neu = 0.5B + 0.2A
C neu = 0.9C + 0.2B
D neu = 0.1D + 0.6C + 0.2E
E neu = 0.8E + 0.3B + 0.1A
⎛
⎞
0.7 0 0.4 0.8 0
0.2 0.5 0 0 0
x neu =
⎜ 0 0.2 0.9 0 0
⎟
⎝ 0 0 0.6 0.1 0.2⎠ x
0.1 0.3 0 0 0.8
Potenzen von Matrizen 2-4

Veränderung der Marktanteile:
x = (A, B, C, D, E) t
A neu = 0.7A + 0.4C + 0.8D
B neu = 0.5B + 0.2A
C neu = 0.9C + 0.2B
D neu = 0.1D + 0.6C + 0.2E
E neu = 0.8E + 0.3B + 0.1A
⎛
⎞
0.7 0 0.4 0.8 0
0.2 0.5 0 0 0
x neu =
⎜ 0 0.2 0.9 0 0
⎟
⎝ 0 0 0.6 0.1 0.2⎠ x
0.1 0.3 0 0 0.8
Multiplikation mit der n-ten Potenz der Iterationsmatrix
Marktanteile nach n Jahren
Potenzen von Matrizen 2-5

Die normierten Vektoren x ◦ konvergieren gegen einen Eigenvektor zum
betragsmäßig größten Eigenwert:
λ max = 1.1,
v max = (0.75, 0.25, 0.25, 0.25, 0.5) t
Potenzen von Matrizen 2-6

Die normierten Vektoren x ◦ konvergieren gegen einen Eigenvektor zum
betragsmäßig größten Eigenwert:
λ max = 1.1,
v max = (0.75, 0.25, 0.25, 0.25, 0.5) t
Normierung v max /‖v max ‖ 1 prozentuale Anteile
A : 37.5%, B, C, D : 12.5%, E : 25%
Potenzen von Matrizen 2-7

Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a 0 = 0, a 1 = 1,
a n+1 = a n + a n−1 , für n ≥ 1 ,
Potenzen von Matrizen 3-1

Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a 0 = 0, a 1 = 1,
a n+1 = a n + a n−1 , für n ≥ 1 ,
erste Fibonacci-Zahlen :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . . .
Potenzen von Matrizen 3-2

Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a 0 = 0, a 1 = 1,
a n+1 = a n + a n−1 , für n ≥ 1 ,
erste Fibonacci-Zahlen :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . . .
Startwerte a 1 = 1 und a 2 = 3 Lucas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, . . . .
Potenzen von Matrizen 3-3

Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
erste Fibonacci-Zahlen :
a 0 = 0, a 1 = 1,
a n+1 = a n + a n−1 , für n ≥ 1 ,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . . .
Startwerte a 1 = 1 und a 2 = 3 Lucas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, . . . .
Matrixform der Rekursion:
x n+1 = Ax n , x n = (a n , a n−1 ) t , A =
( 1 1
1 0
)
Potenzen von Matrizen 3-4

Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
erste Fibonacci-Zahlen :
a 0 = 0, a 1 = 1,
a n+1 = a n + a n−1 , für n ≥ 1 ,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . . .
Startwerte a 1 = 1 und a 2 = 3 Lucas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, . . . .
Matrixform der Rekursion:
x n+1 = Ax n , x n = (a n , a n−1 ) t , A =
Eigenwerte und Eigenvektoren von A:
λ ± = 1 2 ± √
5
2 , v ± =
(
λ±
1
( 1 1
1 0
)
)
Potenzen von Matrizen 3-5

Darstellung des Startvektors als Linearkombination von v + und v − ,
( ) ( )
a1 1
= = √ 1 v
a 0 0
+ − √ 1 v −
5 5
Potenzen von Matrizen 3-6

Darstellung des Startvektors als Linearkombination von v + und v − ,
( ) ( )
a1 1
= = √ 1 v
a 0 0
+ − √ 1 v −
5 5
asymptotisches Verhalten
(
an
a n−1
)
= λn−1 +
√ v + − λn−1 −
√ v −
5 5
d.h.
a n = λn−1 +
√ λ + − λn−1 −
√ λ − = 1 √
5
5 5 5 (1 2 + 2 )n (1 − (λ − /λ + ) n )
} {{ }
o(1)
Potenzen von Matrizen 3-7

Konvergenz von Matrix-Potenzen
Die Potenzen A n , n = 0, 1, . . ., einer komplexen Matrix konvergieren genau
dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte λ kleiner als
1 ist.
Potenzen von Matrizen 4-1

Konvergenz von Matrix-Potenzen
Die Potenzen A n , n = 0, 1, . . ., einer komplexen Matrix konvergieren genau
dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte λ kleiner als
1 ist.
Die Folge (A n ) bleibt beschränkt, wenn |λ| ≤ 1 und für Eigenwerte mit
Betrag 1 die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist.
Andernfalls divergiert die Folge, insbesondere dann, wenn ein Eigenwert
mit Betrag größer als 1 existiert.
Potenzen von Matrizen 4-2

Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
Potenzen von Matrizen 5-1

Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
=⇒
A n = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
Potenzen von Matrizen 5-2

Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
=⇒
A n = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
Potenzen von Matrizen 5-3

Beweis:
Jordan-Form
=⇒
J = Q −1 AQ
A n = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
betrachte die Blöcke
J i = (λ i E) + D
(D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.)
Potenzen von Matrizen 5-4

Beweis:
Jordan-Form
=⇒
J = Q −1 AQ
A n = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
betrachte die Blöcke
J i = (λ i E) + D
(D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.)
D m = 0 für einen Block der Dimension m =⇒
( ( n n
(J i ) n = λ n i E + λ
1)
n−1
i
D + · · · +
m − 1
)
λ n−m+1
i
D m−1
Potenzen von Matrizen 5-5

Beweis:
Jordan-Form
=⇒
J = Q −1 AQ
A n = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
betrachte die Blöcke
J i = (λ i E) + D
(D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.)
D m = 0 für einen Block der Dimension m =⇒
( ( n n
(J i ) n = λ n i E + λ
1)
n−1
i
D + · · · +
m − 1
⇒ Konvergenzeigenschaften
)
λ n−m+1
i
D m−1
Potenzen von Matrizen 5-6

(
|λ i | < 1 : lim n
)
n→∞ j λ
n−j
i
= 0
Potenzen von Matrizen 5-7

(
|λ i | < 1 : lim n
)
n→∞ j λ
n−j
i
= 0
|λ i | = 1 : Folge beschränkt, wenn m = 1
Potenzen von Matrizen 5-8

(
|λ i | < 1 : lim n
)
n→∞ j λ
n−j
i
= 0
|λ i | = 1 : Folge beschränkt, wenn m = 1
|λ i | > 1 : Divergenz, da λ n i
→ ∞
Potenzen von Matrizen 5-9

Beispiel:
⎛
t 1
⎞ n ⎛ ⎞
0 a
⎝0 t 0 ⎠ ⎝b⎠ , t > 0
0
}
0 −t
{{ }
c
J
Potenzen von Matrizen 6-1

Beispiel:
⎛
t 1
⎞ n ⎛ ⎞
0 a
⎝0 t 0 ⎠ ⎝b⎠ , t > 0
0
}
0 −t
{{ }
c
J
n = 1, 2, 3, · · ·⎛ ⎞ ⎛
at + b at 2 ⎞ ⎛
+ bt at 3 + 3bt 2 ⎞
⎝ bt
−ct
⎠ , ⎝ bt 2
ct 2
⎠ , ⎝ bt 3
−ct 3
⎠ , · · ·
Konvergenz für t < 1, da nt n−1 → ∞
Divergenz für t ≥ 1 wie z.B. für t = 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a a + nb
J n ⎝b⎠ = ⎝ b ⎠
c (−1) n c
Potenzen von Matrizen 6-2